1、1第 7 章 立体几何 第 4 讲A 组 基础关1若平面 平面 ，直线 a平面 ，点 B ，则在平面 内且过 B 点的所有直线中( )A不一定存在与 a 平行的直线B只有两条与 a 平行的直线C存在无数条与 a 平行的直线D存在唯一与 a 平行的直线答案 A解析 当直线 a 在平面 内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A.2设 m， n 是不同的直线， ， 是不同的平面，且 m， n ，则“ ”是“m 且 n ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 m， n ， ，则 m 且 n ；反之若 m， n ， m 且 n ，则 与
2、 相交或平行，即“ ”是“ m 且 n ”的充分不必要条件3如图所示， P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 平面 ABC， 分别交线段PA， PB， PC 于 A， B， C，若 PA AA23，则 A B C与 ABC 面积的比为( )A25 B38C49 D425答案 D解析 平面 平面 ABC，平面 PAB A B，平面 PAB平面ABC AB， A B AB.又 PA AA23， A B AB PA PA25.同理B C BC A C AC25. A B C与 ABC 相似， S A B C S ABC425，故选 D.4(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中， A， B
3、为正方体的两个顶点，2M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )答案 A解析 A 项，作如图所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD AB. QD平面MNQ Q， QD 与平面 MNQ 相交，直线 AB 与平面 MNQ 相交B 项，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ.又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ， AB平面 MNQ.C 项，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ.又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ， AB平面 MNQ.D 项，作如图所示的辅助线，则 AB CD，
4、 CD NQ， AB NQ.又AB平面 MNQ， NQ平面 MNQ， AB平面 MNQ.故选 A.5在空间四边形 ABCD 中， E， F 分别为 AB， AD 上的点，且 AE EB AF FD14，又 H， G 分别为 BC， CD 的中点，则( )A BD平面 EFG，且四边形 EFGH 是平行四边形3B EF平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形C HG平面 ABD，且四边形 EFGH 是平行四边形D EH平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形答案 B解析 如图，由题意得 EF BD，且 EF BD.又因为 H， G 分别为 BC， CD 的中点，所以15HG BD，且 HG BD
5、.所以 EF HG，且 EF HG.所以四边形 EFGH 是梯形又 EF平面12BCD，而 EH 与平面 ADC 不平行，故选 B.6在直三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 与棱 AB， AC， A1C1， A1B1分别交于点E， F， G， H，且直线 AA1平面 .有下列三个命题：四边形 EFGH 是平行四边形；平面 平面 BCC1B1；平面 平面 BCFE.其中的真命题是( )A BC D答案 C解析 直线 AA1平面 ，且平面 与平面 AA1C1C、平面 AA1B1B 分别交于 FG， EH，所以 AA1 FG， AA1 EH，所以 FG EH.又平面 ABC平面 A1B1C1，平面
6、 与平面 ABC、平面A1B1C1分别交于 EF， GH，所以 EF GH.所以四边形 EFGH 为平行四边形因为 AA1平面 ，且 AA1平面 ABC，所以平面 平面 ABC，即平面 平面 BCFE.平面 与平面BCC1B1可能相交，考虑特殊情况： F 与 C 重合， G 与 C1重合，此时满足题意，但是两平面相交综上，应选 C.7如图，在三棱柱 ABC A B C中，点 E， F， H， K 分别为AC， CB， A B， B C的中点， G 为 ABC 的重心从 K， H， G， B中取一点作为 P，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则 P 为( )4A K B HC G D
7、 B答案 C解析 显然 EF AB， A B EF，故再选 P 点时，面 PEF 内不能再有直线与棱平行，而选 B时只有 AB 一条棱与平面 PEF 平行故选 C.8设 ， ， 是三个不同的平面， m， n 是两条不同的直线，在命题“ m， n ，且_，则 m n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题 ， n ； m ， n ； n ， m .可以填入的条件有_答案 或解析 由面面平行的性质定理可知，正确；当 n ， m 时， n 和 m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确9(2018北京海淀模拟)如图， ABCD A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体， M， N 分
8、别是下底面的棱 A1B1， B1C1的中点， P 是上底面的棱 AD 上的一点， AP ，过 P， M， N 的平面交上a3底面于 PQ， Q 在 CD 上，则 PQ_.答案 a223解析 如图所示，连接 AC，易知 MN平面 ABCD，又平面 PQNM平面 ABCD PQ， MN平面 PQNM，5 MN PQ.又 MN AC， PQ AC.又 AP ， ，a3 PDAD DQCD PQAC 23 PQ AC a.23 22310如图，在正四棱柱 A1C 中， E， F， G， H 分别是棱 CC1， C1D1， D1D， DC 的中点， N是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内
9、部运动，则 M 只需满足条件_时，就有MN平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案 M 位于线段 FH 上(答案不唯一)解析 连接 HN， FH， FN，则 FH DD1， HN BD，平面 FHN平面 B1BDD1，只要 M FH，则 MN平面 FHN， MN平面 B1BDD1.B 组 能力关1如图是正方体的平面展开图，关于这个正方体有以下判断：6 ED 与 NF 所成的角为 60； CN平面 AFB； BM DE；平面 BDE平面 NCF.其中正确判断的序号是( )A BC D答案 C解析 把正方体的平面展开图还原成正方体 ABCD EFMN，得
10、 ED 与 NF 所成的角为 60，故正确； CN BE， CN 不包含于平面 AFB， BE平面 AFB. CN平面 AFB，故正确； BM 与 ED 是异面直线，故不正确； BD FN， BE CN， BD BE B， BD， BE平面 BDE，所以平面 BDE平面 NCF，故正确正确判断的序号是，故选 C.2(2016全国卷)平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A， 平面CB1D1， 平面 ABCD m， 平面 ABB1A1 n，则 m， n 所成角的正弦值为( )A. B32 22C D33 13答案 A解析 如图，过点 A 补作一个与正方体 ABCD A1B1C1D1相
11、同棱长的正方体，易知 m， n所成角为 EAF1，因为 EAF1为正三角形，所以 sin EAF1sin60 ，故选 A.3273如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA16， AB3， AD8，点 M 是棱 AD 的中点，点 N 在棱 AA1上，且满足 AN2 NA1， P 是侧面四边形 ADD1A1内一动点(含边界)若 C1P平面 CMN，则线段 C1P 长度的取值范围是( )A ，5 B4,517C3,5 D3， 17答案 A解析 如图所示，取棱 A1D1的中点 E，在 DD1上取点 F，使 D1F2 DF，连接C1E， EF， C1F， EN， MF. E， M 分别是所在
12、棱的中点， D1F2 DF， AN2 NA1，Rt D1EFRt AMN，Rt A1ENRt DMF. EF MN， EN MF.8四边形 MNEF 为平行四边形， MN EF.连接 EM. E， M 分别是 A1D1， AD 的中点， A1E AM， A1E AM.四边形 A1AME 是平行四边形 AA1 EM 且 AA1 EM. EM CC1， EM CC1，四边形 EMCC1是平行四边形 C1E CM.又 EF C1E E， MN CM M，平面 C1EF平面 CNM. P 是侧面四边形 ADD1A1内一点，且 C1P平面 CMN，点 P 必在线段 EF 上 AA16， AB3， AD8
13、， C1E5， C1F5， EF4 ，2 C1EF 为等腰三角形当 P 在 EF 的中点时， C1P EF，此时 C1P 最短；当 P 位于 E或 F 处时， C1P 最长故( C1P)min ，( C1P)max C1E C1F5，C1E2 (12EF)2 52 22 2 17线段 C1P 长度的取值范围是 ，5故选 A.174如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是平行四边形，四边形 BDEF 是矩形， G 和H 分别是 CE 和 CF 的中点求证：平面 BDGH平面 AEF.证明 在 CEF 中，因为 G， H 分别是 CE， CF 的中点，所以 GH EF，又因为 GH平面
14、 AEF， EF平面 AEF，所以 GH平面 AEF.设 AC BD O，连接 OH，在 ACF 中，因为 OA OC， CH HF，所以 OH AF，又因为 OH平面 AEF， AF平面 AEF，所以 OH平面 AEF.又因为 OH GH H， OH， GH平面 BDGH，所以平面 BDGH平面 AEF.C 组 素养关91(2018豫东名校联考)如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， E 为线段 AD 上的任意一点(不包括 A， D 两点)，平面 CEC1与平面 BB1D 交于 FG.证明： FG平面 AA1B1B.证明 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， BB1 CC1，
15、BB1平面 BB1D， CC1平面 BB1D，所以CC1平面 BB1D.又 CC1平面 CEC1，平面 CEC1与平面 BB1D 交于 FG，所以 CC1 FG.因为 BB1 CC1，所以 BB1 FG.而 BB1平面 AA1B1B， FG平面 AA1B1B，所以 FG平面 AA1B1B.2底面是平行四边形的四棱锥 P ABCD 中， E 是 AB 上一点，且 ，在侧棱 PD 上AEBE 12能否找到一点 F，使 AF平面 PEC.解 设 AF 存在，过 F 点作 DC 的平行线交 PC 于点 G，连接 EG，如图 AB CD， AE FG.则 AE， GF 确定一个平面，若 AF平面 PEC，则 AF EG. AE GF.而 . AE AB.AEBE 12 13又 AB CD， GF DC.13 GF DC， .GFDC PFPD 1310存在这样的 F 点 ，使 AF平面 PEC.(PFPD 13)
