1、- 1 -1.2 椭圆的简单性质A 组1.下面是关于曲线 4x2=12-3y2对称性的一些叙述: 关于 x 轴对称; 关于 y 轴对称; 关于原点对称; 关于直线 y=x 对称 .其中正确叙述的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:曲线方程 4x2=12-3y2可化为 =1,故该曲线为焦点在 y 轴上的椭圆,由椭圆的性质,知该曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称,将曲线方程中的 x 换成 y,y 换成 x,得 =1,与原曲线方程不同,故该曲线不关于直线 y=x 对称 .答案:C2.已知椭圆 =1(m0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m=( )A.2 B.3 C.4 D.9解析:由
2、已知 a2=25,b2=m2,c=4,又由 a2=b2+c2,可得 m2=9.因为 m0,所以 m=3.答案:B3.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则椭圆 C 的方程是( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析:设椭圆 C 的方程为 =1(ab0),则 c=1,e= ,所以 a=2,b= ,所以椭圆 C 的方程是 =1.答案:D4.设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若 F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )- 2 -A. B. C.2- D. -1解析:由已知 |PF2|=2c,|PF 1|=2
3、 c.由椭圆的定义知 |PF1|+|PF2|=2a,即 2 c+2c=2a,e=-1.答案:D5.已知椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的 2 倍,则 m=( )A. B. C.2 D.4解析:将椭圆方程化为标准方程为 x2+ =1.因为焦点在 y 轴上,所以 1,所以 0b0)的左、右焦点为 F1,F2,过 F2作 x 轴的垂线与 C 交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴交于点 D,若 AD F1B,则椭圆 C 的离心率等于 . 解析:因为 AB x 轴,所以点 D 为 F1B 的中点,且 |AF2|= .又 AD F1B,所以 |AF1|=|AB|,所以 2a-
4、 ,所以 ,e2=1- ,所以 e= .答案:- 3 -7.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 0b0)的离心率是 ,点 P(0,1)在短轴 CD 上,且 =-1,则椭圆 E 的方程为 . 解析:由已知,点 C,D 的坐标分别为(0, -b),(0,b).又 P 点的坐标为(0,1),且 =-1,于是 解得 a=2,b= ,所以椭圆 E 方程为 =1.答案: =19. 导学号 01844012 如图所示, F1,F2分别为椭圆的左、右焦点, M 为椭圆上一点,且MF2 F1F2, MF1F2=30.试求椭圆的离心率 .解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a,b,c,因为 MF2 F1F2,所
5、以 MF1F2为直角三角形 .又 MF1F2=30,- 4 -所以 |MF1|=2|MF2|,|F1F2|= |MF1|.而由椭圆定义知 |MF1|+|MF2|=2a,因此 |MF1|= ,|MF2|= ,所以 2c= ,即 ,即椭圆的离心率是 .B 组1.椭圆的焦点在 x 轴上,长、短半轴之和为 10,焦距为 4 ,则椭圆的标准方程为( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析:由题意得 c=2 ,a+b=10,b 2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得 a2=36,b2=16,故椭圆方程为 =1.答案:A2.过椭圆 =1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ( )A.8,
6、6 B.4,3C.2, D.4,2解析:椭圆过焦点的弦中最长的是长轴,最短的为垂直于长轴的弦(通径)是 , 最长的弦为 2a=4,最短的弦为 =3,故选 B.答案:B- 5 -3.(2014 大纲全国高考)已知椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 ,过 F2的直线 l 交 C 于 A,B 两点 .若 AF1B 的周长为 4 ,则 C 的方程为 ( )A. =1 B. +y2=1C. =1 D. =1解析: =1(ab0)的离心率为 , .又 过 F2的直线 l 交椭圆于 A,B 两点, AF1B 的周长为 4 , 4a=4 ,a= .b= , 椭圆方程为 =1,选 A
7、.答案:A4.已知椭圆 C: +y2=1 的两焦点为 F1,F2,点 P(x0,y0)满足 0 1,则 |PF1|+|PF2|的取值范围是 . 解析:由于 0 1,所以点 P(x0,y0)在椭圆 +y2=1 内部,且不能与原点重合 .根据椭圆的定义和几何性质知, |PF1|+|PF2|2a=2 ,且 |PF1|+|PF2|的最小值为点 P落在线段 F1F2上,此时 |PF1|+|PF2|=2.- 6 -故 |PF1|+|PF2|的取值范围是2,2 ).答案:2,2 )5. 导学号 01844013 如图所示, F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标
8、等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率 .解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a,b,c,则焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),M 点的坐标为 ,则 MF1F2为直角三角形 .在 Rt MF1F2中, |F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即 4c2+ b2=|MF1|2.而 |MF1|+|MF2|= b=2a,整理得 3c2=3a2-2ab.又因为 c2=a2-b2,所以 3b=2a,所以 ,所以 e2= =1- ,所以 e= .6. 导学号 01844014 在直线 l:x-y+9=0 上任取一点 P,过点 P 以椭圆 =1 的焦点为焦点作椭圆 .(1)P 点在何处时,所求椭圆的长轴最短?- 7 -(2)求长轴最短时的椭圆方程 .解 |PF1|+|PF2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是 P 到 F1,F2两点的距离之和最小,因而问题转化为在直线 l 上求一点 P,使 |PF1|+|PF2|为最小 .(1)如图,连接 PF1,PF2,F1(-3,0),F2(3,0),作点 F2关于直线 l:y=x+9 的对称点 F2,则F2(-9,12),那么 F1F2与直线 l 的交点即为所求的点 P.易知 F1F2的方程为 2x+y+6=0.与直线 y=x+9 联立,得 P(-5,4).(2)由(1)知 2a=6 ,a=3 ,b 2=a2-c2=36,此时,椭圆的方程为 =1.
