1、1满分示范课立体几何【典例】 (满分 12 分)(2017全国卷)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB BC AD， BAD ABC90.12(1)证明：直线 BC平面 PAD；(2)若 PCD 的面积为 2 ，求四棱锥 PABCD 的体积7规范解答(1)在平面 ABCD 中，因为 BAD ABC90.所以 BC AD，1 分又 BC平面 PAD， AD平面 PAD.所以直线 BC平面 PAD.3 分(2)解：如图，取 AD 的中点 M，连接 PM， CM，由 AB BC AD 及 BC AD，12 ABC90得四边形 ABCM 为正方形，则
2、CM AD.因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，所以 PM AD， PM底面 ABCD，7 分因为 CM底面 ABCD，所以 PM CM.8 分设 BC x，则 CM x， CD x， PM x， PC PD2 x，2 3如图，取 CD 的中点 N，连接 PN，则 PN CD，所以 PN x.142因为 PCD 的面积为 2 ，7所以 x x2 ，12 2 142 7解得 x2(舍去)或 x2.10 分2于是 AB BC2， AD4， PM2 .3所以四棱锥 PABCD 的体积 V 2 4 .12 分13 2（ 2 4）2 3 3高考状元满分
3、心得1写全得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写如第(1)问中的 BC AD，第(2)问中CM AD， PM CM， PN x 等1422注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，在第(2)问的求解过程中，证明 CM AD时，利用第(1)问证明的结果 BC AD.3写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出 BC平面 PAD， AD平面PAD 两个条件，否则不能得全分，在第(2)问中，证明 PM平面 ABCD 时，一定写全三个条件，如
4、平面 PAD平面 ABCD AD， PM AD 一定要有，否则要扣分，再如第(2)问中，一定要分别求出 BC， AD 及 PM，再计算几何体的体积解题程序 第一步：根据平面几何性质，证 BC AD.第二步：由线面平行判定定理，证线 BC平面 PAD.第三步：判定四边形 ABCM 为正方形，得 CM AD.第四步：证明直线 PM底面 ABCD.第五步：利用面积求边 BC，并计算相关量第六步：计算四棱锥 PABCD 的体积跟踪训练1.(2018全国卷)如图，在三棱锥 PABC 中，AB BC2 ， PA PB PC AC4， O 为 AC 的中点2(1)证明： PO平面 ABC；(2)若点 M 在
5、棱 BC 上，且 MC2 MB，求点 C 到平面 POM 的距离(1)证明：因为 AP CP AC4， O 为 AC 的中点，所以 OP AC，且 OP2 .3连接 OB.因为 AB BC AC，223所以 ABC 为等腰直角三角形，且 OB AC， OB AC2.12由 OP2 OB2 PB2，知 OP OB.又 OP AC，且 OB AC O，所以 PO平面 ABC.(2)解：如图，作 CH OM，垂足为 H.又由(1)可得 OP CH，所以 CH平面 POM.故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC AC2， CM BC ，12 23 423 ACB45.所以 OM
6、 ， CH .253 OCMCsin ACBOM 455所以点 C 到平面 POM 的距离为 .4552.(2018潍坊模拟)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中， CC14， AB BC2， AC2 ，2点 M 是棱 AA1上不同于 A， A1的动点(1)证明： BC B1M；(2)若 CMB190，判断点 M 的位置并求出此时平面 MB1C 把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比(1)证明：在 ABC 中，因为 AB2 BC28 AC2，所以 ABC90，所以 BC AB，又因为 BC BB1， BB1 AB B，所以 BC平面 ABB1A1又 B1M平面 ABB1A1，所以 BC B1M.
7、(2)解：当 CMB190时，设 AM t(0 t4)，4所以 A1M4 t，则在 Rt MAC 中， CM2 t28，同理得 B1M2(4 t)24， B1C216420，据 B1C2 MB MC2，所以 t28(4 t)2420，21整理得， t24 t40，所以 t2，故 M 为 AA1的中点此时平面 MB1C 把此棱柱分成两个几何体为：四棱锥 CABB1M 和四棱锥 B1A1MCC1.由(1)知四棱锥 CABB1M 的高为 BC2，S 梯形 ABB1M 26，2 42所以 V 锥 CABB1M 624，13又 V 柱 2248，12所以 V 锥 B1A1MCC1844，故两部分几何体的体积之比为 11.
