1、118.2.3 正方形知能演练提升能力提升1.四个角相等,四条边也相等的四边形一定是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形2.如图,正方形 ABCD的边长为 8,M在 DC上,且 DM=2,N是 AC上一动点,则 DN+MN的最小值为( )A.8 B.10C.2 D.817 23.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题 .从下列四个条件 AB=BC ; ABC=90;AC=BD ;AC BD中选两个作为补充条件,使 ABCD成为正方形,如图,现有下列四种选法,你认为其中错误的是( )A. B.C. D.4.如图,将 n个边长都为 1 cm的正方形按如图所示摆放,点 A1,A2,An
2、分别是正方形对角线的交点,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为( )A. cm2 B. cm214 n4C. cm2 D. cm2n-14 (14)n25.矩形各内角平分线若能围成一个四边形,则这个四边形一定是 . 6 .以边长为 2的正方形的对角线的交点 O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于 A,B两点,则线段 AB的最小值是 . 7.如图,在正方形 ABCD中,对角线 AC,BD相交于点 O,E,F分别在 OD,OC上,且 DE=CF,连接 DF,AE,AE的延长线交 DF于点 M.求证: AM DF.8.如图,在 ABCD中,对角线 AC,BD交于点 O,E是 BD延长线
3、上的点,且 ACE是等边三角形 .(1)求证:四边形 ABCD是菱形;(2)若 AED=2 EAD,求证:四边形 ABCD是正方形 .39.已知正方形 ABCD的边长为 a,两条对角线 AC,BD相交于点 O,P是射线 AB上任意一点,过点 P分别作直线 AC,BD的垂线 PE,PF,垂足为 E,F.(1)如图 ,当点 P在线段 AB上时,求 PE+PF的值;(2)如图 ,当点 P在线段 AB的延长线上时,求 PE-PF的值 .图 图 410 .如图,在边长为 5的正方形 ABCD中,点 E,F分别是 BC,DC边上的点,且 AE EF,BE=2.(1)延长 EF交正方形外角平分线 CP于点
4、P(如图),试判断 AE与 EP的大小关系,并说明理由;(2)在 AB边上是否存在一点 M,使得四边形 DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由 .创新应用11.如图 ,在正方形 ABCD中, P是 BD上的一点,点 E在 AD的延长线上,且 PA=PE,PE交 CD于点 F.图 图 (1)证明: PC=PE;(2)求 CPE的度数;(3)如图 ,把正方形 ABCD改为菱形 ABCD,其他条件不变,当 ABC=120时,连接 CE,试探究线段 AP与线段 CE的数量关系,并说明理由 .5参考答案能力提升1.A 四个角相等的四边形是矩形,四条边相等的四边形是菱形,既是菱形又
5、是矩形的四边形一定是正方形,故选 A.2.B 连接 BM交 AC于点 N(图略),此时 DN+MN有最小值,且 DN+MN=BM= =10.BC2+CM23.B 4.C 5.正方形6. 如图, 四边形 CDEF是正方形,2 OCD= ODB=45, COD=90,OC=OD.AO OB, AOB=90, COA+ AOD=90, AOD+ DOB=90, COA= DOB. 在 COA和 DOB中, OCA= ODB,OC=OD, AOC= DOB, COA DOB,OA=OB. AOB=90, AOB是等腰直角三角形,由勾股定理,得 AB= OA,要使 AB最小,只要 OA取最小OA2+OB
6、2= 2值即可,根据垂线段最短, OA CD时, OA最小 .O 是正方形 CDEF的对角线的交点,且正方形边长为 2,OA= CD=1,即 AB= .12 27.证明在正方形 ABCD中, AO=DO=OC,AC BD, AOE= DOF=90, OAE+ AEO=90.又 DE=CF,OE=OF , AOE DOF. AEO= DFO, OAE+ DFO=90. AMF=90,AM DF.8.证明(1) 四边形 ABCD是平行四边形,AO=CO.6又 ACE是等边三角形,EO AC,即 DB AC. ABCD是菱形 .(2) ACE是等边三角形, AEC=60.EO AC, AEO= AE
7、C=30.12 AED=2 EAD, EAD=15. ADO= EAD+ AED=45. 四边形 ABCD是菱形,又 ADC=2 ADO=90. 四边形 ABCD是正方形 .9.解(1) 四边形 ABCD为正方形, AC BD.PF BD,PF AC.同理 PE BD. 四边形 PFOE为矩形,故 PE=OF.又 PBF=45,PF=BF.PE+PF=OF+FB=OB.在 Rt OBC中, OB2+OC2=BC2, 2OB2=a2.OB= ,22a(或 a2)即 PE+PF= .22a(或 a2)(2) 四边形 ABCD为正方形, AC BD.PF BD,PF AC.同理 PE BD. 四边形
8、 PFOE为矩形, PE=OF.又 PBF=45,PF=BF.PE-PF=OF-BF=OB.由(1)得 OB= ,22a(或 a2)PE-PF= .22a(或 a2)710.解(1) AE=EP.理由:在 AB上取一点 G,使 BG=BE,连接 GE,AB=BC ,AG=EC.AE EF, 2 +3 =90. 四边形 ABCD为正方形, B= BCD=90. 1 +3 =90, 1 =2 .又 AGE= ECP=135, AGE ECP.AE=EP.(2)在 AB边上存在一点 M,使四边形 DMEP是平行四边形 .证明过程如下:在 AB边上取一点 M,使 AM=BE,连接 ME,MD,DP.在
9、正方形 ABCD中,AD=BA, DAM= ABE=90, Rt DAMRt ABE.DM=AE ,1 =4 .DM=EP. 1 +5 =90, 4 +5 =90.AE DM.AE EP,DM EP. 四边形 DMEP为平行四边形 .创新应用11.(1)证明 四边形 ABCD是正方形,AD=CD , ADP= CDP.DP=DP , ADP CDP.PA=PC.又 PA=PE,PC=PE.(2)解 ADP CDP, DAP= DCP.PA=PE , DAP= E. FCP= E. PFC= DFE, EDF=90,8 CPE= EDF=90.(3)解 AP=CE.理由: 四边形 ABCD是菱形, ABC=120, ADC=120. EDC=60.同理可得 CPE= EDF=60.又 PC=PE, PCE是等边三角形 .PA=PE ,AP=CE.
