1、12.4 空间直角坐标系1 在空间直角坐标系中, P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关系是( )A.关于 x 轴对称 B.关于 yOz 平面对称C.关于坐标原点对称 D.关于 y 轴对称解析： 因为 P,Q 两点的 y 坐标相同, x,z 坐标分别互为相反数,它们的中点在 y 轴上,并且 PQ 与 y 轴垂直,故 P,Q 关于 y 轴对称 .答案： D2 已知三点 A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),则( )A.三点构成等腰三角形B.三点构成直角三角形C.三点构成等腰直角三角形D.三点不能构成三角形解析： 因为 |AB|= ,|BC|= ,|AC|= =2 ,
2、9+16+4=29 9+16+4=29 36+64+16 29所以 |AC|=|AB|+|BC|.所以三点不能构成三角形 .答案： D3 已知空间一点 P 在 xOy 平面上的射影为 M(1,2,0),在 xOz 平面上的射影为 N(1,0,3),则 P 在yOz 平面上的射影 Q 的坐标为( )A.(1, 2,3) B.(0,0,3) C.(0,2,3) D.(0,1,3)解析： 由 P 点在 xOy 平面上的射影,知 xP=1,yP=2,在 xOz 平面上的射影为 N(1,0,3),知 xP=1,zP=3.故 P(1,2,3)在 yOz 平面上的射影为 Q(0,2,3).答案： C4 已知
3、 A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则 A,B 两点间距离的最小值是( )A. B. C. D.55 555 355 115解析： 因为 d(A,B)= 2-(1-)2+-(1-)2+(-)2= (1+)2+(2-1)2+0= ,52-2+2=5(-15)2+95355所以 A,B 两点间距离的最小值是 .3552答案： C5 如图 ,在正方体 ABCD-ABCD中,棱长为 1,点 P 在对角线 BD上,且 BP=BD,则点 P 的坐标为( )A. B.(13,13,13) (23,23,23)C. D.(13,23,13) (23,23,13)解析： 点 P 在坐标平面 xDy 上
4、的射影落在 BD 上 .因为 BP= BD,所以 Px=Py= ,Pz= .13 23 13故点 P 的坐标为 .(23,23,13)答案： D6 在空间直角坐标系中,若点 P 在 x 轴上,它到 P1(0, ,3)的距离为 2 ,则点 P 的坐标为 .2 3解析： 设 P(x,0,0),则 =2 ,解得 x=1,故 P 点坐标为( 1,0,0).2+2+9 3答案： (1,0,0)7 在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,-2),B(1,-3,1),点 B 关于坐标平面 xOy 的对称点为 B1,则|AB1|= . 答案： 108 若半径为 r 的球在第 卦限内,且与各坐标平面均相切,则球
5、心的坐标是 . 解析： 由第 卦限内的各坐标的符号正负可得 .答案： (-r,-r,r)9 若点 P(x,y,z)到 A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则 x,y,z 满足的关系式是 ,猜想它表示的图形是 . 解析： 由两点间距离公式得( x-1)2+y2+(z-1)2=(x-2)2+(y-1)2+z2,化简得 2x+2y-2z-3=0,由几何图形的性质知这个方程表示线段 AB 的中垂面 .答案： 2x+2y-2z-3=0 线段 AB 的中垂面10 已知 A(3,3,1),B(1,0,5),求:(1)d(A,B);(2)线段 AB 的中点坐标;3(3)到 A,B 两点距离相等的
6、点 P(x,y,z)的坐标 x,y,z 满足的条件 .解 (1)由空间两点间的距离公式,得d(A,B)= .(3-1)2+(3-0)2+(1-5)2=29(2)线段 AB 的中点坐标为 ,(3+12 ,3+02 ,1+52 )即为 .(2,32,3)(3)点 P(x,y,z)到 A,B 的距离相等,则 (-3)2+(-3)2+(-1)2= ,化简得 4x+6y-8z+7=0,即到 A,B 距离相等的点 P 的坐(-1)2+(-0)2+(-5)2标( x,y,z)满足的条件是 4x+6y-8z+7=0.11 如图 ,在长方体 OABC-DABC中, OA=3,OC=4,OD=3,AC与 BD相交
7、于点 P,分别写出点C,B,P 的坐标 .解 根据题意,得点 C 在 y 轴上,因为 OC=4,所以点 C 的坐标为(0,4,0);点 B的横坐标与点 A 的横坐标相同,因为 OA=3,所以点 B的横坐标为 3,点 B的纵坐标与点 C 的纵坐标相同,所以点 B的纵坐标为 4,点 B的竖坐标与点 D的竖坐标相同,因为 OD=3,所以点 B的竖坐标为 3,所以点 B的坐标为(3,4,3).点 P 的横坐标为点 A 横坐标的一半,纵坐标为点 C 纵坐标的一半,竖坐标与点 D的竖坐标相同,因此,点 P 的坐标为 .(32,2,3)综上所述: C(0,4,0),B(3,4,3),P .(32,2,3)
8、12 如图, AF,DE 分别是 O, O1的直径, AD 与两圆所在的平面均垂直, AD=8,BC 是 O 的直径,AB=AC=6,OE AD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点 A,B,C,D,E,F 的坐标 .解 因为 AD 与两圆所在的平面均垂直, OE AD,所以 OE平面 ABC,又因为 AF平面 ABC,BC平面 ABC,所以 OE AF,OE BC,4又因为 BC 是圆 O 的直径,所以 OB=OC,又因为 AB=AC=6,所以 OA BC,BC=6 ,2所以 OA=OB=OC=OF=3 .2如图,以 O 为原点,以 OB,OF,OE 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴
9、,建立空间直角坐标系,则 A(0,-3 ,0),B(3 ,0,0),C(-3 ,0,0),D(0,-3 ,8),E(0,0,8),F(0,3 ,0).2 2 2 2 2 13 如图, 以正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,点 P 在正方体的对角线 AB 上,点 Q 在正方体的棱 CD 上 .(1)当点 P 为对角线 AB 的中点,点 Q 在棱 CD 上运动时,探究 |PQ|的最小值;(2)当点 Q 为棱 CD 的中点,点 P 在对角线 AB 上运动时,探究 |PQ|的最小值;(3)当点 P 在对角线 AB 上运动,点 Q 在棱 CD 上运动时,探究 |PQ|的最小值
10、.由以上问题,你得到了什么结论,你能证明你的结论吗?解 设正方体的棱长为 a.(1)当点 P 为对角线 AB 的中点时,点 P 的坐标是 .因为点 Q 在线段 CD 上,设 Q(0,a,z),(2,2,2)|PQ|= (2)2+(2-)2+(2-)2= .(-2)2+122当 z= 时, |PQ|的最小值为 a,即点 Q 为棱 CD 的中点时, |PQ|有最小值 a.2 22 22(2)因为 P 在对角线 AB 上运动, Q 是定点,所以当 PQ AB 时, |PQ|最短 .因为当点 Q 为棱 CD 的中点时, |AQ|=|BQ|, QAB 是等腰三角形,所以当 P 是 AB 的中点时, |PQ|取得最小值 a.22(3)当点 P 在对角线 AB 上运动,点 Q 在棱 CD 上运动时, |PQ|的最小值仍然是 a.225证明如下:如图,设 P(x,y,z1).由正方体的对称性,显然有 x=y.设 P 在平面 xOy 上的射影是 H.在 AOB 中, ,所以 ,即有 x=a-z1.则点 P 的坐标是( a-z1,a-z1,z1).= 1=-由已知,可设 Q(0,a,z2),则|PQ|= (-1)2+(-1)2+(1-2)2= .(2-1)2+2(1-2)2+22当 z2=z1= 时, |PQ|取得最小值,最小值是 a.2 22
