1、1第二章 推理与证明综合检测一、选择题1.自然数都是整数,4 是自然数,所以 4 是整数 .以上“三段论”推理( ).A.正确B.推理形式不正确C.两个“自然数”概念不一致D.“两个整数”概念不一致【解析】“三段论”中的大前提,小前提及推理形式都是正确的 .【答案】A2.余弦函数是偶函数, f(x)=cos(x+1)是余弦函数,因此 f(x)=cos(x+1)是偶函数,以上推理( ).A.结论正确 B.大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确【解析】因为 f(x)=cos(x+1)不是余弦函数,所以小前提错误 .【答案】C3.下列推理不是合情推理的是( ).A.由圆的性质类比推出球的有关性质
2、B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180,归纳出所有三角形的内角和都是 180C.某次考试张军的成绩是 100 分,由此推出全班同学的成绩都是 100 分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】A 是类比推理,B、D 是归纳推理,C 不是合情推理 .【答案】C4.若 f(n)=1+ + + (nN *),则当 n=2 时, f(n)等于( ).1213 12+1A.1+ B.12 15C.1+ + + + D.均不正确12131415【解析】 f (n)=1+ + + ,分子是 1,分母是 1,2,3,2n+1,故当
3、 n=2 时, f(n)1213 12+1=1+ + + =1+ + + + .1213 122+1 12131415【答案】C5.下列推理是归纳推理的是( ).A.A,B 为定点,动点 P 满足 |PA|+|PB|=2a|AB|,则点 P 的轨迹为椭圆B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式2C.由圆 x2+y2=r2的面积 S= r2,猜想出椭圆 + =1 的面积 S= ab2222D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由 S1,S2,S3猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式,是从特殊到一般的推理,所以选项 B 中的推理是归纳推
4、理,故选 B.【答案】B6.函数 y=f(x)的定义域为 D,若对任意的 x1,x2 D 都有 |f(x1)-f(x2)|1,求证: a,b,c,d 至少有一个负数 .【解析】假设 a,b,c,d 都是非负数,则 1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc) ac+bd,这与已知 ac+bd1 矛盾 .故 a,b,c,d 至少有一个负数 .18.已知 A,B 都是锐角,且 A+B90,(1 +tan A)(1+tan B)=2.求证: A+B=45.【解析】 (1+tan A)(1+tan B)=2, tan A+tan B=1-tan Atan B.6A+B 90, tan(A+
5、B)= =1.tan+tan1-tantanA ,B 都是锐角, 00,b0,2ca+b,求证: c- a2+ab.因为 a0,所以只需证 2ca+b.又因为 2ca+b 成立 .所以原不等式成立 .20.已知 ABC 的三边长都是有理数,求证:(1)cos A 是有理数;(2)对任何正整数 n,cos nA 和 sin Asin nA 都是有理数 .【解析】(1)由 AB,BC,AC 的长为有理数及余弦定理知,cos A= 是有理数 .2+2-22(2)用数学归纳法证明 cos nA 和 sin Asin nA 都是有理数 . 当 n=1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin
6、 Asin A=1-cos2A 也是有理数 . 假设当 n=k(k1, kN *)时,cos kA 和 sin Asin kA 都是有理数,那么当 n=k+1 时,cos(k+1)A=cos Acos kA-sin Asin kA,sin Asin(k+1)A=sin A(sin Acos kA+cos Asin kA)=(sin Asin A)cos kA+(sin Asin kA)cos A,由 和归纳假设知,cos( k+1)A 和 sin Asin(k+1)A 都是有理数 .即当 n=k+1 时,结论成立 .综合 可知,对任何正整数 n,cos nA 和 sin Asin nA 都是有
7、理数 .21.如图,已知在三棱锥 P-ABC 中, PA AB,PA BC,AB BC,且 PA=AB=BC=2,D 为线段 AC 的中点, E 为线段 PC 上一点 .(1)求证: PA BD.(2)求证:平面 BDE平面 PAC.7(3)当 PA平面 BDE 时,求三棱锥 E-BCD 的体积 .【解析】(1) PA AB,PA BC,且 AB BC=B,PA 平面 ABC.又 BD 平面 ABC,PA BD.(2)AB=BC ,D 为线段 AC 的中点, 在 ABC 中, BD AC.又由(1)知, PA BD,PA AC=A,BD 平面 PAC.又 BD 平面 BDE, 平面 BDE平面
8、 PAC.(3)当 PA平面 BDE 时,由 D 是 AC 的中点知, E 为 PC 的中点 .因此 ED= PA=1,ED平面 BDC.12由 AB=BC=2,AB BC,D 为 AC 的中点知, BD=CD= .2又由 BD AC 知, BD DC,即 BDC=90.因此 VE-BCD= S BCDED= 1= .13 13 12 2 2 1322.已知数列 an的前 n 项和 Sn满足 Sn= + -1,且 an0,nN *.2 1(1)求 a1,a2,a3;(2)猜想 an的通项公式,并用数学归纳法证明 .【解析】(1) a1=S1= + -1,即 +2a1-2=0,1211 21a
9、n0,a 1= -1.3S2=a1+a2= + -1,即 +2 a2-2=0,a 2= - .2212 22 3 5 3S3=a1+a2+a3= + -1,3213即 +2 a3-2=0,a 3= - .23 5 7 5(2)由(1)猜想 an= - ,nN *.2+1 2-1下面用数学归纳法证明:当 n=1 时,由(1)知 a1= -1,猜想成立;3假设当 n=k(kN *)时, ak= - , 猜想成立,2+1 2-1那么当 n=k+1 时, ak+1=Sk+1-Sk= - = + - .(+12 + 1+1-1) (2+1-1) +12 1+1 2+1 +2 ak+1-2=0.2+1 2+18a k+1= - ,2(+1)+1 2(+1)-1即当 n=k+1 时猜想也成立 .综上可知,对任何 nN *猜想都成立 .
