1、- 1 -3.3 空间向量运算的坐标表示课后训练案巩固提升A组1.已知 a=(1,-5,6),b=(0,6,5),则 a与 b( )A.垂直 B.不垂直也不平行C.平行且同向 D.平行且反向解析:0 +(-5)6+65=0,故 ab .答案:A2.下列各组向量中,不平行的是( )A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)解析:选项 A中,b =-2a,所以 ab;选项 B中,d =-3c,所以 cd;选项 C中,0 与任何向量平行 .答案:D3.已知向
2、量 a=(1,3,3),b=(5,0,1),则 |a-b|等于( )A.7 B.C.3 D.解析: |a-b|=|(1,3,3)-(5,0,1)|=|(-4,3,2)|= .答案:B4.若向量 a=(1, ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为 ,则 = ( )A.1 B.-1 C.1 D.2解析: a=(1, ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为 ,又 ab=|a|b|cos,- 2+ 2= .= 1. ab= 0,= 1.答案:A5.已知三个力 F1=(1,2,1),F2=(-1,-2,3),F3=(2,2,-1),则这三个力的合力的坐标为( )A.(2,2,3)
3、 B.(0,0,0)C. D.0解析:F 1+F2+F3=(1,2,1)+(-1,-2,3)+(2,2,-1)=(2,2,3).答案:A6.已知点 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则 ABC的形状是( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析: =(5,1,-7), =(2,-3,1).- 2 -因为 =25-31-71=0,所以 .所以 ACB=90.又因为 | |=5 ,| |= ,即 | | | |,所以 ABC为直角三角形 .答案:C7.已知向量 a=(4-2m,m-1,m-1)与 b=(4,2-2m,2-2m)平行,则 m的值
4、等于 . 解析:当 m=1时,a =(2,0,0),b=(4,0,0),显然满足 ab;当 m1 时,则依 ab 则有=- ,解得 m=3.综上可知 m=1或 m=3.答案:1 或 38. 导学号 90074033 若 =(-4,6,-1), =(4,3,-2),|a|=1,且 a ,a ,则a= . 解析:设 a=(x,y,z),则有解此方程组得答案:9.已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求 |2a+b|.(2)在直线 AB上是否存在一点 E,使 b( O为原点)?若存在,求出点 E坐标;若不存在,说明理由 .解(1)
5、 2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),| 2a+b|= =5 .(2)假设存在这样的点 E,则 +t =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).若 b,则 b=0,即 -2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得 t= ,故存在点 E,使 b,此时 E点坐标为 .10.已知 a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,求:(1)a,b,c;(2)a+c与 b+c所成角的余弦值 .- 3 -解(1) ab, ,解得 x=2,y=-4,故 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又 b
6、c, bc=0,即 -6+8-z=0,解得 z=2,故 c=(3,-2,2).(2)由(1)可得 a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),设向量 a+c与 b+c所成的角为 ,则 cos = =- .B组1.长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AB=AA1=2,AD=1,E为 CC1的中点,则向量 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).所以 =(-1,0,2),=(-1,2,1),故 cos= .所以向量 所成角的余弦值为 .答案:B2.已知向量 a=(1,2,3),b=(x
7、,x2+y-2,y),并且 a,b同向,则 x,y的值分别为 . 解析:由题意知 ab,所以 ,即- 4 -把 代入 得 x2+x-2=0,(x+2)(x-1)=0,解得 x=-2,或 x=1,当 x=-2时, y=-6;当 x=1时, y=3.当 时,b =(-2,-4,-6)=-2a,两向量 a,b反向,不符合题意,所以舍去 .当 时,b =(1,2,3)=a,a与 b同向,所以答案:1,33.已知向量 a=(0,-1,1),b=(2,2,1),计算:(1)|2a-b|;(2)cos a,b;(3)2a-b在 a上的投影 .解(1) a=(0,-1,1),b=(2,2,1), 2a-b=2
8、(0,-1,1)-(2,2,1)=(-2,-4,1),| 2a-b|= .(2) a=(0,-1,1),b=(2,2,1), ab=(0,-1,1)(2,2,1)=-2+1=-1,|a|= ,|b|= =3, cos a,b = =- .(3) (2a-b)a=(-2,-4,1)(0,-1,1)=5, 2a-b在 a上的投影为 .4.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),求以 为邻边的平行四边形面积 .解 A (0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), =(-2,1,6)-(0,2,3)=(-2,-1,3),=(1,-1,5)-(0,2,3)=(
9、1,-3,2).| |= ,| |= ,- 5 -=(-2,-1,3)(1,-3,2)=-2+3+6=7. cos= , sin= .以 为邻边的平行四边形的面积S=| | |sin=7 .5.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a= ,b= .(1)若 |c|=3,c ,求 c;(2)若 ka+b与 ka-2b互相垂直,求 k.解(1) =(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2)且 c , 设 c= = (-2,-1,2)=(-2 ,- ,2 ).| c|= =3|= 3.解得 = 1, c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
10、(2) a= =(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),b= =(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2),k a+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),ka-2b=k(1,1,0)-2(-1,0,2)=(k+2,k,-4). (ka+b)( ka-2b), (ka+b)(ka-2b)=0,即( k-1,k,2)(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.解得 k=2或 k=- .6. 导学号 90074034 在 Rt ABC中, AC=BC=1, BCA=90.现将 ABC沿着与平面 ABC的垂直的方向平移到 A1B1C1的位置,已知 AA1=2
11、,分别取 A1B1,A1A的中点 P,Q.(1)求 的模;(2)求 cos ,cos , 并比较 与 的大小;(3)求证: AB1 C1P.解以 C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知得 C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P ,Q(1,0,1),B1(0,1,2),A1(1,0,2),- 6 -则 =(1,-1,1), =(0,1,2), =(1,-1,2),=(-1,1,2), .(1)| |= .(2) =0-1+2=1,| |= ,| |= , cos = .又 =0-1+4=3, ,| |= , cos = . 0 .(3)证明: =(-1,1,2) =0, ,即 AB1 C1P.- 7 -
