1、1课时训练(二十四) 解直角三角形的应用(限时:30 分钟)|夯实基础|1.如图 K24-1,为测量一棵与地面垂直的树的高度,在距离树的底端 30米的 B处,测得树顶的仰角 ABO为 ,则树 OA的高度为 ( )图 K24-1A. 米 B.30sin 米30C.30tan 米 D.30cos 米2.在 Rt ABC中, C=90,sinA= ,AC=6 cm,则 BC的长度为 ( )45A.6 cm B.7 cmC.8 cm D.9 cm3.如图 K24-2,一艘海轮位于灯塔 P的北偏东 55方向,距离灯塔为 2海里的点 A处 .如果海轮沿正南方向航行到灯塔2的正东位置,那么海轮航行的距离 A
2、B长是 ( )图 K24-2A.2海里 B.2sin55海里C.2cos55海里 D.2tan55海里4.2017兰州 如图 K24-3,小明为了测量一凉亭的高度 AB(顶端 A到水平地面 BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶 BC等高的台阶 DE(DE=BC=0.5米, A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点 G处,测得 CG=15米,然后沿直线 CG后退到点 E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端 A,测得 EG=3米,小明身高 EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为 ( )图 K24-3A.8.5米 B.9米C.9.5米 D.10米5.如图 K24-4,为了测量某建筑物
3、 MN的高度,在平地上 A处测得建筑物顶端 M的仰角为 30,沿直线 AN向点 N方向前进16 m,到达 B处,在 B处测得建筑物顶端 M的仰角为 45,则建筑物 MN的高度等于 ( )3图 K24-4A.8( +1)m B.8( -1)m3 3C.16( +1)m D.16( -1)m3 36.2017泰州 小明沿着坡度 i为 1 的直路向上走了 50 m,则小明沿垂直方向升高了 m. 37.2017苏州 如图 K24-5,在一笔直的沿湖道路上有 A,B两个游船码头,观光岛屿 C在码头 A北偏东 60的方向,在码头 B北偏西 45的方向, AC=4 km.游客小张准备从观光岛屿 C乘船沿 C
4、A回到码头 A或沿 CB回到码头 B,设开往码头 A,B的游船速度分别为 v1,v2,若回到 A,B所用时间相等,则 = (结果保留根号) . 12图 K24-58.2018荆州 荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间,周边风景秀丽 .现在塔底低于地面约 7米,某校学生测得 古塔的整体高度约为 40米 .其测量塔顶相对地面高度的过程如下:先在地面 A处测得塔顶的仰角为 30,再向古塔方向行进 a米后到达 B处,在 B处测得塔顶的仰角为 45(如图 K24-6所示),那么 a的值约为 米( 1 .73,结3果精确到 0.1). 4图 K24-69.2018济宁 如图 K24-7,在一笔直的海
5、岸线 L上有相距 2 km的 A,B两个观测站, B站在 A站的正东方向上,从 A站测得船 C在北偏东 60的方向上,从 B站测得船 C在北偏东 30的方向上,则船 C到海岸线 L的距离是 km. 图 K24-710.2016盐城 已知 ABC中,tan B= ,BC=6.过点 A作 BC边上的高,垂足为点 D,且满足 BDCD= 2 1,则 ABC面积23的所有可能值为 . 11.2018淮安 为了计算湖中小岛上凉亭 P到岸边公路 l的距离,某数学兴趣小组在公路 l上的点 A处,测得凉亭 P在北偏东 60的方向上;从 A处向正东方向行走 200米,到达公路 l上的点 B处,再次测得凉亭 P在
6、北偏东 45的方向上,如图K24-8所示,求凉亭 P到公路 l的距离 .(结果保留整数,参考数据: 1 .414, 1 .732)2 3图 K24-85|拓展提升|12.2018宿迁 如图 K24-9,为了测量山坡上一棵树 PQ的高度,小明在点 A处利用测角仪测得树顶 P的仰角为 45,然后他沿着正对树 PQ的方向前进 10 m到达点 B处,此时测得树顶 P和树底 Q的仰角分别是 60和 30.设 PQ AB,且垂足为 C.(1)求 BPQ的度数;(2)求树 PQ的高度(结果精确到 0.1 m, 1 .73).3图 K24-913.2018泰州 日照间距系数反映了房屋日照情况,如图 K24-1
7、0,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数 =L (H-H1),其中 L为楼间水平距离, H为南侧楼房高度, H1为北侧楼房底层窗台至地面高度 .如图,山坡 EF朝北, EF长为 15 m,坡度为 i=1 0.75,山坡顶部平地 EM上有一高为 22.5 m的楼房 AB,底部 A到 E点的距离为 4 m.(1)求山坡 EF的水平宽度 FH;(2)欲在 AB楼正北侧山脚的平地 FN上建一楼房 CD,已知该楼底层窗台 P处至地面 C处的高度为 0.9 m,要使该楼的日照间距系数不低于 1.25,底部 C距 F处至少多远?6图 K24-10参考答案71.C2.C 解析 sin A= = ,设 BC=4
8、x,AB=5x,45又 AC2+BC2=AB2,6 2+(4x)2=(5x)2,解得 x=2或 x=-2(舍),则 BC=4x=8 cm,故选 C.3.C 解析 根据 cosA= 得 AB=PAcosA=2cos55.故选 C.4.A 解析 由题意可知 AGC= FGE,又 FEG= ACG=90, FEG ACG, FEAC=EGCG ,1 .6AC= 3 15, AC=8, AB=AC+BC=8.5米 .5.A 解析 设 BN=x,则 AN=16+x.在 Rt BMN中, MN=xtan45=x.在 Rt AMN中,16 +x= x,解得 x=8( +1).3 3建筑物 MN的高度等于 8
9、( +1)m.36.25 解析 如图,过点 B作 BE AC于点 E,坡度 i=1 ,tan A=1 = , A=30, AB=50 m,3 333 BE= AB=25(m).小明沿垂直方向升高了 25 m.127. 解析 根据“特殊角三角函数的应用”,作 CD AB,垂足为 D, AC=4, CAB=30, CD=2.在 Rt BCD中,2 CBD=45, BC=2 .开往码头 A,B的游船回到 A,B所用时间相等, = = .212 422 288.24.1 解析 如图所示,延长 AB交古塔于点 D,则 AD CD.由题意可知, CD=40-7=33(米),在 Rt BCD中, CBD=4
10、5,CD=BD= 33米, AD=AB+BD=a+ 33(米),在 Rt ACD中,tan CADAD=CD,即 (a+33)=33,a= 33( -1)24 .1.33 39. 解析 过点 C作 CD AB于点 D,根据题意得: CAD=90-60=30, CBD=90-30=60,3 ACB= CBD- CAD=30, CAB= ACB,BC=AB= 2 km,在 Rt CBD中, CD=BCsin60=2 = (km),因此,答案为: .32 3 310.8或 24 解析 设 CD=x,由 BDCD= 2 1,得 BD=2x,若点 D在线段 BC上,如图 ,BC=BD+CD=3x=6,x
11、=2,BD=4,由tanB= = ,得 AD= BD= 4= ,S ABC= 6 =8;若点 D在线段 BC的延长线上,如图 ,BC=BD-CD=x=6,BD=12,由 tanB=23 23 23 83 12 83= ,得 AD= BD= 12=8,S ABC= 68=24.故答案为 8或 24.23 23 23 1211.解:过 P作 PC AB于 C,在 Rt ACP中,tan APC=tan60= ,9即 AC=PCtan60= PC,3同理可得, BC=PC,AB=AC-BC= PC-PC=200,3PC= =100( +1)273,2003-1 3答:凉亭 P到公路 l的距离约为 2
12、73米 .12.解:(1) PBC为直角三角形,且 PBC=60, BPQ=90-60=30.(2) PBQ= PBC- QBC=60-30=30, BPQ=30,BQ=PQ.设 CQ的长度为 x,则 PQ=BQ=2x,BC= CQ= x.3 3 A=45,AC=PC.AB= 10, 2x+x=3x=10+ x.3x= .5(3+ 3)3PQ= 2 15 .8(m).5(3+ 3)313.解:(1)在 Rt EFH中, =i=1 0.75,EH2+FH2=EF2=152,FH= 9,EH=12,答:山坡 EF的水平宽度 FH的长度为 9 m.(2)过点 A作 AG CF,交 CF的延长线于点 G,过点 P作 PK AG于点 K,10则 KG=PC=0.9,AG=EH=12,BK=BA+AG-KG= 22.5+12-0.9=33.6, 1 .25,PK 1 .25BK=1.2533.6=42,CG 42,FH= 9,HG=EA=4,CF 29,答:底部 C距 F处至少 29 m.
