1、- 1 -习题课-抛物线的综合问题及应用1.已知抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,过 F作倾斜角为 30的直线,与抛物线交于 A,B两点,若 (0,1),则 =( )A. B.C. D.解析:因为抛物线的焦点为 ,直线方程为 y= x+ ,与抛物线方程联立得 x2- px-p2=0,解方程得 xA=- p,xB= p,所以 .故选 C.答案:C2.设抛物线 y2=8x的准线与 x轴相交于点 Q,若过点 Q的直线与抛物线有公共点,则此直线的斜率的取值范围是( )A. B.-2,2C.-1,1 D.-4,4解析:准线 x=-2,Q(-2,0),设 y=k(x+2),由 得 k2x2+4(k
2、2-2)x+4k2=0,当 k=0时, x=0,即交点为(0,0);当 k0 时,由 0,得 -1 k0)上的两点, O为原点 .若 |OA|=|OB|, AOB的垂心恰为抛物线的焦点 F,则直线 AB的方程是( )A.x=p B.x=3pC.x= p D.x= p- 2 -解析:由抛物线的对称性,知 A,B两点关于 x轴对称 .设 A点坐标为( x1,y1),则 B点坐标为( x1,-y1).抛物线 y2=2px(p0)的焦点坐标为 F ,由 F是 AOB的垂心,知 AF OB,因此 kAFkOB=-1,即 =-1.由点 A在抛物线上,得 =2px1.将 代入 ,得 x1= ,故直线 AB的
3、方程为 x= p.答案:D4.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x=-1的距离相等 .若机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率为 k的直线,则 k的取值范围是 . 解析:依题意可知,机器人行进的轨迹方程为 y2=4x.设斜率为 k的直线方程为 y=k(x+1),联立消去 y,得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0.由 =(2k2-4)2-4k41,解得 k1.答案:( - ,-1)(1, + )5.已知过抛物线 y2=4x的焦点 F的直线交该抛物线于 A,B两点, |AF|=2,则 |BF|= . 解析:设点 A,B的横坐标分别是 x1,x2,则依题意有焦点
4、F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1=1,直线 AF的方程是 x=1,此时弦 AB为抛物线的通径,故 |BF|=|AF|=2.答案:26. 导学号 01844020 过点 P(2,2)作抛物线 y2=3x的弦 AB,恰被 P所平分,则 AB所在的直线方程为 . 解析:方法一:设以 P为中点的弦 AB端点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 =3x1,=3x2,x1+x2=4,y1+y2=4.- ,得( y1+y2)(y1-y2)=3(x1-x2).- 3 -将 代入 得 y1-y2= (x1-x2),即 ,k= . 所求弦 AB所在直线方程为 y-2= (x-2),即 3x-
5、4y+2=0.方法二:设弦 AB所在直线方程为 y=k(x-2)+2.由消去 x,得 ky2-3y-6k+6=0,此方程的两根就是线段端点 A,B两点的纵坐标,由韦达定理和中点坐标公式,得 y1+y2=,又 y1+y2=4,k= . 所求弦 AB所在直线方程为 3x-4y+2=0.答案:3 x-4y+2=07.已知 P,Q为抛物线 x2=2y上两点,点 P,Q的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A的纵坐标为 . 解析:由于 P,Q为抛物线 x2=2y,即 y= x2上的点,且横坐标分别为 4,-2,则 P(4,8),Q(-2,2),从而在点 P处的切
6、线斜率 k1=4.据点斜式,得曲线在点 P处的切线方程为 y-8=4(x-4);同理,曲线在点 Q处的切线方程为 y-2=-2(x+2).将这两个方程联立,解得交点 A的纵坐标为 -4.答案: -48. 导学号 01844021 抛物线的顶点在原点,以 x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135的直线,被抛物线所截得的弦长为 8,试求抛物线方程 .解如图所示,依题意设抛物线方程为 y2=2px(p0),则直线方程为 y=-x+ p.- 4 -设直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得 |AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ ,即 x1+ +
7、x2+ =8.又 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由 消去 y,得 x2-3px+ =0,x 1+x2=3p.将其代入 得 p=2, 所求抛物线方程为 y2=4x.当抛物线方程设为 y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为 y2=-4x.9. 导学号 01844022 如图,设点 A和 B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点,已知 OA OB,OM AB.求点 M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线 .解点 A,B在抛物线 y2=4px上设 A ,B ,OA,OB的斜率分别为 kOA,kOB,所以 kOA= ,kOB= ,由 OA OB,得 kOAkOB= =-1,又点 A在 AB上,得直线 AB方程为(yA+yB)(y-yA)=4p ,由 OM AB,得直线 OM方程为 y= x,设点 M(x,y),则 x,y满足 , 两式,将 式两边同时乘以 - ,并利用 式,可得 =-x2+ ,整理得 yAyB+(x2+y2)=0,由 式知, yAyB=-16p2,所以 x2+y2-4px=0,- 5 -因为 A,B是原点以外的两点,所以 x0.所以 M的轨迹是以(2 p,0)为圆心,以 2p为半径的圆去掉坐标原点 .
