1、1宜春南苑实验学校 2016-2017学年下学期期中考试高二年级数学（理）试卷一.选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若复数 z ai 的实部与虚部相等，则实数 a( )A. 1 B. 1 C. 2 D. 2【答案】B【解析】由于复数 z ai 的实部与虚部分别为 ，故由题设可得 ，应选答案 B。2. 18171698等于 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为从 有 11个数，所以，应选答案 D。3. 的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：C03+C14+C25+C36+.+
2、C1720=C04+C14+C25+C36+.+C1720=C15+C25+C36+.+C1720，故选 D.=C26+C36+.+C1720=C1721=C421考点：二项式系数的性质.【方法点睛】本题主要考查了二项式系数的性质，属于基础题.解答本题的关键是根据题中各二项式系数上标和下标的特征找到解题的突破口，容易发现各二项式系数的下标和上标都是依次加 ，如果把 用 代替就可以利用性质 从前面开始逐步合并，1 C03 C04 Cmn+Cm+1n =Cm+1n+1最终得到 ，再利用性质 得到 .C1721 Cmn=Cnmn C4214. 凸十边形的对角线的条数为 ( )2A. 10 B. 35
3、 C. 45 D. 90【答案】B【解析】因为 10边形有 10个顶点，而 1个顶点可以和 7个定点连成对角线，所以 10个顶点是 条对角线，由于每条对角线都计算了两次，所以有 35条对角线，应选答案107=70B。5. (x2) 6的展开式中 x3的系数是 ( )A. 20 B. 40 C. 80 D. 160【答案】D【解析】因为二项展开式中的 是降幂，2 是升幂，当 的指数降为 3时，2 的指数升为 3，x x二项式系数的上标升至 3，其系数是 数，应选答案 D。C63623=8C36=820=1606. 若 100件产品中有 6件次品，现从中任取 3件产品，至少有 1件次品的不同取法的
4、种数是（ ）A. B. C. D. C16C294 C16C299 C3100C394 C3100C294【答案】C【解析】试题分析：因为从 件产品中任取 件产品 共有 种取法，从 件产品中任100 3 C3100 100取 件产品没有次品的取法共有 种，所以从 件产品中任取 件产品至少有 件次品的不3 C394 100 3 1同取法的种数是 ，故选 C.C3100C394考点：阅读能力及组合的应用.7. 用反证法证明命题：“若系数为整数的一元二次方程 ax2 bx c0( a0)有有理根，那么 a， b， c中至少有一个是偶数” 对该命题结论的否定叙述正确的是( )A. 假设 a， b， c
5、都是偶数B. 假设 a， b， c都不是偶数C. 假设 a， b， c至多有一个是偶数D. 假设 a， b， c至多有两个是偶数【答案】B【解析】试题分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c 中至少有一个偶数”写出否定即可3解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是” 即假设正确的是：假设 a、b、c 都不是偶数故选：B点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是” ；“能”的否定：“不能” ；“都是”的否定：“不都是” ；“至多有一个”的否定：“至少有两个” ；
6、“至少有一个”的否定：“一个也没有” ；“是至多有 n个”的否定：“至少有 n+1个” ；“任意的”的否定：“某个” ；“任意两个”的否定：“某两个” ；“所有的”的否定：“某些” 8. 教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种10 32 25 16【答案】D【解析】因为从一层到五层共有 5层，运用分步计数原理可知：共有种不同的走法，应选答案 D。22222=329. 函数 f(x) x33 x+1在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是（ ）A. 1，1 B. 3，-17 C. 1，17 D. 9，19【答案】B【解析】因为 ，所以
7、可得 ，令f(x)=3x23=3(x+1)(x1) f(x)=3x23=3(x+1)(x1)可得 ，容易算得 ，故f(x)=3(x+1)(x1)=0 x=1,x=1 f(3)=17,f(1)=3,f(1)=1,f(0)=1最大值和最小值分别是 ，应选答案 B。3,17点睛：解答本题的思路是先求函数的导数，求出其极值点，再求出极值点对应的函数值（包括区间端点） ，最后再确定这些函数值中的最大值和最小值，简化问题的求解过程，值得借鉴和思考。10. 已知函数 y f(x)的导函数 y f( x)的图像如图所示，则( )4A. 函数 f(x)有 1个极大值点，1 个极小值点B. 函数 f(x)有 2个
8、极大值点，2 个极小值点C. 函数 f(x)有 3个极大值点，1 个极小值点D. 函数 f(x)有 1个极大值点，3 个极小值点【答案】A【解析】试题分析：所给图象是导函数图象，在 处左右两侧函数值取正负，故函数x2,x3在 有极大值，在 处有极小值.故选 A.f(x) x2 x3考点：函数的极值.11. 设 ， ， 则 a，b，c 的大小关系( )a=10x13dx b=110x12dx c=10x3dxA. abc B. bac C. acb D. bca【答案】A【解析】借助定积分的计算公式可算得 ，a=10x13dx=32x23|10=32， ，所以 ，应选答案 A。b=110x12d
9、x=123x32|10=123=13 c=10x3dx=14x4|10=14 abc12. 已知数列 1， a a2， a2 a3 a4， a3 a4 a5 a6，则数列的第 k项是( )A. ak ak1 a2k B. ak1 ak a2k1C. ak1 ak a2k D. ak1 ak a2k2【答案】D【解析】由题设可知数列的第 项是 个数，对于答案 A中，由于 ，因此有 个k k 2kk=k k+1项，故不正确；对于答案 B，因为 ，所以有 个项，故不正确；对于答案2k1k+1=k k+1C，因为 ，所以有 个项，故也不正确；对于答案 D，因为2kk+1=k+1 k+2，所以有 个项，
10、故正确，应选答案 D。2k2k+1=k1 k点睛：解答本题的关键是运用观察归纳的思维方法，首先确定第 项必有 个数这一事实，k k依据单项选择题的问题特征，运用逐个检验和验证的数学筛选法进行逐一判定，最终达到减少选择项或得到选择项的目的。二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.将答案填在题中的横线上)513. 若函数 f(x) ，则 f(x)的导函数 f( x)=_.4x3【答案】24x34x3【解析】因为 ，所以 ， ，应填答f(x)=4x3=(4x3)12 f(x)=12(4x3)124= 24x3=24x34x3案 。24x34x314. 已知复数 z134i， z2 t
11、i，且 z1 是实数，则复数 z2的模 _.Z2 |z2|=【答案】【解析】因为 ，所以 ，由题设z1=3+4i,z2=t+i z1z2=(3+4i)(ti)=(3t+4)+(4t3)i可得 ，所以 ，应填答案。4t3=0t=34 |z2|=t2+1= 916+1=5415. 观察下列等式：1 32 33 2, 132 33 36 2, 132 33 34 310 2，根据上述规律，第五个等式为_【答案】1 32 33 34 35 36 321 2.【解析】由 13+23=(1+2)2=32;13+23+33=(1+2+3)2=62;13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102得,第五
12、个等式为 13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.16. 用数字 1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比 20000大的五位偶数共有 _个.【答案】36.【解析】由题设可知：当首位排 5和 3时，末尾可排 2和 4，中间三数全排，两种情况共有 种；当首位排 2和 4 时，末尾只能排 4和 2，中间三个数全排，两种情况共有 ，4A33 2A33所以由分类计数原理可得所有符合条件的五位数共有 ， ，应填答案 。6A33=66=36 36点睛：解答本题时充分借助题设条件，先考虑首位数字的特征，其次考虑末尾数字的要求，中间三个数将剩余的三个数全排的思维模式，运
13、用分类计数和分步计数原理进行分析求解，从而获得答案。6三、解答题(本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. 已知复数 ， 是实数， 是虚数单位z=bi(bR)z21+i i（1）求复数 ；z（2）若复数 所表示的点在第一象限，求实数 m的取值范围(m+z)2【答案】 （1） z=2i （2）m（，2）时，复数所表示的点在第一象限【解析】 【试题分析】 （1）将 代入 ，再借助 是实数，其虚部为 0建z=bi(bR)z-21+i z-21+i立方程求出 的值；（2）将 代入 ，借助其表示的点在第一象限建立不等式组，b z=-2i (m+z)2通过解不等式组求出
14、的取值范围：m解：（1）z=bi（bR） ， = = 又 是实数， ， b=2 ，即 z=2i （2）z=2i，mR，（m+z） 2=（m2i） 2=m24mi+4i 2=（m 24）4mi，又复数所表示的点在第一象限， ，解得 m2，即 m（，2）时，复数所表示的点在第一象限18. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图 为她们刺绣最简单的四个图案，(1),(2),(3),(4)这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同） ，设第 n个图形包含 个小正方形.f(n)（1）求出 ；f(5)（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 与 的关系式
15、，f(n+1) f(n)7（3）根据你得到的关系式求 的表达式f(n)【答案】 （1）41（2）f（n）=2n 22n+1【解析】 【试题分析】 （1）先求出 ，找出规律f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，求出f(2)-f(1)=41，f(3)-f(2)=42，f(4)-f(3)=43，f(5)-f(4)=44；（2）借助归纳推理找出规律： - ；（3）借f(5)=f(4)+44=25+16=41 f(n+1)f(n)=4n助（2）的规律 - 运用两边叠加的方法求解：f(n+1)f(n)=4n解：（）f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，f（2）f
16、（1）=4=41f（3）f（2）=8=42，f（4）f（3）=12=43，f（5）f（4）=16=44f（5）=25+44=41 （）由上式规律得出 f（n+1）f（n）=4nf（2）f（1）=41，f（3）f（2）=42，f（4）f（3）=43，f（n1）f（n2）=4（n2） ，f（n）f（n1）=4（n1）f（n）f（1）=41+2+（n2）+（n1）=2（n1）n，f（n）=2n 22n+119. 有 4个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒子内(1)共有几种放法？(2)恰有 1个空盒，有几种放法？(3)恰有 2个盒子不放球，有几种放法？【答案】 （1）256（2）144（3）8
17、4【解析】 【试题分析】 （1）依据分步计数原理可得 ；（2）先从4444=44=2564个小球中取出两个放在一起，分成三堆放入 3 个盒子中，运用分步计数原理求解；（3）8先分类：即分为一个盒子放 1个；另一个盒子放 3个和两个盒子中各放 2个小球，然后运用分类计数原理进行求解：解 (1)4 4256(种)(2)先从 4个小球中取 2个放在一起，有 C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外 2个小球看作三堆，并分别放入 4个盒子中的 3个盒子里，有 A34种不同的放法根据分步乘法计数原理，不同的放法共有 C24A34144(种)20. 已知函数 f(x) ax2 blnx在 x1 处有极
18、值.(1)求 a， b的值；(2)求函数 y f(x)的单调区间【答案】 （1） a， b1（2）单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，)【解析】 【试题分析】 （1）先对函数 求导，借助极值点即为导数的零点f(x)=ax2+blnx及 建立方程组 ；（2）先对函数 求导，再借助导数值的符号与f(1)=0 f(1)=12f(1)=0 f(x)=12x2lnx函数单调性的关系，求出单调其单调区间：(1)f( x)2 ax ，又 f(x)在 x1 处有极值 ， 即解得 a ， b1. 经检验得 a ， b1 函数 f(x) ax2 blnx在 x1 处有极值 . (2)由(1)可知 f(x)
19、x2ln x，其定义域是(0，)，且 f( x) x 9.令 f( x)0，解得 x1 或 x1(舍去)当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，)f( x) 0 f(x) 极小值 所以函数 y f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，)点睛：本题以含参数的函数解析式为前提条件，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解本题的第一问时，依据题设条件先求出函数的导数，再借助题设条件建立出方程组 ，通过解方程组求出实数f(x)=ax2+blnx f(1)=12f(1)=0；（2）求函数单调区间的步骤是先对函数求导，再求出函
20、数极值点（导函数的零a=12b=1点） ，最后将定义域化为以极值点为端点几个区间进行检验判定，确定导函数值的符号，判断出函数的单调性，最终求出单调区间。21. 如图，设 是抛物线 上的一点A( 2 , 4 ) C:y=x2(1)求该抛物线在点 处的切线 的方程；A l(2)求曲线 、直线 和 轴所围成的图形的面积.C l x【答案】 （1） （2） 4xy4=0【解析】略1022. 已知( x2)2n的展开式中各项系数的和比(3 x1) n的展开式中二项式系数的和大3x992，求 2n的展开式中：(2x1x)（1）第 10项(2) 常数项；(3) 系数的绝对值最大的项【答案】 （1） T10-
21、20x -8（2）8 064（3）系数的绝对值最大的是第 4项15 360x4.【解析】 【试题分析】 （1）先二项式的各项系数与二项式系数，借助二者之差为 992建立方程求出 ，再依据二项式展开式的通项公式求出第 10项；（2）借助二项式展开式的通n项公式 ，待定出 的值；（3）依据最大的意义Tr+1=Cr10(2x)10-r(-1x)r=Cr10210-r(-1)rx10-2r r及二项展开式的通项公式建立不等式组 进行求解： Tr+1TrTr+1Tr+2解 由题意得 22n2 n992，解得 n5.Tr+1=Cr10(2x)10-r(-1x)r=Cr10210-r(-1)rx10-2r(1 ) 10的展开式中第 10项，即 T10-20x -8（2）常数项为第 6项。 T6C (2x)5 58 064.(3)设第 r1 项的系数的绝对值最大，则 Tr1 C (2x)10 r r(1) rC 210 rx102 r.得即 r ， r3，故系数的绝对值最大的是第 4项T4(1) 3C 27x415 360 x4.点睛：本题是一道有关二项式定理的综合问题，旨在考查二项式定理及展开式的通项公式11的综合运用。本题的第三问是本题的难点，解答充分依据题设条件，借助最大的含义，建立不等式组 ，通过不等式组求出 r ，最终求出 r3 使得问题巧妙获解。
