1、132 空间向量的坐标读教材填要点1定理 1设 e1， e2， e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量 v 可以写成这三个向量的线性组合： v xe1 ye2 ze3.(2)上述表达式中的系数 x， y， z 由 v 唯一决定，即：如果v xe1 ye2 ze3 x e1 y e2 z e3，则 x x， y y， z z.2定理 2(空间向量基本定理)设 e1， e2， e3是空间中三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量 v 可以写成这三个向量的线性组合： v xe1 ye2 ze3.(2)上述表达式中的系数 x， y， z 由 v 唯一决定，即：如果v x
2、e1 ye2 ze3 x e1 y e2 z e3，则 x x， y y， z z.3空间向量运算的坐标公式(1) 向量的加减法：(x1， y1， z1)( x2， y2， z2)( x1 x2， y1 y2， z1 z2)，(x1， y1， z1)( x2， y2， z2)( x1 x2， y1 y2， z1 z2)(2)向量与实数的乘法：a(x， y， z) ( ax， ay， az)(3)向量的数量积：(x1， y1， z1)(x2， y2， z2) x1x2 y1y2 z1z2.(4)向量 v( x， y， z)的模的公式：|v| .x2 y2 z2(5)向量( x1， y1， z1)
3、，( x2， y2， z2)所成的角 的公式：cos .x1x2 y1y2 z1z2x21 y21 z21x2 y2 z24点的坐标与向量坐标(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标(2)两点 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)的距离 dAB为：dAB . x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值2小问题大思维1空间向量的基是唯一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一2命题 p： a， b， c为空间的
4、一个基底；命题 q： a， b， c 是三个非零向量，则命题p 是 q 的什么条件？提示： pq，但 q p，即 p 是 q 的充分不必要条件3空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简4平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的空间向量基本定理的应用空间四边形 OABC 中， G，
5、 H 分别是 ABC， OBC 的重心，设 a， b， c，试用向量 a， b， c 表示向量 和 .OA OB OC OG GH 自主解答 ，OG OA AG 而 ， .AG 23AD AD OD OA D 为 BC 的中点， ( )OD 12 OB OC OG OA 23AD ( )OA 23 OD OA ( )OA 23 12 OB OC 23OA ( ) (a b c)13 OA OB OC 133而 ，GH OH OG 又 ( ) (b c)OH 23OD 23 12 OB OC 13 (b c) (a b c) a.GH 13 13 13 (a b c)； a.OG 13 GH 1
6、3本例条件不变，若 E 为 OA 的中点，试用 a， b， c 表示 和 .DE EG 解：如图， DE OE OD ( )12OA 12 OB OC a b c.12 12 12 EG OG OE ( )13 OA OB OC 12OA 16OA 13OB 13OC a b c.16 13 13用基表示向量时：(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求1.如图所示，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1，设 a， b， c
7、， P 是 CA1的中点， M 是 CD1的中点用基AB AD AA1 底 a， b， c表示以下向量：(1) ；(2) .AP AM 解：连接 AC， AD1，4(1) ( )AP 12 AC AA1 ( )12 AB AD AA1 (a b c)12(2) ( )AM 12 AC AD1 ( 2 )12 AB AD AA1 a b c.12 12空间向量的坐标运算已知空间三点 A(2,0,2)， B(1,1,2)， C(3，0,4)，设 a ， bAB .AC (1)设| c|3， c ，求 c.BC (2)若 ka b 与 ka2 b 互相垂直，求 k.自主解答 (1) (2，1,2)且
8、 c ，BC BC 设 c (2 ， ，2 )BC | c| 3| |3. 2 2 2 2 2解得 1， c(2，1,2)或 c(2,1，2)(2) a (1,1,0)， b (1,0,2)，AB AC ka b( k1， k,2)， ka2 b( k2， k，4)( ka b)( ka2 b)，( ka b)(ka2 b)0.即( k1， k,2)(k2， k，4)2 k2 k100.解得 k2 或 k .52本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行” ， k 为何值？解： ka b( k1， k,2)， ka2 b( k2， k，4)，设 ka b (ka2 b)，则Error
9、! k0.5已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误2若 a(1,5，1)， b(2,3,5)分别求满足下列条件的实数 k 的值：(1)(ka b)( a3 b)；(2)(ka b)( a3 b)解： ka b( k2,5 k3， k5)，a3 b(132,533，135)(7，4，16)(1)若( ka b)( a3 b)，则 ，k 27 5k 3 4 k 5 16解得 k .13(2)若( ka b)( a3 b)，则( k2)7
10、(5 k3)(4)( k5)(16)0，解得 k .1063点的坐标与向量坐标在直三棱柱 ABOA1B1O1中， AOB ， AO4， BO2， AA14， D 为 A1B1的中点，在如图所示的空 2间直角坐标系中，求 ， 的坐标DO A1B 自主解答 (1) ( )DO OD OO1 O1D .OO1 12OA 12OB 又| |4，| |4，| |2，OO1 OA OB (2，1，4)DO 6(2) ( )A1B OB OA1 OB OA AA1 .OB OA AA1 又| |2，| |4，| |4，OB OA AA1 (4,2，4)A1B 用坐标表示空间向量的方法步骤为：3如图所示， P
11、A 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M， N 分别是AB， PC 的中点，并且 PA AB1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标MN 解： PA AB AD1， PA平面 ABCD， AB AD， ， ， 是两两垂直的单位向量AB AD AP 设 e1， e2， e3，以 e1， e2， e3为基底建立空间直角坐标系 Axyz.AB AD AP 法一： MN MA AP PN 12AB AP 12PC ( )12AB AP 12 PA AC ( )12AB AP 12 PA AB AD e2 e3，12AD 12AP 12 12 .MN (0， 12， 12)法二：如图所示，连接
12、AC， BD 交于点 O.则 O 为 AC， BD 的中点，连接 MO， ON， ，MO 12BC 12AD 7 ，ON 12AP MN MO ON 12AD 12AP e2 e3.12 12 .MN (0， 12， 12)解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知矩形 ABCD， P 为平面 ABCD 外一点，且 PA平面 ABCD， M， N 分别为 PC， PD 上的点，且 2 ， N 为 PD 的中点，求满足 x y z 的实数 x， y， zPM MC MN AB AD AP 的值解 法一：如图所示，取 PC 的中点 E，连接 NE，则 MN .EN EM ，EN 12C
13、D 12BA 12AB ，EM PM PE 23PC 12PC 16PC 连接 AC，则 ，PC AC AP AB AD AP ( )MN 12AB 16 AB AD AP ，23AB 16AD 16AP x ， y ， z .23 16 16法二：如图所示，在 PD 上取一点 F，使 2 ，连接 MF，PF FD 则 ，MN MF FN 而 ，MF 23CD 23AB FN DN DF 12DP 13DP ( )，16DP 16 AP AD 8 .MN 23AB 16AD 16AP x ， y ， z .23 16 16法三： MN PN PM 12PD 23PC ( ) ( )12 PA
14、AD 23 PA AC ( )12AP 12AD 23 AP AB AD ，23AB 16AD 16AP x ， y ， z .23 16 16点评 利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为：找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量；写出结论1已知空间四边形 OABC，其对角线为 AC， OB， M， N 分别是 OA， BC 的中点，点 G 是MN 的中点，则 等于( )OG A. 16OA 13OB 13OC B. ( )14 OA OB OC C. ( )13 OA OB OC D. 16OB 13OA 13OC
15、解析：如图， ( )OG 12 OM ON ( )12OM 12 12 OB OC 14OA 14OB 14OC ( )14 OA OB OC 9答案：B2已知 a(1，2,1)， a b(1,2，1)，则 b 等于( )A(2，4,2) B(2,4，2)C(2,0，2) D(2,1，3)解析： b( a b) a(1,2，1)(1，2,1)(2,4，2)答案：B3 a(2 x,1,3)， b(1，2 y,9)，如果 a 与 b 为共线向量，则( )A x1， y1 B x ， y12 12C x ， y D x ， y16 32 16 32解析： a(2 x,1,3)与 b(1，2 y,9)
16、共线，故有 ， x ， y .2x1 1 2y 39 16 32答案：C4已知点 A(1,3,1)， B(1,3,4)， D(1,1,1)，若 2 ，则| |的值是AP PB PD _解析：设点 P(x， y， z)，则由 2 ，AP PB 得( x1， y3， z1)2(1 x,3 y,4 z)，则Error!解得Error!即 P(1,3,3)，则| |PD 1 1 2 3 1 2 3 1 2 2 .12 3答案：2 35已知空间三点 A(1,1,1)， B(1,0,4)， C(2，2,3)，则 与 的夹角 的AB CA 大小是_解析： (2，1,3)， (1,3，2)，AB CA cos
17、 ， AB CA 2 1 1 3 3 21414 ， 714 12 ， 120.AB CA 10答案：1206已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M， N 分别是 AB， PC 的三等分点且| |2| |，| |2| |， PA AB1，求 的坐标PN NC AM MB MN 解：法一： PA AB AD1，且 PA 垂直于平面 ABCD， AD AB，可设 i，DA j， k，以 i， j， kAB AP 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 MN MA AP PN 23AB AP 23PC ( )23AB AP 23 AP AD AB k ( )13AP 23AD 13
18、 23 DA i k，23 13 .MN ( 23， 0， 13)法二：设 i， j， k，以 i， j， k 为单位正交基底建立如图所示的空DA AB AP 间直角坐标系，过 M 作 AD 的平行线交 CD 于点 E，连接 EN. MN ME EN ( )AD 13DP DA 13 DA AP i (i k) i k，13 23 13 .MN ( 23， 0， 13)一、选择题1已知 a， b， c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是( )A3 a， a b， a2 b B2 b， b2 a， b2 aC a,2b， b c D c， a c， a c11解析：对于 A，有
19、 3a2( a b) a2 b，则 3a， a b， a2 b 共面，不能作为基；同理可判断 B、D 错误答案：C2以正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是( ) DB1 A(1， ， )2 2B(1,1， )2C( ， ， )2 2 2D( ， ，1)2 2解析：设正方体的棱长为 1，则由图可知 D(0,0,0)， B1(1,1,1)， (1,1,1)，DB1 与 共线的向量的坐标可以是( ， ， )DB1 2 2 2答案：C3空间四边形 OABC 中， a， b， c，点 M 在 OA 上，且OA OB OC 2 ， N
20、为 BC 中点，则 为( )OM MA MN A. a b c B a b c12 23 12 23 12 12C. a b c D. a b c12 12 23 23 23 12解析： MN MA AB BN ( )13OA OB OA 12 OC OB 23OA 12OB 12OC a b c.23 12 12答案：B4若 a(1， ，2)， b(2，1,2)，且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ，则 ( )8912A2 B2C2 或 D2 或255 255解析：因为 ab12 (1)226 ，又因为 ab| a|b|cos a， b ，5 2 989 83 5 2所以 6 .83 5 2解
21、得 2 或 .255答案：C二、填空题5已知 a(2，1,3)， b(4,2， x)， c(1， x,2)，若( a b) c，则x_.解析： a b(2,1， x3)，( a b)c2 x2( x3) x4.又( a b) c， x40，即 x4.答案：46已知向量 a(2，1,3)， b(1,4，2)， c(7,0， )，若 a， b， c 三个向量共面，则实数 _.解析：由 a， b， c 共面可得 c xa yb，Error! 解得 10.答案：107若 a( x,2,2)， b(2，3,5)的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围是_解析： ab2 x23252 x4，设 a， b 的夹
22、角为 ，因为 为钝角，所以cos 0，| b|0，所以 ab0，即 2x40，所以 x2，所以实数ab|a|b|x 的取值范围是(，2)答案：(，2)8已知 M1(2,5，3)， M2(3，2，5)，设在线段 M1M2上的一点 M 满足4 ，则向量 的坐标为_M1M2 MM2 OM 解析：设 M(x， y， z)，则 (1，7，2)，M1M2 (3 x，2 y，5 z)MM2 13又 4 ，Error!Error!M1M2 MM2 答案： (114， 14， 92)三、解答题9已知 ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,2,3)， B(2，1，5)， C(3,2，5)(1)求 ABC 的面积；
23、(2)求 ABC 中 AB 边上的高解：(1)由已知得 (1，3,2)， (2,0，8)，AB AC | | ，AB 1 9 4 14| | 2 ，AC 4 0 64 17 12(3)02(8)14，AB AC cos ， ，AB AC 1414217 14217sin ， .AB AC 1 1468 2734 S ABC | | |sin ， 12 AB AC AB AC 2 3 .12 14 17 2734 21(2)设 AB 边上的高为 CD，则| | 3 .CD 610.如图，在空间直角坐标系中 BC2，原点 O 是 BC 的中点，点 A 的坐标是 ，(32， 12， 0)点 D 在平
24、面 yOz 上，且 BDC90， DCB30.(1)求向量 的坐标；OD (2)设向量 和 的夹角为 ，求 cos 的值AD BC 解：(1)如图所示，过 D 作 DE BC，垂足为 E，在 Rt BDC 中，由 BDC90， DCB30， BC2，得 BD1， CD .314 DE CDsin 30 .32OE OB BDcos 601 ，12 12 D 点坐标为 ，(0， 12， 32)即向量 的坐标为 .OD (0， 12， 32)(2)依题意： ，OA (32， 12， 0)(0，1,0)， (0,1,0)OB OC 所以 ，AD OD OA ( 32， 1， 32) (0,2,0)BC OC OB 设向量 和 的夹角为 ，则AD BC cos ( 32)0 1 2 32 0( 32)2 1 2 (32)202 22 02 . 210 105cos .10515
