1、1第 8章 平面解析几何 第 4讲A组 基础关1已知点 M(a， b)在圆 O： x2 y21 外，则直线 ax by1 与圆 O的位置关系是( )A相切 B相交C相离 D不确定答案 B解析 因为点 M(a， b)在圆 O： x2 y21 外，所以 a2 b21，圆 O的半径为 1，圆 O的圆心到直线 ax by10 的距离 d 0)上，且与直线 2x y10 相切的面积最小的圆的方程为( )2xA( x1) 2( y2) 25B( x2) 2( y1) 25C( x1) 2( y2) 225D( x2) 2( y1) 225答案 A解析 由圆心在曲线 y (x0)上，设圆心坐标为 ， a0.
2、2x (a， 2a)又圆与直线 2x y10 相切，所以圆心到直线的距离 d ，当2a 2a 15 4 15 5且仅当 2a ，即 a1 时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为 ，则所2a 5求圆的方程为( x1) 2( y2) 25.8(2018全国卷)直线 y x1 与圆 x2 y22 y30 交于 A， B两点，则|AB|_.答案 2 23解析 根据题意，圆的方程可化为 x2( y1) 24，所以圆的圆心为(0，1)，且半径是 2，根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离 d ，所|0 1 1|12 1 2 2以| AB|2 2 .4 2 29已知圆 C1： x2
3、y26 x70 与圆 C2： x2 y26 y270 相交于 A， B两点，则线段 AB的中垂线方程为_答案 x y30解析 圆 C1的圆心 C1(3,0)，圆 C2的圆心 C2(0,3)，直线 C1C2的方程为x y30， AB的中垂线即直线 C1C2，故其方程为 x y30.10一个圆与 y轴相切，圆心在直线 x3 y0 上，且在直线 y x上截得的弦长为 2，则该圆的方程为_ 7答案 ( x3) 2( y1) 29 或( x3) 2( y1) 29解析 所求圆的圆心在直线 x3 y0 上，设所求圆的圆心为(3 a， a)，又所求圆与 y轴相切，半径 r3| a|，又所求圆在直线 y x上
4、截得的弦长为 2 ，圆心(3 a， a)到直线 y x的距离7d ，|2a|2 d2( )2 r2，即 2a279 a2， a1.7故所求圆的方程为( x3) 2( y1) 29 或( x3) 2( y1) 29.B组 能力关1已知方程 kx32 k 有两个不同的解，则实数 k的取值范围是( )4 x2A. B(512， 34) (512， 1C D(512， 34 (0， 34答案 C解析 由题意得，半圆 y 和直线 y kx2 k3 有两个交点，又直线4 x2y kx2 k3 过定点 C(2,3)，如图当直线在 AC位置时，4斜率 k .3 02 2 34当直线和半圆相切时，由半径 2 ，
5、|0 0 2k 3|k2 1解得 k ，故实数 k的取值范围是 ，故选 C.512 (512， 342(2018安徽皖江最后一卷)已知圆 C经过原点 O且圆心在 x轴正半轴上，经过点N(2,0)且倾斜角为 30的直线 l与圆 C相切于点 Q，点 Q在 x轴上的射影为点 P，设点M为圆 C上的任意一点，则 ( )|MN|MP|A4 B3C2 D1答案 C解析 由题意，直线 l：y (x2)，33即 x y20，3设圆心 C(a,0)(a0)，则 a，|a 2|12 3 2解得 a2，所以圆 C的方程为( x2) 2 y24，将 y (x2)代入圆 C的方程，可解得 xP1，33故 P(1,0)设
6、 M(x， y)，则 ，|MN|2|MP|2 x 2 2 y2 x 1 2 y2 x2 y2 4x 4x2 y2 2x 1将圆 C的方程 x2 y24 x代入得， 4，|MN|2|MP|2 8x 42x 1 2.|MN|MP|3(2018江苏高考)在平面直角坐标系 xOy中， A为直线 l： y2 x上在第一象限内5的点， B(5,0)，以 AB为直径的圆 C与直线 l交于另一点 D.若 0，则点 A的横坐标AB CD 为_答案 3解析 如图，因为 AB为直径，所以 AD BD，所以 BD即 B到直线 l的距离， BD2 .|25 0|12 22 5因为 CD AC BC r，又 CD AB，
7、所以 AB2 BC2 ，10设 A(a,2a)， AB 2 a1 或 3(a1 舍去) a 5 2 4a2 104已知过原点的动直线 l与圆 C1： x2 y26 x50 相交于不同的两点 A， B.(1)求圆 C1的圆心坐标；(2)求线段 AB的中点 M的轨迹 C的方程解 (1)把圆 C1的方程化为标准方程得( x3) 2 y24，圆 C1的圆心坐标为 C1(3,0)(2)设 M(x， y)， A， B为过原点的直线 l与圆 C1的交点，且 M为 AB的中点，由圆的性质知， MC1 MO， 0.MC1 MO 又 (3 x， y)， ( x， y)，MC1 MO x23 x y20.易知直线
8、l的斜率存在，故设直线 l的方程为 y mx，当直线 l与圆 C1相切时，圆心到直线 l的距离 d 2，|3m 0|m2 1解得 m .255把相切时直线 l的方程代入圆 C1的方程化简得9x230 x250，解得 x .53当直线 l经过圆 C1的圆心时， M的坐标为(3,0)6又直线 l与圆 C1交于 A， B两点， M为 AB的中点， x3.53点 M的轨迹 C的方程为 x23 x y20，其中 x3，其轨迹为一段圆弧535(2017全国卷)已知抛物线 C： y22 x，过点(2,0)的直线 l交 C于 A， B两点，圆 M是以线段 AB为直径的圆(1)证明：坐标原点 O在圆 M上；(2
9、)设圆 M过点 P(4，2)，求直线 l与圆 M的方程解 (1)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， l： x my2，由Error! 可得 y22 my40，则 y1y24.又 x1 ， x2 ，故 x1x2 4.y212 y22 y1y2 24因此 OA的斜率与 OB的斜率之积为 1，y1x1 y2x2 44所以 OA OB，故坐标原点 O在圆 M上(2)由(1)可得 y1 y22 m，x1 x2 m(y1 y2)42 m24，故圆心 M的坐标为( m22， m)，圆 M的半径 r . m2 2 2 m2由于圆 M过点 P(4，2)，因此 0，AP BP 故( x14)( x24)( y12)( y22)0，即 x1x24( x1 x2) y1y22( y1 y2)200.由(1)可知 y1y24， x1x24，所以 2m2 m10，解得 m1 或 m .12当 m1 时，直线 l的方程为 x y20，圆心 M的坐标为(3,1)，圆 M的半径为 ，10圆 M的方程为( x3) 2( y1) 210.当 m 时，直线 l的方程为 2x y40，圆心 M的坐标为 ，圆 M的半径12 (94， 12)为 ，854圆 M的方程为 2 2 .(x94) (y 12) 85167
