1、1大题加练(一)姓名：_ 班级：_ 用时：_分钟1数学课上，张老师出示了问题：如图 1，AC，BD 是四边形 ABCD 的对角线，若ACBACDABDADB60，则线段 BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图 2，延长 CB 到 E，使 BECD，连接 AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE 是等边三角形，故ACCE，所以 ACBCCD.小亮展示了另一种正确的思路：如图 3，将ABC 绕着点 A 逆时针旋转 60，使 AB 与 AD 重合，从而容易证明ACF 是等边三角形，故ACCF，所以 ACBCCD.在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖
2、提出：如图 4，如果把“ACBACDABDADB60”改为ACBACDABDADB45”，其他条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明；(2)小华提出：如图 5，如果把“ACBACDABDADB60”改为“ACBACDABDADB30”，其他条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，并给出证明2【问题情境】 在ABC 中，BABC，ABC(0180)，点 P 为直线 BC 上一动点(不与点B，C 重合)，连接 AP，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转得到线段 PQ，旋转角为 )，
3、连接 CQ.【特例分析】 (1)当 90，点 P 在线段 BC 上时，过 P 作 PFAC 交直线 AB 于点 F，如图 1，易得图中与APF 全等的一个三角形是_，ACQ_；【拓展探究】 (2)当点 P 在 BC 延长线上，ABACmn 时，如图 2，试求线段 BP 与 CQ 的比值；【问题解决】 (3)当点 P 在直线 BC 上，60，APB30，CP4 时，请直接写出线段 CQ 的长23参考答案1解：(1)BCCD AC.2证明如下：如图，延长 CD 至 E，使 DEBC，连接 AE.ABDADB45，ABAD，BAD180ABDADB90.ACBACD45，ACBACD90，BADBC
4、D180，ABCADC180.ADCADE180，ABCADE.在ABC 和ADE 中， AB AD， ABC ADE，BC DE， )ABCADE( SAS)，ACBAED45，ACAE，ACE 是等腰直角三角形，CE AC.2CECDDECDBC，BCCD AC.2(2)BCCD AC.3证明如下：如图，延长 CD 至 E，使 DEBC.ABDADB30，ABAD，BAD180ABDADB120.ACBACD30，ACBACD60，BADBCD180，ABCADC180.ADCADE180，ABCADE.在ABC 和ADE 中， AB AD， ABC ADE，BC DE， )ABCADE(
5、 SAS)，ACBAED30，ACAE，AEC30.如图，过点 A 作 AFCE 于 F，CE2CF.在 RtACF 中，ACD30，CFAC cosACD AC，324CE2CF AC.3CECDDECDBC，BCCD AC.32解：(1)PQC 90(2)如图，过 P 作 PFAC，交 BA 的延长线于 F，则 .BAAF BCCP又ABBC，AFCP.FAPABCAPBAPB，CPQAPQAPBAPB，FAPCPQ.由旋转可得 PAPQ，AFPPCQ，FPCQ.PFAC，ABCFBP， ，BPBC FPAC .BPCQ BPFP BCAC ABAC mn(3)线段 CQ 的长为 2 或
6、8.理由如下：如图，当 P 在 CB 的延长线上时，CPQAPQAPB603030，APCQPC.又APQP，PCPC，APCQPC，CQAC.又BABC，ABC60，ABC 是等边三角形，5ABC60，BAPABCAPB30，BPABBC PC2，12QCACBC2.如图，当 P 在 BC 的延长线上时，连接 AQ.由旋转可得 APQP，APQABC60，APQ 是等边三角形，AQPQ，APQ60AQP.又APB30，ACB60，CAP30，CPQ90，CAPCPA，ACPC，ACQPCQ，AQCPQC AQP30，12 RtPCQ 中，CQ2CP8.综上所述，线段 CQ 的长为 2 或 8.
