1、1(一)三角函数与解三角形1已知函数 f(x)sin x(cos x sin x)3(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若关于 x 的方程 f(x) t 在区间 内有两个不相等的实数解，求实数 t 的取值范0， 2围解 (1) f(x)sin xcos x sin2x3 sin 2x (1cos 2 x)12 32 sin 2x cos 2x12 32 32sin .(2x 3) 32所以 f(x)的最小正周期 T .22(2)因为 x ，0， 2所以 2x . 3 3， 23令 u2 x ， 3因为 ysin u 在 上是增函数， 3， 2在 上是减函数， 2， 23令 u2 x ，则 x
2、 ， 3 2 512所以 f(x)在 上是增函数，0，512在 上是减函数512， 2由题意知，关于 x 的方程 f(x) t 在区间 内有两个不相等的实数解，等价于 y f(x)0， 2与 y t 的图象在区间 内有两个不同的交点，0， 2又因为 f(0)0， f 1 ， f ，(512) 32 ( 2) 32所以 t1 ，332即 t 的取值范围是 .3， 132)2在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 cos A ， b ， c .1010 2 5(1)求 a；(2)求 cos(B A)的值解 (1)在 ABC 中，由余弦定理得，a2 b2 c22 bc
3、cos A252 9，2 5 (1010) a3(舍负)(2)在 ABC 中，由 cos A ，得 A ，1010 ( 2， )sin A .1 cos2A1 ( 1010)2 31010在 ABC 中，由正弦定理得 ，asin A bsin B即 ，sin B ，331010 2sin B 55又 A ，故 B ，( 2， ) (0， 2)cos B .1 sin2B1 (55)2 255cos( B A)cos Bcos Asin Bsin A .255 ( 1010) 55 31010 2103(2018河北省衡水中学模拟)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b，
4、c，且cos2Bcos 2Csin 2A sin Asin B.3(1)求角 C；(2)若 A ， ABC 的面积为 4 ， M 为 AB 的中点，求 CM 的长 6 3解 (1)由 cos2Bcos 2Csin 2A sin Asin B，3得 sin2Csin 2Bsin 2A sin Asin B.3由正弦定理，得 c2 b2 a2 ab，33即 a2 b2 c2 ab.3又由余弦定理，得 cos C .a2 b2 c22ab 3ab2ab 32因为 0C，所以 C . 6(2)因为 A C ， 6所以 ABC 为等腰三角形，且顶角 B .23故 S ABC a2sin B a24 ，所
5、以 a4(舍负)12 34 3在 MBC 中，由余弦定理，得CM2 MB2 BC22 MBBCcos B416224 28，12解得 CM2 .74(2018重庆市綦江区调研)已知 a(2cos x,2sin x)， b ，(sin(x 6)， cos(x 6)函数 f(x)cos a， b (1)求函数 f(x)的零点；(2)若锐角 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 f(A)1，求 的取值范b ca围解 (1)由条件可知， ab2cos xsin 2sin xcos 2sin ，(x 6) (x 6) (2x 6) f(x)cos a， b ab|a|b|
6、 2sin(2x 6)2sin .(2x 6)由 2x k， kZ，解得 x ， kZ， 6 k2 12即函数 f(x)的零点为 x ， kZ.k2 12(2)由正弦定理得 ，b ca sin B sin Csin A由(1)知， f(x)sin ，(2x 6)4又 f(A)1，得 sin 1，(2A 6)2 A 2 k ， kZ， 6 2又 A(0，)，得 A ， 3 A B C， C B，代入上式化简得，23b ca sin B sin(23 B)sin A32sin B 32cos Bsin A3sin(B 6)sin A2sin .(B 6)又在锐角 ABC 中，有 0B ， 20C
7、B ，23 2 B ， B ， 6 2 3 623则有 sin 1，32 (B 6)即 2.3b ca5(2018河南省郑州外国语学校调研)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin Asin B sin C.3(1)若 cos2Asin 2Bcos 2Csin Asin B，求 sin Asin B 的值；(2)若 c2，求 ABC 面积的最大值解 (1)cos 2Asin 2Bcos 2Csin Asin B，1sin 2A sin 2B1sin 2Csin Asin B，sin 2A sin 2Bsin 2Csin Asin B，由正弦定理，得 a2 b2 c2 ab，由余弦定理，得 cos C ，a2 b2 c22ab 12又 0C，5 C ，23sin Asin B sin C sin .3 323 32(2)当 c2， a b c2 ，3 3cos C 1，a2 b2 c22ab a b2 2ab c22ab 4absin C 1 cos2C1 (4ab 1)2 ， (4ab)2 8ab S absin C ab12 12 (4ab)2 8ab .12 16 8ab a b2 2 ，3 ab即 0ab3，当且仅当 a b 时等号成立，3 S ，12 16 8ab 12 16 83 2 ABC 面积的最大值为 .2
