1、1【课时训练】空间点、线、面的位置关系一、选择题1(2018 佛山模拟)设 a， b 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，a ， b ，则“ ”是“ a b”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 a ， b ， ，则由 ， b b ，又 a ，所以 a b；若 a b， a ， b ，则 b 或 b ，此时 或 与 相交，所以“ ”是“ a b”的充分不必要条件，故选 A.2(2018 福州质检)在三棱柱 ABC A1B1C1中， E、 F 分别为棱 AA1、 CC1的中点，则在空间中与直线 A1B1、 EF、 BC 都相交的直线(
2、 )A不存在 B有且只有两条C有且只有三条 D有无数条【答案】D【解析】在 EF 上任意取一点 M，直线 A1B1与 M 确定一个平面，这个平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N，当 M 的位置不同时确定不同的平面，从而与 BC 有不同的交点 N，而直线 MN与 A1B1， EF， BC 分别有交点 P， M， N，如图，故有无数条直线与直线 A1B1， EF， BC 都相交3(2018 南昌二模)对于任意的直线 l 与平面 ，在平面 内必有直线 m，使 m 与 l( )A平行 B相交C垂直 D互为异面直线【答案】C【解析】不论 l ， l ，还是 l 与 相交， 内都有直线 m，使得 m l
3、.24(2018 广州模拟)在四面体 ABCD 的棱 AB， BC， CD， DA 上分别取 E， F， G， H 四点，如果 EF 与 HG 交于点 M，则( )A M 一定在直线 AC 上B M 一定在直线 BD 上C M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上D M 既不在 AC 上，也不在 BD 上【答案】A【解析】由于 EF HG M，且 EF平面 ABC， HG平面 ACD，所以点 M 为平面 ABC 与平面 ACD 的一个公共点而这两个平面的交线为 AC，所以点 M 一定在直线 AC 上故选 A.5(2018 余姚模拟)下列命题中，正确的是( )A若 a， b 是两条直线， ， 是
4、两个平面，且 a ， b ，则 a， b 是异面直线B若 a， b 是两条直线，且 a b，则直线 a 平行于经过直线 b 的所有平面C若直线 a 与平面 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D若直线 a平面 ，点 P ，则平面 内经过点 P 且与直线 a 平行的直线有且只有一条【答案】D【解析】对于 A，当 ， a， b 分别为第三个平面 与 ， 的交线时，由面面平行的性质可知 a b，故 A 错误对于 B，设 a， b 确定的平面为 ，显然 a ，故 B 错误对于 C，当 a 时，直线 a 与平面 内的无数条直线都平行，故 C 错误易知 D 正确故选 D.6(2018 江西七校联考)
5、已知直线 a 和平面 ， ， l， a ， a ，且 a在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( )A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面【答案】D【解析】依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面7(2018 合肥质检)已知 l， m， n 为不同的直线， ， ， 为不同的平面，则下列判断正确的是( )A若 m ， n ，则 m nB若 m ， n ， ，则 m nC若 l， m ， m ，则 m lD若 m， n， l m， l n，则 l 【答案】C【解析】 m， n 可能的位置关系为平行，相交，异面，故 A 错误；根
6、据面面垂直与线面平行的性质可知 B 错误；根据线面平行的性质可知 C 正确；若 m n，根据线面垂直的判定可知 D 错误，故选 C.38(2018 江西六校联考)四棱锥 P ABCD 的所有侧棱长都为 ，底面 ABCD 是边长为 25的正方形，则 CD 与 PA 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.255 55 45 35【答案】B【解析】因为四边形 ABCD 为正方形，故 CD AB，则 CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA所成的角，即为 PAB.在 PAB 内， PB PA ， AB2，利用余弦定理可知 cos PAB5 ，故选 B.PA2 AB2 PB22PAAB 5 4
7、 5252 55二、填空题9(2018 福建六校联考)设 a， b， c 是空间中不重合的三条直线，下面给出四个命题：若 a b， b c，则 a c；若 a b， b c，则 a c；若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a平面 ， b平面 ，则 a， b 一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)【答案】【解析】由公理 4 知正确；当 a b， b c 时， a 与 c 可以相交、平行或异面，故错；当 a 与 b 相交， b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故错；a ， b ，并不能说明 a 与 b“不同在任何一
8、个平面内 ”，故错10(2018 南昌高三期末)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面为直角三角形 ACB90， AC6， BC CC1 ， P 是 BC1上一动点，则 CP PA1的最小值为2_【答案】5 2【解析】连接 A1B，将 A1BC1与 CBC1同时展平形成一个平面四边形 A1BCC1，则此时对角线 CP PA1 A1C 达到最小，在等腰直角三角形 BCC1中， BC12， CC1B45，在 A1BC1中， A1B 2 ， A1C16， BC12， A1C BC A1B2，即 A1C1B90.对40 10 21 21于展开形成的四边形 A1BCC1，在 A1C1C 中， C
9、1C ， A1C16， A1C1C135，由余弦定24理有 CP PA1 A1C 5 .2 36 122cos 135 50 211(2018 深圳调研)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图， G， H， M， N分别为 DE， BE， EF， EC 的中点，在这个正四面体中， GH 与 EF 平行； BD 与 MN 为异面直线； GH 与 MN 成 60角； DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_【答案】【解析】把正四面体的平面展开图还原，如图所示， GH 与 EF 为异面直线， BD 与 MN 为异面直线， GH 与 MN 成 60角， DE MN.12(2018
10、 郑州质检)如图，矩形 ABCD 中， AB2 AD， E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在 ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是_ BM 是定值；点 M 在某个球面上运动；存在某个位置，使 DE A1C；存在某个位置，使 MB平面 A1DE.【答案】5【解析】取 DC 的中点 F，连接 MF， BF， MF A1D 且 MF A1D， FB ED 且 FB ED，所12以 MFB A1DE.由余弦定理可得 MB2 MF2 FB22 MFFBcos MFB 是定值，所以 M 是在以 B 为圆心， MB 为半径的球上，可
11、得正确；由 MF A1D 与 FB ED 可得平面 MBF平面 A1DE，可得正确； A1C 在平面 ABCD 中的投影与 AC 重合， AC 与 DE 不垂直，可得不正确三、解答题13(2018 长春一模)已知几何体 A BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值【解】如图，取 EC 的中点 F，连接 BF， AF，则 BF DE， FBA 为异面直线 DE 与 AB 所成的角或其补角在 BAF 中， AB4 ， BF AF2 ，2 5则 cos FBA ， 105异面直线 DE 与 AB 所成
12、角的余弦值为 .105614(2018 江西宜春模拟)如图所示，三棱锥 P ABC 中， PA平面 ABC， BAC60，PA AB AC2， E 是 PC 的中点(1)求证 AE 与 PB 是异面直线；(2)求异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值(1)【证明】假设 AE 与 PB 共面，设平面为 ， A ， B ， E ，平面 即为平面 ABE. P平面 ABE.这与 P平面 ABE 矛盾， AE 与 PB 是异面直线(2)【解】如图，取 BC 的中点 F，连接 EF， AF，则 EF PB，所以 AEF(或其补角)就是异面直线 AE 与 PB 所成的角 BAC60， PA AB AC2， PA平面 ABC， AF ， AE ，3 2EF ， cos AEF .2AE2 EF2 AF22AEEF 2 2 3222 147故异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为 .14
