1、- 1 -4.1 曲线与方程课后训练案巩固提升1.下列命题正确的是( )A.方程 =1 表示斜率为 1,在 y 轴上的截距是 2 的直线B. ABC 的顶点坐标分别为 A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线 AO 的方程是 x=0C.到 x 轴距离为 5 的点的轨迹方程是 y=5D.曲线 2x2-3y2-2x+m=0 通过原点的充要条件是 m=0解析:选项 A 中直线不过(0,2)点;选项 B 中中线 AO 是线段;选项 C 中轨迹方程应是 y=5.故选项 A,B,C 都错误,选 D.答案:D2.已知 P1(x1,y1)是直线 l:f(x,y)=0 上的一点, P2(x2,y2)是
2、直线 l 外一点,则方程 f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0 表示的直线 l与直线 l 的位置关系是( )A.平行 B.重合 C.垂直 D.斜交解析: 点 P1(x1,y1)在直线 l:f(x,y)=0 上,f (x1,y1)=0.f (x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=f(x,y)+f(x2,y2)=0,即 l为 f(x,y)=-f(x2,y2).又 点 P2(x2,y2)在直线 l 外,则 f(x2,y2)=k0 .l 为 f(x,y)=-k,即 f(x,y)+k=0.答案:A3.ABCD 的顶点 A,C 的坐标分别为(3, -1),(2,-3),顶点 D 在
3、直线 3x-y+1=0 上移动,则顶点 B满足的方程为( )A.3x-y-20=0 B.3x-y-10=0C.3x-y-12=0 D.3x-y-9=0解析:设 AC,BD 交于点 P, 点 A,C 的坐标分别为(3, -1),(2,-3),P 点坐标为 .设 B 为( x,y),则 D 为(5 -x,-4-y), 点 D 在直线 3x-y+1=0 上, 15-3x+4+y+1=0,即 3x-y-20=0.答案:A4.方程 4x2-y2+4x+2y=0 表示的曲线是( )A.一个点B.两条互相平行的直线C.两条互相垂直的直线D.两条相交但不垂直的直线解析: 4x2-y2+4x+2y=0, (2x
4、+1)2-(y-1)2=0, 2x+1=(y-1), 2x+y=0 或 2x-y+2=0,这两条直线相交但不垂直 .答案:D5.已知 A(-1,0),B(1,0),且 =0,则动点 M 的轨迹方程是( )A.x2+y2=1 B.x2+y2=2- 2 -C.x2+y2=1(x 1) D.x2+y2=2(x 2)解析:设 M(x,y),则 =(-1-x,-y), =(1-x,-y),由 =0,得( -1-x)(1-x)+y2=0,即 x2+y2=1.答案:A6.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足 |PA|=2|PB|,则点 P 满足的方程的曲线所围成的图形的面积为( )A
5、. B.4C.8 D.9解析:设 P 为( x,y),由 |PA|=2|PB|,得=2 ,即( x-2)2+y2=4, 点 P 满足的方程的曲线是以 2 为半径的圆,其面积为 4 .答案:B7.已知 0 2,点 P(cos ,sin )在曲线( x-2)2+y2=3 上,则 的值为 . 解析:(cos - 2)2+sin2= 3,得 cos = ,所以 = .答案:8. 导学号 90074081 已知 O 的方程是 x2+y2-2=0, O的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P 向 O 和 O所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是 . 解析:由 O:x2+y2=2, O:(x-4
6、)2+y2=6,知两圆相离 .设由动点 P 向 O 和 O所引的切线与 O 和 O的切点分别为 T,Q,则 |PT|=|PQ|,而 |PT|2=|PO|2-2,|PQ|2=|PO|2-6,|PO| 2-2=|PO|2-6.设 P(x,y),即得 x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,即 x= .答案: x=9.如图,已知定圆 F1:x2+y2+10x+24=0,定圆 F2:x2+y2-10x+9=0,动圆 M 与定圆 F1,F2都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程 .解圆 F1:(x+5)2+y2=1,圆心 F1(-5,0),半径 r1=1.圆 F2:(x-5)2+y2=42,圆心 F2(5,
7、0),半径 r2=4.设动圆 M 的半径为 R,则有 |MF1|=R+1,|MF2|=R+4,|MF 2|-|MF1|=310=|F1F2|. 点 M 的轨迹是以 F1,F2为焦点的双曲线的左支,且 a= ,c=5,于是 b2=c2-a2= .- 3 - 动圆圆心 M 的轨迹方程为 =1 .10.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,l1交 x 轴于点 A,l2交 y 轴于点 B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 .解法一如图,设点 M 的坐标为( x,y).M 为线段 AB 的中点, 点 A 的坐标为(2 x,0),点 B 的坐标为(0,2 y).l 1 l2,且 l1,l
8、2过点 P(2,4),PA PB,k PAkPB=-1.而 kPA= (x1), kPB= =2-y, =-1(x1) .整理,得 x+2y-5=0(x1) . 当 x=1 时, A,B 的坐标分别为(2,0),(0,4), 线段 AB 的中点坐标是(1,2),也满足方程 x+2y-5=0.综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0.解法二如图,设 M 的坐标为( x,y),则 A,B 两点的坐标分别是(2 x,0),(0,2y),连接 PM.l 1 l2, 2|PM|=|AB|.而 |PM|= ,|AB|= , 2 ,化简,得 x+2y-5=0 为所求轨迹方程 .- 4 -解法三如图,设点 M 的坐标为( x,y),连接 PM,OM.由 l1 l2,知 A,O,B,P 四点共圆, AB 为圆的直径, M 为圆心,则有 |OM|=|MP|.= .化简,得 x+2y-5=0 为所求轨迹方程 .
