1、1第一部分 专题五 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系A 组1(文)设 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线，且 l ， m .( A )A若 l ，则 B若 ，则 l mC若 l ，则 D若 ，则 l m解析 选项 A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项 B 中，当 时，l， m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项 C 中， l 时， ， 可以相交；选项D 中， 时， l， m 也可以异面故选 A(理)设 、 、 是三个互不重合的平面， m、 n 为两条不同的直线给出下列命题：若 n m， m ，则 n ；若 ， n ， n ，则 n ；若 ， ，则 ；若 n m，
2、n ， m ，则 .其中真命题是( C )A和 B和C和 D和解析 若 n m， m ，则 n 或 n ，即命题不正确，排除 A、B；若 ， n ， n ，则 n ，则命题正确，排除 D，故应选 C2如图，在正四面体 P ABC 中， D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 CA 的中点，下列四个结论不成立的是( D )A BC平面 PDFB DF平面 PAEC平面 PDF平面 PAED平面 PDE平面 ABC2解析 D、 F 分别为 AB、 AC 的中点， BC DF， BC平面 PDF， BC平面 PDF，故 A 正确；在正四面体中， E 为 BC 中点，易知BC PE， BC AE， B
3、C平面 PAE， DF BC， DF平面 PAE，故 B 正确； DF平面PAE， DF平面 PDF，平面 PDF平面 PAE，C 正确，故选 D3如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E， F 分别是边 AB， BC 的中点， AED、EBF、 FCD 分别沿 DE、 EF、 FD 折起，使 A， B， C 三点重合于点 A，若四面体 A EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( B )A B 262C D112 52解析 由条件知 A E、 A F、 A D 两两互相垂直，以 A为一个顶点，A E、 A F、 A D 为三条棱构造长方体，则长方体的对角线为四面体外接球的直
4、径， A E A F1， A D2，(2 R)21 21 22 26， R .624已知矩形 ABCD， AB1， BC .将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，2在翻折过程中( B )A存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直D对任意位置，三对直线“ AC 与 BD”， “AB 与 CD”， “AD 与 BC”均不垂直解析 过 A、 C 作 BD 的垂线 AE、 CF， AB 与 BC 不相等， E 与 F 不重合，在空间图(2)中，若 AC BD， AC AE A，
5、BD平面 ACE， BD CE，这样在平面 BCD 内，过点 C 有两条直线 CE、 CF 都与 BD 垂直矛盾，A 错；若 AB CD， AB AD， AB平面 ACD， AB AC， ABAB，这样的ABC 不存在，C 错误35(2018太原二模)对于不重合的直线 m， l 和平面 ， ，要证 需具备的条件是( D )A m l， m ， l B m l， m， lC m l， m ， l D m l， l ， m解析 对于 A，如图 1，可得面 ， 不一定垂直，故错；对于 B，如图 2，可得面 ， 不一定垂直，故错；对于 C， m l， m ， l ，故错；对于 D，有 m l， l m
6、 ，又因为 m ，故正确6已知直线 l平面 ，直线 m平面 ，则下列四个命题： l m； l m； l m ； l m .其中正确命题的序号是.解析 直线 l平面 ，直线 m平面 ，当 有 l m，故正确当 有 l m 或 l 与 m 异面或相交，故不正确当 l m 有 ，故正确当 l m 有 或 与 相交，故不正确综上可知正确7(2018凉山州二模)在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D中，异面直线 A D与 AB所成角的大小是 . 34解析 在正方体 ABCD A B C D中，连接 A D， AB， B C，如图所示：则 A B DC，且 A B DC，所以四边形 A B CD
7、 是平行四边形，所以 A D B C，所以 AB C 是异面直线 A D 与 AB所成的角，连接 AC，则 AB C 是边长为 的等边三角形，2所以 AB C ， 3即异面直线 A D 与 AB所成角是 . 38设 x， y， z 为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若 x z， y z，则 x y”为真命题的序号是. x 为直线， y， z 为平面； x， y， z 都为平面； x， y 为直线， z 为平面； x， y， z 都为直线； x， y 为平面， z 为直线解析 x平面 z，平面 y平面 z，所以 x平面 y 或 x平面 y.又因为 x平面 y，故
8、x平面 y，成立； x， y， z 均为平面，则 x 可与 y 相交，故不成立； x平面 z， y平面 z， x， y 为不同直线，故 x y，成立； x， y， z 均为直线，则 x 与 y 可平行，可异面，也可相交，故不成立； z x， z y， z 为直线， x， y 为平面，所以 x y，成立9(文)(2018全国卷，18)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB AC3， ACM90，以 AC 为折痕将 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB DA (1)证明：平面 ACD平面 ABC(2)Q 为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且 BP DQ DA，求三棱
9、锥 QABP 的体23积5解析 (1)由已知可得， BAC90，则 BA AC又 BA AD， AD AC A，所以 AB平面 ACD又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC(2)由已知可得， DC CM AB3， DA3 .2又 BP DQ DA，所以 BP2 .23 2作 QE AC，垂足为 E，则 QE 綊 DC1.13由已知及(1)可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，因此，三棱锥 QABP 的体积为 VQABP QES ABP 1 32 sin451.13 13 12 2(理)如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD BC, BAD ， AB BC AD a，
10、E 是 AD 的 2 12中点， O 是 AC 与 BE 的交点将 ABE 沿 BE 折起到图 2 中 A1BE 的位置，得到四棱锥A1_BCDE.图 1 图 2(1)证明： CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1_BCDE 的体积为 36 ，求 a 的值2解析 (1)证明：在题图 1 中，因为 AB BC AD a， E 是 AD 的中点，12 BAD ，所以 BE AC 2又在题图 2 中， BE A1O， BE OC，从而 BE平面 A1OC又 BC DE 且 BC DE，所以 CD BE，所以 CD平面 A1OC(2)由已知，平面 A1BE平面 BC
11、DE，6且平面 A1BE平面 BCDE BE，又由(1)知 A1O BE，所以 A1O平面 BCDE，即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高由题图 1 可知， A1O AB a，平行四边形 BCDE 的面积 S BCAB a2，22 22从而四棱锥 A1BCDE 的体积为V SA1O a2 a a3，13 13 22 26由 a336 ，得 a6.26 2B 组1已知 、 、 是三个不同的平面，命题“ ，且 ”是真命题，如果把 、 、 中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( C )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个解析 若 、 换成直线 a、 b，则命题化
12、为“ a b，且 a b ”，此命题为真命题；若 、 换为直线 a、 b，则命题化为“ a ，且 a bb ”，此命题为假命题；若 、 换为直线 a、 b，则命题化为“ a ，且 b a b”，此命题为真命题，故选 C2设 m、 n 是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四个命题：Error! Error! m Error! Error! m 其中，真命题是( C )A B C D解析 正确，平行于同一个平面的两个平面平行；错误，由线面平行、垂直定理知： m 不一定垂直于 ；正确，由线面平行，垂直关系判断正确；错误， m 也可能在 内综上所述，正确的命题是，故选 C3已知互不重合的直线
13、a， b，互不重合的平面 ， ，给出下列四个命题，错误的命题是( D )A若 a ， a ， b，则 a bB若 ， a ， b ，则 a bC若 ， ， a，则 a D若 ， a ，则 a 7解析 A 中，过直线 a 作平面 分别与 ， 交于 m， n，则由线面平行的性质知a m n，所以 m ，又由线面平行的性质知 m b，所以 a b，正确；B 中，由a ， b ，知 a， b 垂直于两个平面的交线，则 a， b 所成的角等于二面角的大小，即为 90，所以 a b，正确；C 中，在 内取一点 A，过 A 分别作直线 m 垂直于 ， 的交线，直线 n 垂直于 ， 的交线，则由线面垂直的性质
14、知 m ， n ，则m a， n a，由线面垂直的判定定理知 a ，正确；D 中，满足条件的 a 也可能在 内，故 D 错4直三棱柱 ABC A1B1C1的直观图及三视图如图所示， D 为 AC 的中点，则下列命题是假命题的是( D )A AB1平面 BDC1B A1C平面 BDC1C直三棱柱的体积 V4D直三棱柱的外接球的表面积为 4 3解析 如图，将直三棱柱 ABC A1B1C1补形成正方体，易知 A，B，C 都正确故选D5 a、 b 表示直线， 、 、 表示平面若 a， b ， a b，则 ；若 a ， a 垂直于 内任意一条直线，则 ；若 ， a， b，则 a b；若 a 不垂直于平面
15、 ，则 a 不可能垂直于平面 内无数条直线；若 l ， m ， l m A， l ， m ，则 .其中为真命题的是.解析 对可举反例如图，需 b 才能推出 .对可举反例说明，当 不与 ， 的交线垂直时，即可得到 a， b 不垂直；对 a 只需垂直于 内一条直线便可以垂直 内无数条与之平行的直线所以只有是正确的86在三棱锥 C ABD 中(如图)， ABD 与 CBD 是全等的等腰直角三角形， O 为斜边 BD的中点， AB4，二面角 A BD C 的大小为 60，并给出下面结论： AC BD； AD CO； AOC 为正三角形；cos ADC .其中真命题是.(填序号)32解析 对于，因为 A
16、BD 与 CBD 是全等的等腰直角三角形， O 为斜边 BD 的中点，所以 CO BD， AO BD， AO OC O，所以 BD平面 AOC，所以 AC BD，因此正确；对于，假设 CO AD，又 CO BD，可得 CO平面 ABD，由可得： AOC 是二面角 A BD C的平面角，这与已知二面角 A BD C 为 60矛盾，因此不正确；对于，由 ABD 与CBD 是全等的等腰直角三角形， O 为斜边 BD 的中点，所以 OC OA，由可得： AOC 是二面角 A BD C 的平面角且为 60，所以 AOC 为正三角形，因此正确；对于， AB4，由可得： AC OA2 ， AD CD4，所以
17、 cos ADC 2242 22 2242 ，因此不正确；综上可得：只有正确34 327如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，且底面各边相等， M 是 PC 上的一动点，请你补充一个条件(或)，使平面 MBD平面PCD DM PC； DM BM； BM PC； PM MC(填写你认为是正确的条件对应的序号)解析 因为在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，所以 BD PA， BD AC，因为 PA AC A，所以 BD平面 PAC，所以 BD PC9所以当 DM PC(或 BM PC)时，即有 PC平面 MBD而 PC
18、平面 PCD，所以平面 MBD平面 PCD8如图：在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， ABC60 PA平面 ABCD，点M， N 分别为 BC， PA 的中点，且 PA AB2.(1)证明： BC平面 AMN；(2)求三棱锥 N AMC 的体积；(3)在线段 PD 上是否存在一点 E，使得 NM平面 ACE；若存在，求出 PE 的长，若不存在，说明理由解析 (1)因为 ABCD 为菱形，所以 AB BC，又 ABC60，所以 AB BC AC，又 M 为 BC 中点，所以 BC AM而 PA平面 ABCD， BC平面 ABCD，所以 PA BC，又 PA AM A，所以 BC
19、平面 AMN.(2)因为 S AMC AMCM 1 ，12 12 3 32又 PA底面 ABCD， PA2，所以 AN1，所以，三棱锥 N AMC 的体积 V S AMCAN13 1 .13 32 36(3)存在取 PD 中点 E，连结 NE， EC， AE，因为 N， E 分别为 PA， PD 中点，所以 NE 綊 AD12又在菱形 ABCD 中， CM 綊 AD，12所以 NE 綊 MC，即 MCEN 是平行四边形，所以 NM EC，又 EC平面 ACE， NM平面 ACE，所以 MN平面 ACE，即在 PD 上存在一点 E，使得 NM平面 ACE，此时 PE PD .12 29(2018
20、全国卷，19)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， M 是CD 10上异于 C， D 的点CD (1)证明：平面 AMD平面 BMC(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由解析 (1)由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD因为 BC CD， BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BC DM.因为 M 为 上异于 C， D 的点，且 DC 为直径，CD 所以 DM CM.又 BC CM C，所以 DM平面 BMC而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC(2)存在， AM 的中点即为符合题意的点 P.证明如下：取 AM 的中点 P，连接 AC， BD 交于点 N，连接 PN.因为 ABCD 是矩形，所以 N 是 AC 的中点，在 ACM 中，点 P， N 分别是 AM， AC 的中点，所以 PN MC，又因为 PN平面 PBD， MC平面 PBD，所以 MC平面 PBD，所以，在线段 AM 上存在点 P，即 AM 的中点，使得 MC平面 PBD
