1、- 1 -第 5课时 数学归纳法基础达标(水平一)1.用数学归纳法证明“ + + + - .假设当 n=k时,不等式成立,则当 n=k+1时,1221321(+1)212 1+2应推证的目标不等式是 . 【解析】将 n=k+1代入左边的式子时,最后一项为 ,则左边的式子为 + + +1(+2)212213212+ ,右边的式子为 - .1(+1)21(+2)2 12 1+3【答案】 + + + + -122132121(+1)21(+2)212 1+311.在各项均为正的数列 an中,其前 n项和 Sn满足 Sn= .12(+1)(1)求 a1,a2,a3的值;(2)由(1)猜想数列 an的通
2、项公式,并用数学归纳法证明你的猜想 .【解析】(1)由 S1=a1= ,得 =1.因为 an0,所以 a1=1.12(1+11) 21由 S2=a1+a2= 得 +2a2-1=0.12(2+12) 22又因为 an0,所以 a2= -1.2由 S3=a1+a2+a3= 得 +2 a3-1=0,所以 a3= - .12(3+13) 23 2 3 2(2)猜想 an= - (nN *). -1用数学归纳法证明如下: 当 n=1时, a1= - =1,命题成立 .1 0 假设当 n=k(kN *)时, ak= - 成立 . -1- 4 -当 n=k+1时, ak+1=Sk+1-Sk= - ,即 ak+1= - - +12(+1+ 1+1)12(+1)12(+1+ 1+1)12 -1= -1- -1 12(+1+ 1+1)所以 +2 ak+1-1=0.2+1 又因为 an0,所以 ak+1= - ,+1 即当 n=k+1时,命题成立 .由 知,对任何的 nN *,有 an= - . -1
