1、1专题强化练十 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1如图，在正方形 ABCDA1B1C1D1中， P 为 BD1的中点，则 PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A B C D解析：图是 PAC 在底面上的投影，是 PAC 在前后侧面上的投影因此正投影可能是，选项 B 正确答案：B2某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A60 B30 C20 D10解析：由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，则三棱锥 A1BCD 是三视图所示三棱锥， VA1BCD 35410.13 12答案：D3(2018北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的2个数为
2、( )A1 B2 C3 D4解析：在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥 PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 3.答案：C4中国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为( )A18 B18 C18 D.6 3 22722解析：在俯视图 Rt ABC 中，作 AH BC 交于 H.由三视图的意义，则 BH6， HC3，根据射影定理， AH2 BHHC，所以 AH3 .2易知该“堑堵”的侧(左)视图是矩形，长为 6，宽为 AH3 ，2故侧视图的面积 S63 18 .2 2答案：
3、C5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )3A B2 C3 D8解析：由三视图知，该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥所以该几何体的体积 V31 2 1 232.13答案：B6(2018全国卷)设 A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )3A12 B18 C24 D543 3 3 3解析：设等边 ABC 的边长为 x，则 x2sin 609 ，得 x6.12 3设 ABC 外接圆的半径为 r，则 2r ，得 r2 .6sin 60 3所以球心到 ABC 所在平面的距离 d 2，42
4、（ 23） 2则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1 d46.故 V 三棱锥 DABC的最大值为 S ABC6 9 618 .13 13 3 3答案：B二、填空题7(2018浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是_解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，4所以其体积 V (12)226.12答案：68(2018济南市模拟)某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为2 ，高为 1 的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆则该几何体的体积为3_解析：由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体其中 r1，
5、高 h .3故几何体的体积 V 1 2 .13 3 33答案： 339已知长方体 ABCDA1B1C1D1内接于球 O，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， E 为 AA1的中点， OA平面 BDE，则球 O 的表面积为_解析：取 BD 的中点为 O1，连接 OO1， OE， O1E， O1A.则四边形 OO1AE 为矩形，因为 OA平面 BDE，所以 OA EO1，即四边形 OO1AE 为正方形，则球 O 的半径 R OA2，所以球 O 的表面积 S42 216.答案：1610(2018郑州调研)某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知，
6、该几何体是由半个圆柱与 个球组成的组合体，其体积为181 23 13 .12 18 43 535答案：5311(2018烟台质检)已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 的正三角形， PA， PB， PC 两两垂直，则球 O 的表面积是_2解析：设球 O 的半径为 R，且 2R .PA2 PB2 PC2因为 ABC 是边长为 2 的正三角形， PA、 PB、 PC 两两垂直所以 PA PB PC 1，则 2R ，22 3所以球的表面积 S 球 4 R23.答案：3三、解答题12(2018佛山质检)如图，四棱锥 PABCD 中，平面 PAB平面ABCD， PA
7、PB， AD BC， AB AC， AD BC1， PD3， BAD120， M 为 PC 的中点12(1)证明： DM平面 PAB；(2)求四面体 MABD 的体积(1)证明：取 PB 中点 N，连接 MN、 AN.因为 M 为 PC 的中点，所以 MN BC 且 MN BC，12又 AD BC，且 AD BC，得 MN 綊 AD，12所以 ADMN 为平行四边形，所以 DM AN.又 AN平面 PAB， DM平面 PAB，所以 DM平面 PAB.(2)解：取 AB 中点 O，连接 PO， PO AB.又因为平面 PAB平面 ABCD，则 PO平面 ABCD，取 BC 中点 H，连结 AH，因为 AB AC，所以 AH BC，又因为 AD BC， BAD120，所以 ABC60，Rt ABH 中， BH BC1， AB2，所以 AO1，又 AD1，12 AOD 中，由余弦定理知， OD ，36Rt POD 中， PO ，PD2 OD2 6所以 VMABD S ABD PO .13 12 24
