1、1课时规范练 28 等差数列及其前 n 项和基础巩固组1.已知等差数列 an中, a4+a5=a3,a7=-2,则 a9=( )A.-8 B.-6 C.-4 D.-22.(2017 陕西咸阳二模)张丘建算经卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按 30 天计)共织布 390 尺,最后一天织布 21 尺”,则该女第一天织布多少尺?( )A.3 B.4 C.5 D.63.已知在每项均大于零的数列 an中,首项 a1=1,且前 n 项和 Sn满足 Sn -Sn-Sn-11 =2 (nN *,且 n2),则 a81等于( )Sn SnSn-1A.638
2、B.639 C.640 D.6414.已知数列 an是等差数列, a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,an的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn取最大值时, n的值是( )A.18 B.19 C.20 D.215.(2017 辽宁沈阳质量检测)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sn+2-Sn=36,则 n=( )A.5 B.6 C.7 D.86.(2017 北京丰台一模)已知 an为等差数列, Sn为其前 n 项和 .若 a2=2,S9=9,则 a8= . 7.已知在数列 an中, a1=1,a2=2,当整数 n2 时, Sn+1+Sn-1=2(S
3、n+S1)都成立,则 S15= . 8.一个等差数列的前 12 项的和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32 27,则该数列的公差 d= . 9.若数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n2), a1= .12(1)求证: 成等差数列;1Sn(2)求数列 an的通项公式 .2导学号 2419091110.(2017 北京海淀一模,文 15)已知等差数列 an满足 a1+a2=6,a2+a3=10.(1)求数列 an的通项公式;(2)求数列 an+an+1的前 n 项和 .导学号 24190912综合提升组11.若数列 an满足: a1=19,
4、an+1=an-3(nN *),则数列 an的前 n 项和数值最大时, n 的值为( )A.6 B.7 C.8 D.912.(2017 四川广元二诊)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,其中 m2,则 nSn的最小值为( )A.-3 B.-5 C.-6 D.-913.数列 an是等差数列,数列 bn满足 bn=anan+1an+2(nN *),设 Sn为 bn的前 n 项和 .若 a12= a50,38则当 Sn取得最大值时, n 的值等于 . 14.已知公差大于零的等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 a3a4=117,a2+a5=22
5、.(1)求通项公式 an;(2)求 Sn的最小值;(3)若数列 bn是等差数列,且 bn= ,求非零常数 c.Snn+c3导学号 24190913创新应用组15.有两个等差数列 an,bn,其前 n 项和分别为 Sn和 Tn,若 ,则 的值为( )SnTn= 3n2n+1 a1+a2+a14+a19b1+b3+b17+b19A. B. C. D. 导学号 241909142719 1813 107 1713答案：1.B 解法一:由已知可得 2a1+7d=a1+2d,a1+6d= -2, 解得 a1=10,d=-2,所以 a9=10+(-2)8=-6.解法二:因为 a4+a5=a3,所以 a3+
6、a6=a3,a6=0,又 a7=-2,所以 d=-2,a9=-2+(-2)2=-6.2.C 设第 n 天织布 an尺,则数列 an是等差数列,且 S30=390,a30=21,S 30= (a1+a30),302即 390=15(a1+21),解得 a1=5.故选 C.3.C 由已知 Sn -Sn-1 =2 ,可得 =2,Sn-1 Sn SnSn-1 Sn- Sn-1 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,Sn故 =2n-1,Sn=(2n-1)2,Sna 81=S81-S80=1612-1592=640,故选 C.4.C a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=33,
7、则 an的公差 d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当 Sn取得最大值时, n=20.5.D 解法一:由题知 Sn=na1+ d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由 Sn+2-Sn=36,得( n+2)2-n2=4n+4=36,所n(n-1)2以 n=8.解法二: Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得 n=8.6.0 an为等差数列, Sn为其前 n 项和, a2=2,S9=9, a2=a1+d=2,S9=9a1+982 d=9,解得 d=- ,a1= ,13 734a 8=a1+7d=0
8、.7.211 由 Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)得( Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即 an+1-an=2(n2), 数列 an从第二项起构成以 2 为首项,2 为公差的等差数列,则 S15=1+214+ 2=211.141328.5 设该等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇 ,偶数项的和为 S 偶 ,等差数列的公差为 d.由题意得 S奇 +S偶 =354,S偶 S奇 =32 27,解得 S偶 =192,S奇 =162.又 S 偶 -S 奇 =6d,所以 d= =5.192-16269.(1)证明 当 n2 时,由 an+2SnSn-1=0,得 Sn-Sn-1
9、=-2SnSn-1,所以 =2.1Sn- 1Sn-1又 =2,故 是首项为 2,公差为 2 的等差数列 .1S1=1a1 1Sn(2)解 由(1)可得 =2n,S n= .1Sn 12n当 n2 时, an=Sn-Sn-1= =- .12n- 12(n-1)=n-1-n2n(n-1) 12n(n-1)当 n=1 时, a1= 不适合上式 .12故 an=12,n=1,- 12n(n-1),n 2.10.解 (1)设数列 an的公差为 d,a 1+a2=6,a2+a3=10,a 3-a1=4,2d=4,d=2.又 a1+a1+d=6,a 1=2,a n=a1+(n-1)d=2n.(2)记 bn=
10、an+an+1,则 bn=2n+2(n+1)=4n+2,又 bn+1-bn=4(n+1)+2-4n-2=4, bn是首项为 6,公差为 4 的等差数列,其前 n 项和 Sn=2n2+4n.n(b1+bn)2 =n(6+4n+2)211.B a 1=19,an+1-an=-3, 数列 an是以 19 为首项, -3 为公差的等差数列 .a n=19+(n-1)(-3)=22-3n.5设 an的前 k 项和数值最大,则有 kN *.ak 0,ak+1 0, 22-3k 0,22-3(k+1) 0. k .193 223k N *,k= 7. 满足条件的 n 的值为 7.12.D 由 Sm-1=-2
11、,Sm=0,Sm+1=3,得 am=2,am+1=3,所以 d=1,S m=0,故 ma1+ d=0,故 a1=- ,a m+am+1=5,m(m-1)2 (m-1)2a m+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,解得 m=5.a 1=- =-2,nSn=n n3- n2,5-12 -2n+n(n-1)2 1=12 52设 f(n)= n3- n2,则 f(n)= n2-5n,12 52 32令 f(n)=0,得 n= 或 n=0,103由 nN *,得当 n=3 时, nSn取最小值 27- 9=-9.故选 D.12 5213.16 设 an的公差为 d,由 a12=
12、 a50,得 a1=- d,a120;(n-815)当 n17 时, anb2b140b17b18,b15=a15a16a170,故 S14S13S1,S14S15,S15S17S18.因为 a15=- d0,a18= d0,所以 S16S14,65 95 65 95 35故 Sn中 S16最大 .故答案为 16.14.解 (1) 数列 an为等差数列, a 3+a4=a2+a5=22.又 a3a4=117,a 3,a4是方程 x2-22x+117=0 的两实根 .又公差 d0,a 3a4,a 3=9,a4=13, a1+2d=9,a1+3d=13, a1=1,d=4. 通项公式 an=4n-
13、3.(2)由(1)知 a1=1,d=4,S n=na1+ d=2n2-n=2 .n(n-1)2 (n-14)2-186 当 n=1 时, Sn最小,最小值为 S1=a1=1.(3)由(2)知 Sn=2n2-n,b n= ,Snn+c=2n2-nn+cb 1= ,b2= ,b3= .11+c 62+c 153+c 数列 bn是等差数列, 2b2=b1+b3,即 2= , 2c2+c=0,62+c 11+c+ 153+cc=- (c=0 舍去),故 c=- .12 1215.D 由题意,知 a1+a2+a14+a19=2(a8+a10)=4a9,同理 b1+b3+b17+b19=4b10,又 ,且 Sn和 Tn都是关于 n 的二次函数,SnTn= 3n2n+1 设 Sn=kn3n=3kn2,设 Tn=kn(2n+1),a9=S9-S8=3k17,b10=T10-T9=39k, .a1+a2+a14+a19b1+b3+b17+b19=a9b10=3k1739k =1713
