1、1二项式定理第一课时一、复习引入： 22012()ababCab； 332333Cab 奎 屯王 新 敞新 疆 4()()()的各项都是 4次式，即展开式应有下面形式的各项： 4a， 3b， 2， 3， ，展开式各项的系数：上面 个括号中，每个都不取 的情况有 1种，即 04C种， a的系数是 04C；恰有 1个取 b的情况有 14C种， 3b的系数是 14C，恰有 2个取 的情况有 2种， 2b的系数是 2，恰有 3个取的情况有 3种， a的系数是 3，有 都取 b的情况有 4种， 的系数是 4， 4013234444()aa二、讲解新课：二项式定理： 01() ()nnrnnbCabCbN
2、 ()na的展开式的各项都是 次式，即展开式应有下面形式的各项：， n， nr， n，展开式各项的系数： 每个都不取 b的情况有 1种，即 0nC种， a的系数是 0nC；恰有 1个取 的情况有 n种， b的系数是 1，恰有 r个取 的情况有 r种， nr的系数是 rn，有 n都取 b的情况有 nC种， 的系数是 C， 01() ()nrnnaabN ，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫 nab的二项展开式，它有 1n项，各项的系数 (0,1)rnC 叫二项式系数， rab叫二项展开式的通项，用 1rT表示，即通项 1rnrTC二项式定理中，设 ,abx，则 ()nrnnnxx
3、奎 屯王 新 敞新 疆三、讲解范例：2例 1展开 4()x解一： 112344441()()Cxx23461x解二： 4 234() Cx23461x例 2展开 6()解： 6631()(21)xx615432166663 ()()()CCxCx2230149xx第二课时例 3求 12()a的展开式中的倒数第 4项 奎 屯王 新 敞新 疆解： x的展开式中共 3项，它的倒数第 项是第 10项，91299120TCxa例 4求（1） 6()ab， （2） 6()的展开式中的第 3项解：（1） 4422163b，（2） 2()80TCa点评： 63ab， 6的展开后结果相同，但展开式中的第 r项不
4、相同 奎 屯王 新 敞新 疆例 5 （1）求 9()x的展开式常数项；（2）求 93()x的展开式的中间两项 奎 屯王 新 敞新 疆解：399219()3rrrrrrTCx，（1）当 0,62时展开式是常数项，即常数项为 637928TC；3（2） 93()x的展开式共 10项，它的中间两项分别是第 5项、第 6项，4891253TCx，15950326978TCxx奎 屯王 新 敞新 疆第三课时例 6 （1）求 7()的展开式的第 4 项的系数；（2）求 9x的展开式中 3x的系数及二项式系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： 7()的展开式的第四项是 3317(2)80TCx， 1x的展开式的第
5、四项的系数是 （2） 9()的展开式的通项是 9921()1rrrrrxCx， 3r， ， x的系数 39(1)84C， 3x的二项式系数 3984例 7求 2的展开式中 的系数 奎 屯王 新 敞新 疆分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理， ，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开 奎 屯王 新 敞新 疆解：（法一） 42)3(x42)3(x02414)Cx24C32344()Cx，显然，上式中只有第四项中含 的项，展开式中含 的项的系数是 76834（法二）： 42)3(x4)(1x44)(1x( 43
6、24140 CCx03234444)CxC展开式中含 的项的系数是 3768例 8已知 nmxxf12)( *(,)N的展开式中含 x项的系数为 36，求展开式中含2x项的系数最小值 奎 屯王 新 敞新 疆分析：展开式中含 2x项的系数是关于 n,的关系式，由展开式中含 x项的系数为 ，可得364nm，从而转化为关于 或 的二次函数求解 奎 屯王 新 敞新 疆解： 14mn展开式中含 x的项为41124mnCx1(2)mnCx ()36，即 8，1nx展开式中含 2x的项的系数为t224mnCn， 8， 1， 22(1)()8t 216481n237564n，当 37n时， t取最小值，但 *
7、N， 时， t即 2x项的系数最小，最小值为 2，此时 5,8m第四课时例 9已知 41()2nx的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 奎 屯王 新 敞新 疆 解：由题意： 12()nnC，即 0892n， 8(1n舍去） 814(rrrTx 8241rrCx16342rrCxZ若 1r是常数项，则 036，即 036， Z，这不可能， 展开式中没有常数项；若 1rT是有理项，当且仅当 41r为整数， 08,， 0,8r，即 展开式中有三项有理项，分别是： 41xT， x835， 2961xT 奎 屯王 新 敞新 疆例 10求
8、 6.9的近似值，使误差小于 .0解： 601166608(1.2)(2)(0.2)CC ，展开式中第三项为 6.，小于 .，以后各项的绝对值更小，可忽略不计， 60116.9(.)()98，一般地当 a较小时 1na 奎 屯王 新 敞新 疆四、课堂练习：51.求 623ab的展开式的第 3 项.2.求 的展开式的第 3 项.3.写出 n3)x21(的展开式的第 r+1 项.4.求 73的展开式的第 4 项的二项式系数，并求第 4 项的系数.5.用二项式定理展开：（1） 53()ab；（2） 52()x.6.化简：（1） 55)1()(；（2） 421421)x3()x3(7 5lgx展开式中
9、的第 3项为 60，求 8求n2展开式的中间项 奎 屯王 新 敞新 疆答案：1. 262421()310TCaba 奎 屯王 新 敞新 疆2. 2638b 奎 屯王 新 敞新 疆3. 2313()2rnrrnrrrTxCx 奎 屯王 新 敞新 疆4.展开式的第 4 项的二项式系数 375，第 4 项的系数 37280 奎 屯王 新 敞新 疆5. （1） 5423()105abababb；（2） 52 23048x xxxx.6. （1） 552()(1)01；（2）144223339xxx奎 屯王 新 敞新 疆7. 5lgx展开式中的第 项为 2lg632lg551010xxC2l3l0l,l
10、,奎 屯王 新 敞新 疆68. nx21展开式的中间项为 2(1)nC 奎 屯王 新 敞新 疆五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察归纳猜想证明；二项式定理及通项公式的特点 奎 屯王 新 敞新 疆 八、教学反思：(a+b) = 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) 的 ，其中rnC（r=0,1,2,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能
11、力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。二项式定理是指 rnrnnn babaabCC)( 21nbC这样一个展开式的公式.它是( a+b)2=a2+2ab+b2，( a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得 y=xn的导数公式 y= nxn1 ，同时 nn)1(lim=e2.718281也正是由二项式定理的展开规律所确定，而 e 在高等数学中的地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复
12、变函数中的欧拉公式 ei =cos +isin ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由 e 的指数形式来表达.且直接由 e 的定义建立的 y=lnx 的导数公式 y= x1与积分公式 x1=dxlnx+c 是分析学中用的最多的公式之一.而由 y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式； f(x)=f(x0)+ !)0(x x0)2+ !)(0nf(x x0)n+1000)1( )(!nxf( (0，1)以及由此建立的幂级数理论，更是广泛深入到高等数学的各个分支中.怎样使二项式定理的教学生动有趣正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个
13、( a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.而 MM 教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计
14、算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相互作用”1 只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解.7MM 教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律” 2 在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.132“杨辉三角”与二项式系数的性质第一课时一、复习引入：1二项式定理及其特例：（1） 01() ()nnrnnabCabCbN ，（2） rnnxx .2二项展开式的通项公式： 1rrT 奎 屯王 新 敞新
15、疆 奎 屯王 新 敞新 疆3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 奎 屯王 新 敞新 疆 二、讲解新课：1 奎 屯王 新 敞新 疆 二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当 n依次取 1,23时，二 项 式 系 数 表 ， 表 中每 行 两 端 都 是 ， 除 1以 外 的 每 一 个 数 都 等 于 它 肩 上 两 个 数 的 和 奎 屯王 新 敞新 疆2二项式系数的性质：()n展开式的二项式系数是 0nC， 1， 2n， nC r可以 看成以r为自变量的函数 ()fr定义域是 0,12, ，例当 6时，其图象
16、是 7个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ mnC） 直线 2nr是图象的对称轴（2）增减性与最大值 1(1)2()!k kn nCCk ， knC相对于 1kn的增减情况由 决定， 2n，当 2时 ， 二 项 式 系 数 逐 渐 增 大 由 对 称 性 知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 减 小 的 ， 且 在 中 间 取 得 最 大 值 ；当 是偶数时，中间一项 2nC取得最大值；当 n是奇数时，中间两项12nC，取得最大值（3）各二项式系数和： 1(1)nrnnnxx ，令 ，则 022rnnC 奎 屯王 新 敞新 疆三、讲解范例：例 1在 ()n
17、ab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 奎 屯王 新 敞新 疆8证明：在展开式 01() ()nnrnnabCabCbN 中，令 1,ab，则 0123(1) ()nnnnC ，即 1)( ， 023nn ，即在 ()ab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（3）及例 1 知 021312nnnCC .例 2已知 7 702()xaxax ，求：（1） 27a ； （2） 1357； （3） 017|aa .解：（1）当 1x时， 7()()x，展开式右边为027 1aa ，当 x时， 0， 12712a ，（2）令 ， 令 1x，
18、 701234563a 得： 71357()1a， 1357a7132.（3）由展开式知： 1357,均为负， 0248,均为正，由（2）中+ 得： 70246()13aa， 70246a， 017|a 01234567aa724635()()a奎 屯王 新 敞新 疆例 3.求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展开式中 x3的系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： )1(1)x(1100）（9= x)1()(1，原式中 3实为这分子中的 4x，则所求系数为 71C 奎 屯王 新 敞新 疆第二课时例 4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求 x 的系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： 55)2(
19、1)3x(在(x+1) 5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为 xC15，在(2+x) 5展开式中，常数项为 25=32，含 x 的项为 8024 展开式中含 x 的项为 )3()80( ，此展开式中 x 的系数为 240 奎 屯王 新 敞新 疆例 5.已知 n2)(的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展开式的常数项 奎 屯王 新 敞新 疆解：依题意 2n4nn4 C13:1C:3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! n=10 奎 屯王 新 敞新 疆设第 r+1 项为常数项，又 2r510rr2r10r1r xC)(x()T令 2r0251， .
20、18)(CT1此所求常数项为 180 奎 屯王 新 敞新 疆例 6 设 231nxxx 201naxa ，当 01254naa 时，求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆解：令 得： 23012 nn 2(1)54， 8,7n，点评：对于 101()()nnnfxaxa ，令 1,xa即 可得各项系数的和012na的值；令 ,即 ，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 奎 屯王 新 敞新 疆例 7求证： 12312nnCC 证（法一）倒序相加：设 S13nn 10又 S1221()()nnnnCC rrn， 01,nn ， 由+得： 22n ， 11nS，即 312nnnCC （法二）：左边各组合数的通
21、项为 rnC1!()!()1rnr ， 1230121n nnn nCC 12n例 8在 10)(yx的展开式中,求:二项式系数的和; 各项系数的和; 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 奇数项系数和与偶数项系数和; x的奇次项系数和与 x的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数 rnC,故在,中只需求组合数的和 ,而与二项式 yx32中的系数无关.解：设 10289101)32( yayxaxayx (*),各项系数和即为 00 ,奇数项系数和为 0210a ,偶数项系数和为9531aa,x的奇次项系数和为 9531a ,x的偶次项系数和10420.由于(*)是恒等式,故可用
22、“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数和为 10102C .令 1yx,各项系数和为 )(3(.奇数项的二项式系数和为 9102102 ,偶数项的二项式系数和为 3C .设 10289101)32( yayxaxayx ,令 ,得到 1020 (1),11令 1x, y(或 1x, y)得 103210 5aa (2)(1)+(2)得 0205aa ,奇数项的系数和为 51;(1)-(2)得 10931)(2aa ,偶数项的系数和为 510. x的奇次项系数和为 25109531aa ;的偶次项系数和为 10420 .点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)
23、次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.第三课时例 9已知 nx23)(的展开式的系数和比 nx)13(的展开式的系数和大 992,求 nx2)1(的展开式中:二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.解：由题意 922n,解得 5n. 10()x的展开式中第 6 项的二项式系数最大,即 804)1(255106 xCT.设第 r项的系数的绝对值最大,则 rrrrr xCx 21010101 )()( 1010122rrrC,得 102rr,即 rr)( 38, ,故系数的绝对值最大的是第 4 项 奎 屯王 新 敞新 疆例 10已知：23()nx的展开式中，各项系数和比
24、它的二项式系数和大 92（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 奎 屯王 新 敞新 疆解：令 ，则展开式中各项系数和为 2(13)n，又展开式中二项式系数和为 2n， 29n， 5（1） ，展开式共 6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，12232635()90TCxx，2233345()70TCxx，（2）设展开式中第 1r项系数最大，则1045231 5()rrrrr Cx，155723rr， ，即展开式中第 项系数最大，22644335()05TCxx例 11已知 )(11 NnSnnnn ，求证：当 为偶数时， n能被 6整除 奎 屯王 新 敞新 疆分析：由
25、二项式定理的逆用化简 nS，再把 4n变形，化为含有因数 64的多项式 奎 屯王 新 敞新 疆 12122()n nnSCC 3， 4n3， 为偶数，设 k（ *N） ， 1281k()81k01kkkCC128() （ ） ，当 k=1时， 40nS显然能被 64整除，当 2时， （ ）式能被 整除，所以，当 为偶数时， 1n能被 整除 奎 屯王 新 敞新 疆三、课堂练习：1 451x展开式中 4x的系数为 ，各项系数之和为 2多项式 23()(1)()(1)nnnnfCCxx （ 6）的展开式中， 6x的系数为 3若二项式 231()nx（ N）的展开式中含有常数项，则 的最小值为（ ）A
26、.4 B.5 C.6 D.84某企业欲实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于 5 B.在 56之间 C.在 68之间 D.在 8以上5在 (1)nx的展开式中，奇数项之和为 p，偶数项之和为 q，则 2(1)nx等于（ ）13A.0 B. pq C. 2pq D. 2pq6求和： 341012311nnnnnaaaCCC7求证：当 N且 时， 18求 102x的展开式中系数最大的项 奎 屯王 新 敞新 疆答案：1. 45, 0 2. 0 提示： 16nfx 奎 屯王 新 敞新 疆3. B 4. C 5. D 6. 1na7. (略) 8.
27、 33156Tx四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆 1已知 2()na展开式中的各项系数的和等于5216x的展开式的常数项，而 2(1)na 展开式的系数的最大的项等于 54，求 a的值 ()R 奎 屯王 新 敞新 疆 答案： 3a2设 5914130 114132xxxxa求： 0114a 1313a 答案： 968
28、3； 95362 奎 屯王 新 敞新 疆3求值： 245679999922CCC答案： 8 奎 屯王 新 敞新 疆4设 6()1)(fxx，试求 ()fx的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 奎 屯王 新 敞新 疆答案：（1） 63729； （2）所有偶次项的系数和为6314；所有奇次项的系数和为63152 奎 屯王 新 敞新 疆七、教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值
29、”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。二项式定理概念的引入，我们已经学过( a+b)2=a2+2ab+b2，( a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n展开后应有什么规律，这里 nN，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.选择实验归纳的研究方式，对( a+b)n一般形式的研究与求数列 an的通项公式有些类似，大家想想，求 an时我们用了什么方法，学生：先写出前 n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，14老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究( a+b)4的展开，因( a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(
30、a+b)3展开的结论计算( a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.对计算的化算：对( a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生： a的指数从 n逐次降到0， b的指数从0逐次升到 n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到 n的( n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用1,来表示，
31、它这样一来( a+b)n的展开形式就可写成( a+b)n=nrnrnnba10现在的问题就是要找 rn的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算 奎 屯王 新 敞新 疆1 （2007 年江苏卷）若对于任意实数 x，有 3 2301()()()axax，则 2a的值为（B）A 3 B 6 C 9 D 12 （2007 年湖北卷）如果nx32的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为(B)A.3 B.5 C.6 D.10【分析】： 2 2()32513() ()rnrrnrnrrnrnrTCxx，250nr， （ ,4 ） 。 min5.3 （2007 年江西卷）已知 3x展开式中，各
32、项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，则n等于（ C ） 4 5 6 74 （2007 年全国卷 I） 21nx的展开式中，常数项为 15，则 n（ D ）A 3B C D5 （2007 年全国卷）82(1)x的展开式中常数项为 42 （用数字作答）6 （2007 年天津卷）若62a的二项展开式中 2x的系数为 5，则 a 2 （用数字作答） 7 （2007 年重庆卷）若 nx)1(展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ B ）A10 B.20 C.30 D.1208 （2007 年安徽卷）若(2 x3+ )a的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 7 .9 （2
33、007 年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所示的 0-1 三角数表从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，第 次全行的数都15为 1 的是第 21n 行；第 61 行中 1 的个数是 32 第 1 行 1 1第 2 行 1 0 1第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 图 116第二章 随机变量及其分布211 离散型随机变量第一课时思考 1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字 1 , 2 ，3，4，5，6 来表示那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来
34、表示呢？ 掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上（图 2.1 一 1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化定义 1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )随机变量常用字母 X , Y， ， ， 表示思考 2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数在这两种映射之间，试验结果的范围相
35、当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域例如，在含有 10 件次品的 100 件产品中，任意抽取 4 件，可能含有的次品件数 X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是0, 1, 2 , 3, 4 .利用随机变量可以表达一些事件例如X=0表示“抽出 0 件次品” , X =4表示“抽出 4 件次品”等你能说出X 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是 1，2，3，4，5，6 六种结果之一，由已知得-55，也就是说“4”就是“=5” 奎 屯王 新 敞新 疆 所以， “4”表示第一枚为 6 点，第二枚为1 点 奎
36、屯王 新 敞新 疆 例 3 某城市出租汽车的起步价为 10 元，行驶路程不超出 4km，则按 10 元的标准收租车费 奎 屯王 新 敞新 疆 若行驶路程超出 4km，则按每超出 lkm 加收 2 元计费(超出不足 1km 的部分按 lkm 计)从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车 5分钟按 lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程 是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆(1)求租车费 关于行车路程 的关系式；()已知某旅客实付租
37、车费 38 元，而出租汽车实际行驶了 15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(1)依题意得 =2(-4)+10，即 =2+2 奎 屯王 新 敞新 疆()由 38=2+2，得 =18，5（18-15）=15所以，出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟18四、课堂练习：1.某寻呼台一小时内收到的寻呼次数 ；长江上某水文站观察到一天中的水位 ；某超市一天中的顾客量 奎 屯王 新 敞新 疆 其中的 是连续型随机变量的是（ ）A； B； C； D.随机变量 的所有等可能取值为 1,2n，若 40.3P，则（ ）A 3n； B 4n； C 0； D不能确定3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于
38、 8 的概率为（ ）A 12； B 16； C 536； D 124.如果 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. 取每一个可能值的概率都是非负数；B. 取所有可能值的概率之和为 1；C. 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 奎 屯王 新 敞新 疆答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 奎 屯王 新 敞新 疆 随机变量 是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量 的线性组合 =a+b(其中a、b 是常数)也是随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆2
39、 12 离散型随机变量的分布列一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆 随机变量常用希腊字母 、 等表示 奎 屯王 新 敞新 疆2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆3连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变量 都 是 用 变 量 表 示 随 机
40、试 验 的 结 果 ； 但 是 离 散 型 随 机 变 量 的 结 果 可 以 按 一 定 次 序 一 一列 出 ， 而 连 续 性 随 机 变 量 的 结 果 不 可 以 一 一 列 出 奎 屯王 新 敞新 疆若 是随机变量， ba,是常数，则 也是随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆 并 且 不 改 变 其 属 性（ 离 散 型 、 连 续 型 ） 奎 屯王 新 敞新 疆请同学们阅读课本 P5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量 可能取得值为x1， x2， x3， 取每一个值 xi（ i=1，2，）的概率为 ()iiPxp，则称表19 x1 x2
41、 xi P P1 P2 Pi 为随机变量 的概率分布，简称 的分布列 奎 屯王 新 敞新 疆2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足: 1)(0A，并且不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： Pi0， i1，2，； P1+P2+=1对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 奎 屯王 新 敞新 疆 即 )()()( 1kkk xPxx 奎 屯王 新 敞新 疆3.两点分布列:例 1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 ， 针 尖 向 上 ；X=0,针 尖 向 下 .如果针尖向上的概率为 p，试写出
42、随机变量 X 的分布列解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（ 1p) 于是，随机变量 X 的分布列是 0 1P 1p像上面这样的分布列称为两点分布列两点分布列的应用非常广泛如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究如果随机变量 X 的分布列为两点分布列，就称 X 服从两点分布 ( two 一 point distribution)，而称 p=P (X = 1）为成功概率两点分布又称 0 一 1 分布由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布 qP， pP1，0p， 4. 超
43、几何分布列：例 2在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：(1)取到的次品数 X 的分布列；（2）至少取到 1 件次品的概率解： (1)由于从 100 件产品中任取 3 件的结果数为 310C，从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的结果数为 359kC，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为2035910(),23kCPX。所以随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P35910C25931015930C0591(2)根据随机变量 X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率P ( X1 ) = P ( X = 1 ) + P
44、 ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) 0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0. 144 00 . 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 X=k发生的概率为 (),01,2knNCPXm,其中 mi,，且 ,NnM称分布列X 0 1 mPnMNCnNCnMNC为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布（ hypergeometriC distribution ) . 例 3在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 10 个红球和 20个白球，这些球除颜色外完全相同一次从中摸出 5 个球，至少摸到 3 个红球就中奖求中奖的概率解：设摸出红球的个数为 X，则 X 服从超几何分布，其中 N = 30 , M=10, n=5 于是中奖的概率 P (X3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 ）十 P ( X = 5 ) =3545510103103CC0.191. 思考：如果要将这个游戏的中奖率控制在 55%左右，那么应该如何设计中奖规则？nNkmP/例 4.已知一批产品共 件，其中 件是次品，从中任取 件，试求这 件产品中所含次品件数 的分布律。
