1、12.3 函数的应用()课时过关能力提升1 某债券市场发行三种债券,甲种面值为 100 元,一年到期本息和为 103 元;乙种面值为 50 元,半年到期本息和为 51.4 元;丙种面值为 100 元,但买入价为 97 元,一年到期本息和为 100 元 .作为购买者,分析这三种债券的收益,从小到大排列为( )A.乙,甲,丙 B.甲,丙,乙C.甲,乙,丙 D.丙,甲,乙解析 假设这个人用 100 元购买债券,如果购买甲种,则一年后为 103 元;如果购买乙种,则半年后为102.8 元,一年后为 105.678 4 元;如果购买丙种,则一年后为 100 103 .1 元 .10097答案 B2 商店
2、某种货物的进价下降了 8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率由原来的 r%增加到( r+10)%,则 r 的值等于( )(销售价 -进价进价 100%)A.12 B.15 C.25 D.50解析 设原销售价为 a,原进价为 x,可以列出方程组:- 100%=100,-(1-8%)(1-8%)100%=10+100,解这个方程组,消去 a,x,可得 r=15.答案 B3 将进货单价为 80 元的商品按 90 元一件售出时,能卖出 400 件,已知该商品每件涨价 1 元时,其销售量就会减少 20 件,为了获得最大的利润,其售价应定为( )元 /件A.110 B.105C.100 D.95解析
3、 设每件涨价 x 元,利润为 y 元,则销售量为(400 -20x)件,根据题意,有 y=(10+x)(400-20x)=-20x2+200x+4 000=-20(x-5)2+4 500.故当 x=5 时, y 取得最大值为 4 500,即当每件涨价 5 元,也就是售价为 95 元 /件时,可以获得最大利润为 4 500 元 .答案 D4 在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线 y=f(x),另一种是平均价格曲线 y=g(x),如 f(2)=3 表示股票开始买卖 2 小时后的即时价格为 3 元; g(2)=3 表示22 小时内的平均价格为 3 元,下面给出了四个
4、图象,实线表示 y=f(x),虚线表示 y=g(x),其中可能正确的是( )解析 根据即时价格与平均价格的相互依赖关系,可知,当即时价格升高时,对应平均价格也升高;反之,当即时价格降低时,对应平均价格也降低,故选项 C 中的图象可能正确 .答案 C5 一个人以 6 m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车,当他距汽车 25 m 时,交通灯由红变绿,汽车以 1 m/s2的加速度匀加速开走,则( )A.人可在 7 s 内追上汽车B.人可在 10 s 内追上汽车C.人追不上汽车,两者最近距离为 10 mD.人追不上汽车,两者最近距离为 7 m解析 如图所示,设汽车在 C 点开始运动,此时人到达 A 点,
5、 AC=25 m,经 t s 后,汽车到达 D 点,路程CD=at2,此时人追到 B 点,路程 AB=vt,依题意,汽车与人的距离 S=AC+CD-AB=25+at2-vt=25+t2-6t=7+ (t-6)27 .所以,人不能追上汽车,他与汽车最近的距离是在汽车开动 6 s 后的瞬间,两者最近距离为 7 m,故选 D.答案 D6 某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元,并且生产量每增加一单位产品,成本增加 1 万元,又知总收入 R 是单位产量 Q 的函数 R(Q)=4Q- Q2,则总利润 L(Q)的最大值是 万元,这时产1200品的生产数量为 .(总利润 =总收入 -总成本) 解析 L
6、(Q)=4Q- Q2-(200+Q)=- (Q-300)2+250,则当 Q=300 时,总利润 L(Q)取最大值 250 万元 .1200 1200答案 250 3007 某批发商批发某种商品的单价 P(单位:元 /千克)与一次性批发质量 x(单位:kg)之间的函数图象如图所示 .一零售商仅有现金 2 700 元,他最多可购买这种商品 kg(不考虑运输费等其他费用) . 3解析 由题意,可得批发这种商品所需费用 y(元)与一次性批发质量 x(kg)之间的函数关系式为y=37,0150. 从而易得 30504 时,甲旅行社更优惠 .9 某人定制了一批地砖,每块地砖(如图所示)是边长为 1 m
7、的正方形 ABCD.点 E,F 分别在边 BC和 CD 上,且 CE=CF, CFE, ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成,制成 CFE, ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元 .问点 E 在什么位置时,每块地砖所需的材料费用最省?解 设每块地砖所需的材料费用为 W 元, CE=x m,则 BE=(1-x)m.由于制成 CFE, ABE 和四边形 AEFD 三种材料的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元,则 W= x230+ 1 (1-x)20+ 1012 12 1-122-121(1-)4=10x2-5x+15=10 .
8、(-14)2+1158当 x= 时, W 有最小值 ,即所需材料费用最省 .14即当点 E 在距点 C m 时,每块地砖所需的材料费用最省 .1410 某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价 500 元 /件,又不高于 800 元 /件,经试销调查,发现销售量 y(单位:件)与销售单价 x(单位:元 /件)可近似看作一次函数 y=kx+b(k0)的关系(图象如图所示) .(1)根据图象,求一次函数 y=kx+b(k0)的表达式 .(2)设公司获得的毛利润(毛利润 =销售总价 -成本总价)为 s 元 . 求 s 关于 x 的函数表达式; 求该公司可获得的最大毛利润,并求出此时相应
9、的销售单价 .解 (1)由题中图象,可知函数 y=kx+b(k0)的图象经过点(600,400),(700,300),代入 y=kx+b,得 解得400=600+,300=700+,=-1,=1 000,来源:学 (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?解 (1)设投资债券等稳健型产品的收益与投资额的函数关系式为 f(x)=k1x(k10),投资股票等风险型产品的收益与投资额的函数关系式为 g(x)=k2 (k20),5则依题意知 f(1)= =k1,g(1)= =k2,18 12故 f(x)= x(x0), g(x)= (x0) .18 12(2)设投资债券等稳健型产品 x 万元,则投资股票等风险型产品为(20 -x)万元 .依题意,得 y=f(x)+g(20-x)= x+ (0 x20) .18 1220-令 =t,则 0 t2 ,且 x=20-t2,20- 5即 y= t=- (t-2)2+3(0 t2 ).20-28 +12 185故当 t=2,即 x=20-22=16 时,收益最大,且最大收益为 3 万元 .因此,当投资债券类产品 16 万元,投资股票类产品 4 万元时,总收益最大,最大收益为 3 万元 .
