1、- 1 -1.1 椭圆及其标准方程1.设定点 F1(0,-2),F2(0,2),动点 P满足条件 |PF1|+|PF2|=m+ (m2),则点 P的轨迹是( )A.椭圆 B.线段C.不存在 D.椭圆或线段解析:因为 m2,所以 m+ 2 =4,所以点 P的轨迹为以 F1,F2为焦点的椭圆 .答案:A2.椭圆 =1的焦点坐标是( )A.(5,0) B.(0,5)C.(0,12) D.(12,0)解析:因为 c2=a2-b2=169-25=122,所以 c=12.又焦点在 y轴上,故焦点坐标为(0, 12).答案:C3.已知椭圆 =1上一点 P到椭圆的一个焦点的距离为 3,到另一个焦点的距离为 7
2、,则 m=( )A.10 B.5C.15 D.25解析:设椭圆的焦点分别为 F1,F2,则由椭圆的定义,知 |PF1|+|PF2|=2a=10,所以 a=5,所以 a2=25,所以椭圆的焦点在 x轴上, m=25.答案:D4.已知椭圆 =1上一点 P到两个焦点 F1,F2的距离之差为 2,则 PF1F2的形状为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析:不妨令 |PF1|-|PF2|=2,由 |PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2,解得 |PF1|=5,|PF2|=3.又 |F1F2|=4,满足 |PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2, PF1F2为
3、直角三角形 .答案:A- 2 -5. 导学号 01844010 已知 P是椭圆 =1上一点, F1,F2为焦点,且 F1PF2=90,则 PF1F2的面积是 . 解析:由椭圆定义知 |PF1|+|PF2|=2a=10, F1PF2=90,|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=36, 由 ,得 |PF1|PF2|=32.S= |PF1|PF2|=16.答案:166.若椭圆 =1的焦距等于 2,则 m的值是 . 解析:当椭圆的焦点在 x轴上时, a2=m,b2=15,所以 c2=m-15,所以 2c=2 =2,解得 m=16;当椭圆的焦点在 y轴上时,同理有 2 =2,所以 m=1
4、4.答案:16 或 147.已知椭圆的焦点是 F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若 |F1F2|是 |PF1|和 |PF2|的等差中项,则该椭圆的方程是 . 解析:由题意得 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,所以 4c=2a=4,所以 a=2.又 c=1,所以 b2=a2-c2=3,故椭圆方程为 =1.答案: =18.求以椭圆 9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点 M(2, )的椭圆的标准方程 .解由 9x2+5y2=45,得 =1.其焦点 F1(0,2),F2(0,-2).设所求椭圆方程为 =1.- 3 -又 点 M(2, )在椭圆上, =1. 又 a2-b2=
5、4, 解 得 a2=12,b2=8.故所求椭圆方程为 =1.9. 导学号 01844011 已知 P是椭圆 +y2=1上的一点, F1,F2是椭圆的两个焦点 .(1)当 F1PF2=60时,求 F1PF2的面积;(2)当 F1PF2为钝角时,求点 P横坐标的取值范围 .解(1)由椭圆的定义,得 |PF1|+|PF2|=4, 且 F1(- ,0),F2( ,0).在 F1PF2中,由余弦定理得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60. 由 得 |PF1|PF2|= .所以 |PF1|PF2|sin F1PF2= .(2)设点 P(x,y),由已知 F1PF2为钝角,得 0,即( x+ ,y)(x-,y)0,又 y2=1- ,所以 x22,解得 - x ,所以点 P横坐标的取值范围是 - x .- 4 -
