1、1本章小结学习目标1.回顾平行四边形及各种特殊平行四边形的性质与判定,三角形的中位线及其性质,直角三角形斜边上的中线的性质 .(重点)2.正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别,在反思和交流过程中,逐渐建立知识体系 .(难点)3.总结本章的重要思 想方法 .学习过程一、合作探究阅读第十八章全章内容,回答下列问题:1.填写下表:总结平行四边形 矩形 菱形 正方形边平行且相等 平行且相等 平行, 相等 平行, 相等 角 相等 都是直角 相等 都是直角 互相 互相 互相 ,且每条对角线平分一组 互相 且 ,每条对角线平分一组 判定1.两组对边分别 ; 2.两组对边分别 ; 3.一组对边
2、且 ; 4.两组对角分别 ; 5.两条对角线互相 . 1.有 角是直角的四 边形; 2.有 角是直角的 ; 3. 相等的 . 1.四边 的四边形; 2.对角线互相 的平行四边形; 3.有一组邻边 的平行四边形 . 4.每条对角线 一组对角的四边形 . 1.有一个角是 的菱形; 2.对角线 的菱形; 3.有一组邻边 的矩形; 4.对角线互相 的矩形; 对称性 只是 图形 既是 图形,又是 图形 面积 S= S= S= S= 22.我们学习了一般的平行四边形和一些特殊的平行四边形,下图表示了在某种条件下它们之间的相互转化 .请你对下图标上的 5 个数字序号写出相对应的条件 .3.三角形的中位线及其
3、性质是什么?4.直角三角形斜边上的中线有何性质?5.矩形被其一条对角线分成两个 三角形,被其两条对角线分成四个 三角形;菱形被其一条对角线分成两个 三角形,被其两条对角线分成四 三角形;正方形被其一条对角线分成两个 三角形,被其两条对角线分成四个全等三角形 .6.矩形有 条对称轴,菱形有 条对称轴,正方形有 条对称轴 . 二、自主练习【例 1】如图, E,F 是平行四边形 ABCD 对角线 BD 上的两点,给出下列三个条件:BE=DF ; AEB= DFC;AF EC.请你从中选择一个适当的条件 ,使四边形 AECF是平行四边形,并证明你的结论 . 【例 2】如图,点 E,F,G,H 分别为四
4、边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形EFGH 的形状,并证明你的结论 .【例 3】如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC=8 cm,BD=6 cm,DH AB 于 H,求高 DH 的长 .【例 4】如图,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,点 O 是正方形 ABCO 的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形 ABCO 绕点 O 无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一,你能说明理由吗?(提示:寻找全等三角形)【例 5】如图, ABC 中, BD,CE 为高, F 是边 BC 的中点,判断 DEF 的形状,并说明理由 .
5、3三、跟踪练习1.已知 ABCD 的周长为 36 cm,AB=15 cm,则 AD= ( )A.21 cm B.6 cmC.10.5 cm D.3 cm2.菱形的周长为 40 cm,一条对角线长为 16 cm,则其另一条对角线长( )A.12 cm B.6 cmC.16 cm D.8 cm3.在 ABC 中, D,E 分别是 BC,AC 边的中点,若 AB=4 cm,BC=5 cm,AC=6 cm,则 DE= cm. 4.矩形 ABCD 的边 AB 长 5 cm,对角线 AC 长 13 cm,则矩形的周长是 cm. 5.如图,直线 AE BD,点 C 在 BD 上,若 AE=5,BD=8, A
6、BD 的面积为 16,则 ACE 的面积是 . 6.已知:如图,菱形 ABCD 中, B=60,AB=4,求以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长 .四、变式演练1.如图,在四边形 ABCD 中,点 H 是边 BC 的中点,作射线 AH,在线段 AH 及其延长线上分别取点 E,F,连接 BE,CF.(1)请你添加一个条件,使得 BEH CFH,你添加的条件是 ,并证明; (2)在问题(1)中,当 BH 与 EH 满足什么关系时,四边形 BFCE 是矩形?请说明理由 .2.现有一张矩形纸片 ABCD,如图所示,其中 AB=4 cm,BC=6 cm,E 是 BC 的中点 .实际操作:将纸片沿直
7、线 AE 折叠,使点 B 落在四边形 AECD 内,记为点 B.(1)请用尺规在图中作出 AEB(保留作图痕迹);(2)试求 B,C 两点之间的距离 .五、达标检测(一)选择题41.在四边形 ABCD 中, O 是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是( )A.AC=BD,AB=CD,AB CDB.AD BC, A= CC.AO=BO=CO=DO,AC BDD.AO=CO,BO=DO,AB=BC2.如图,将一个边长分别为 4,8 的长方形纸片 ABCD 折叠,使 C 点与 A 点 重合,则折痕 EF的长是( )A. B.23 3C. D.25 53.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同
8、的平行四边形的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.44.已知点 A(2,0),B ,C(0,1),以 A,B,C 三点为顶点画平行四边形,则第四个顶(-12,0)点不可能在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.如图,是由两个正方形组成的长方形花坛 ABCD,小明从顶点 A 沿着花坛间小路直到走到长边中点 O,再从中点 O 走到正方形 OCDF 的中心 O1,再从中心 O1走到正方形 O1GFH 的中心O2,又从中心 O2走到正方形 O2IHJ 的中心 O3,再从中心 O3走到正方形 O3KJP 的中心 O4,一共走了 31 m,则长方形花坛 ABCD 的周长是( )
9、2A.36 m B.48 mC.96 m D.60 m(二)填空题6.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形 ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 . 7.平行四边形两邻边长分别为 20 和 16,若两较长边之间的距离为 4,则两较短边之间的距离为 . 8.如图,四边形 ABCD 的两条对角线 AC,BD 互相垂直,四边形 A1B1C1D1是四边形 ABCD 的中点四边形 .如果 AC=8,BD=10,那么四边形 A1B1C1D1的面积为 . 59.如图, ABCD 中,点 E 在边 AD 上,以 BE 为折痕,将 ABE 向上翻折,点
10、 A 正好落在 CD 上的点 F,若 FDE 的周长为 10, FCB 的周长为 22,则 FC 的长为 . 10.将一张长方形的纸对折,如图所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到 7 条折痕,那么对折四次可以得到 条折痕,如果对折 n 次,可以得到 条折痕 . (三)解答题11.如图,直线 a,b 相交于点 A,C,E 分别 是直线 b,a 上两点且 BC a,DE b,点 M,N 分别是 EC,DB 的中点 .求证:(1) DM=BM;(2)MN BD.12.已知:在平行四边形 ABCD 中, AE BC,垂足为 E,CE=
11、CD,点 F 为 CE 的中点,点 G 为 CD上的一点, 连接 DF,EG,AG,1 =2 .(1)若 CF=2,AE=3,求 BE 的长;(2)求证: CEG= AGE.12参考答案一、合作探究1.平行四边形矩形菱形正方形边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行,四边相等 对边 平行,四边相等角 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角6互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角续 表平行四边形 矩形 菱形 正方形判定1.两组对边分别平行;2.两组对边分别相等;3.一组对边平行且相等;4.两组对角分别相等;5.
12、两条对角线互相平分 .1.有三个角是直角的四边形;2.有一个角是直角的平行四边形;3.对角线相等的平行四边形 .1.四边相等的四边形;2.对角线互相垂直的 平行四边形;3.有一组邻边相等的平行四边形;4.每条对角线互相垂直且平分一组对角的四边形 .1.有一个角是直角的菱形;2.对角线相等的菱形;3.有一组邻边相等的矩形;4.对角线互相垂直的矩形 .对称性 只是中心对称图形 既是轴对称图形,又是中心对称图形面积 S=ah S=ab S= d1d212 S=a22.(1)两组对边分别平行;(2)有一个角是直角;(3)有一组邻边相等;(4)有一组邻边相等;(5)有一个角是直角 .3.略4.直角三角形
13、斜边上的中线等于斜边的一半 .5.略6.2 2 4.二、自主练习【例 1】选 (答案不唯一)证明:如图,连接 AC 交 BD 于 O.AO=CO ,OB=OD.又 BE=DF ,OB-BE=OD-DF ,OE=OF.又 AO=CO , 四边形 AECF 为平行四边形 .【例 2】解:四边形 EFGH 为平行四边形 .7如图,连接 AC,在 ACD 中, H,G 分别为 AD,CD 的中点,HG AC,HG= AC.12同理: EF AC,EF= AC.12HG EF,HG=EF. 四边形 EFGH 为平行四边形 .【例 3】解: 四边形 ABCD 为菱形,AO= AC=4 cm,OB= BD=
14、3 cm.12 12AC BD, 在 Rt AOB 中, AB= =5(cm).AO2+BO2= 32+42又 S ABD= DHAB= AOBD.12 12DH= (cm).AOBDAB=465 =245【例 4】解: BOF+ AOB=90, AOB+ AOE=90. BOF= AOE.又 OA=OB , OAE= OBF. AOE BOF.S AOE=S BOF.S 四边形 EBFO=S BOF+S OEB=S AOE+S OEB=S ABO= S 正方形 ABCD.14【例 5】解: DEF 为等腰三角形 .在 Rt BEC 中, F 为 BC 的中点, EF= BC,12同理: FD
15、= BC,FD=EF.12 DEF 为等 腰三角形 .三、跟踪练习1.D 2.A 3.2 4.34 5.106.解:由菱形的性质得: AB=BC,又 B=60, ABC 为等边三角形 .AC=AB= 4.C 正方形 ACEF=4AC=44=16.四、变式演练1.解:(1)添加条件: BE CF(答案不唯一) .证明:如题图, BE CF, 1 =2 . 点 H 是边 BC 的中点, BH=CH.又 3 =4, BEH CFH.(2)当 BH=EH 时,四边形 BFCE 是矩形,理由如下:如图,连接 BF,CE, BEH CFH,BH=CH ,EH=FH. 四边形 BFCE 是平行四边形 .8又
16、 BH=EH ,BC=EF , 四边形 BFCE 是矩形 .2.解:(1)如图所示 .(2)如图,连接 BB,BC,设 BB与 AE 交于点 F.因为点 B,B关于直线 AE 对称,所以 BE=BE,所以 EBB= EBB.因为 BE=EC,所以 BE=EC,所以 ECB= EBC.因为 EBB+ EBB+ EBC+ ECB=180,所以 BBC=90.因为 BC=6 cm,E 是 BC 的中点,所以 BE=3 cm.在 Rt ABE 中, AB=4 cm,BE=3,根据勾股定理,得 AE=5 cm,所以 BF= cm,所以 BB= 125 245cm.在 Rt BBC 中,根据勾股定理,得B
17、C= .62-(245)2=185故 B,C两点之间的距离为 cm.185五、达标检测1.C 2.D 3.C 4.C 5.C6.30 7.5 8.20 9.6 10.15 2n-111.证明:(1) BC a,DE b, CDE= CBE=90, CBE, CDE 为直角三角形, 点 M 是 EC 的中点,DM=BM= EC,12DM=BM ;(2)DM=BM , MDB 为等腰三角形,又 N 为 BD 的中点,9MN 为 BD 边上的中线,MN BD(三线合一) .12.解:(1) 点 F 为 CE 的中点,CE=C D=2CF=4.又 四边形 ABCD 为平行四边形,AB=CD= 4.在 Rt ABE 中,由勾股定理,得: BE= .AB2-AE2= 7(2)证明:如图,延长 AG,BC 交于点 H.CE=CD ,1 =2, C= C, CEG CDF.CG=CF. 点 F 为 CE 的中点,即 CF=EF= CE,12又 CE=CD,CG=GD= CD.12AD BC, GAD= H, ADG= GCH. ADG HCG.AG=HG. AEH=90,EG= AH=GH.12 GEH= H= AGE.12
