1、- 1 -8 函数 y=Asin(x+ )的图像与性质课后篇巩固探究A 组 基础巩固1.函数 y=2sin +1 的最大值是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 函数 y=2sin +1 的最大值为 2+1=3.答案 C2.已知函数 f(x)=sin ( 0)的最小正周期为 ,则 f =( )A.- B. C. D.-解析 由 =,得 = 2,此时 f(x)=sin .f =sin .答案 B3.函数 y=3sin 的一个单调递减区间为( )A. B.C. D.解析 y=3sin =-3sin ,当 x 时, x- ,此时 y=sin 在区间上是增加的,从而 y=-3sin 在区间 上是减
2、少的,即单调递减区间是 .答案 B4.在同一平面直角坐标系中,函数 y=cos (x0,2)的图像和直线 y= 的交点个数是( )A.0 B.1 C.2 D.4解析 作出函数 y=cos ,x0,2的图像及 y= 的图像可得,应选 C.答案 C5.已知函数 y=sin(x+ ) 的部分图像如图所示,则( )- 2 -A.= 1,=B.= 1,=-C.= 2,=D.= 2,=-解析 T= 4 =,= =2,由五点作图法知 2 += ,=- .答案 D6.如图是函数 y=Asin(x+ )(xR)在区间 上的图像,为了得到这个函数的图像,只要将y=sin x(xR)的图像上所有点( )A.向左平移
3、 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变解析 由图像可知函数的周期为 ,振幅为 1,所以函数的解析式可设为 y=sin(2x+ ).代入可得 的一个值为 ,故图像中函数的一个解析式是 y=sin ,所以只需将 y=sin x(xR)的图像上所有的点向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 .答案 A7.已知函数 y=
4、Asin(x+ )+m 的最大值是 4,最小值是 0,最小正周期是 ,直线 x= 是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )A.y=4sin 4x+ B.y=2sin 2x+ +2C.y=2sin 4x+ +2 D.y=2sin 4x+ +2- 3 -解析 由题意可得, A= =2,m= =2,= =4,=k + , 当 k=1 时, =, 符合条件的一个解析式为 y=2sin 4x+ +2.答案 D8.将函数 y= sin 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,则函数 g(x)在 上的最大值和最小值分别为 和 . 解析 依据图像变换得函
5、数 g(x)= sin .x , 4x+ , 当 4x+ 时, g(x)取最大值 ;当 4x+ 时, g(x)取最小值 - .答案 -9.设函数 f(x)=4sin ,若对任意 xR,都有 f(x1) f(x) f(x2)成立,则 |x1-x2|的最小值是 . 解析 由正弦曲线的图像可知, f(x1),f(x2)分别是函数 f(x)=4sin 的最小值、最大值,|x1-x2|的最小值就是相邻最小值、最大值横坐标之间的距离,等于函数的 个周期,故 |x1-x2|的最小值 = T= =2.答案 210.已知函数 f(x)=Asin(x+ )的图像的一部分如图所示,求函数 f(x)的解析式 .解 由
6、图像可知, A=2,T=8.T= 8,= .f (x)=2sin .方法一:由图像过点(1,2)得,2sin =2, sin =1. += 2k + (kZ),- 4 -即 = 2k + (kZ) .| 0,则 至少为 ,即 y= sin cos 2x+ 为偶函数 . 应将函数 y= sin 的图像平移至函数 y= sin的图像处 .由函数图像平移方法知: y= sin 的图像 y= sin的图像, 函数 f(x)的图像至少向左平移 个单位长度才为偶函数 .- 5 -B 组 能力提升1.将函数 f(x)=3sin 图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 个单位长度,得到函数 y=
7、g(x)的图像,则 y=g(x)图像的一条对称轴是 ( )A.x= B.x=C.x= D.x=解析 将函数 f(x)=3sin 图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,可得函数 y=3sin的图像,再向右平移 个单位长度,可得 y=3sin =3sin 的图像,故g(x)=3sin .令 2x- =k + ,kZ,得到 x= + ,kZ .则得 y=g(x)图像的一条对称轴是 x= .故选 C.答案 C2. 导学号 93774030 设 0,函数 y=sin +2 的图像向右平移 个单位长度后与原图像重合,则 的最小值是( )A. B. C. D.3解析 y=sin +2 向右平移 个单位长
8、度,得 y1=sin +2,即 y1=sin +2,又函数 y 与 y1的图像重合,则 - = 2k( kZ),=- k(kZ) .又 0,kZ, 当 k=-1 时, 取得最小值 .故选 C.答案 C3.将函数 f(x)=sin x (其中 0)的图像向右平移 个单位长度,所得图像经过点 ,则 的最小值是( )A. B.1 C. D.2- 6 -解析 将函数 f(x)=sin x 的图像向右平移 个单位长度,得到的图像对应的函数解析式为 f(x)=sin =sin .因为函数的图像经过点 ,所以 sin =sin =0,所以=k( kZ),即 = 2k(kZ),因为 0,所以 的最小值为 2.
9、答案 D4.函数 f(x)=2sin x ( 0)在区间 上单调递增,且在这个区间上的最大值是 ,则 可以为( )A. B. C.2 D.4解析 因为函数 f(x)=2sin x ( 0)在区间 上单调递增,所以周期 T,所以 00, 0)的最大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为 .(1)求函数 f(x)的解析式;(2)设 (0,2), f =2,求 的值 .解 (1) 函数 f(x)的最大值为 3,A+ 1=3,即 A=2. 函数图像相邻两条对称轴之间的距离为 , 最小正周期 T=,= 2. 函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin +1.(2)f =2sin +1=2,即 si
10、n . 0 2, - - ,- 或 - ,故 = 或 = .8. 导学号 93774032 已知函数 y=3sin .(1)求此函数的周期、振幅、初相;(2)作函数在0,4上的图像;(3)说出此函数图像是由 y=sin x 的图像经过怎样的变化得到的 .解 (1)y=3sin 的周期 T=4,振幅为 3,初相为 - .(2)在 x0,4上确定关键点,列表如下 .x 0 4x- - 0 y=3sin-0 3 0 -3- 8 -描点,作出以上各点,用平滑曲线顺次连接各点,得 y=3sin 在0,4上的草图如图所示 .(3) 把函数 y=sin x 的图像向右平移 个单位长度,得到函数 y=sin 的图像; 把得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin的图像 ; 把得到的图像上各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),得到函数 y=3sin的图像 .
