1、1河南省平顶山市卫东区 2019 年中考数学 3 月一模试题一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）11 的相反数是（ ）A1 B0 C1 D22我县人口约为 530060 人，用科学记数法可表示为（ ）A5300610 人 B5.300610 5人C5310 4人 D0.5310 6人3由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）A BC D4下列各运算中，计算正确的是（ ）A2 a3a6 a B（3 a2） 327 a6C a4a22 a D（ a+b） 2 a2+ab+b25据调查，某班 30 位同学所穿鞋子的尺码如下表所示：则该班这 30 位同学所穿鞋
2、子尺码的众数是（ ）码号/码 33 34 35 36 37人数 3 6 8 8 5A8 B35 C36 D35 和 366九章算术是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7元，少 4 元，问有多少人？该物品价几何？设有 x 人，物品价值 y 元，则所列方程组正确的是（ ）A BC D7关于 x 的一元二次方程 ax2+3x20 有两个不相等的实数根，则 a 的值可以是（ ）A0 B1 C2 D38如图，已知 AB DE， ABC75， CDE145，则 BCD 的值为（ ）2
3、A20 B30 C40 D709已知：如图，四边形 AOBC 是矩形，以 O 为坐标原点， OB、 OA 分别在 x 轴、 y 轴上，点 A 的坐标为（0，3）， OAB60，以 AB 为轴对折后， C 点落在 D 点处，则 D 点的坐标为（ ）A B C D10如图所示，菱形 ABCD 的边长为 5cm，高为 4cm，直线 l边 AB，并从点 A 出发以 1cm/s 的速度向右运动，若直线 l 在菱形 ABCD 内部截得的线段 MN 的长为 y（ cm），则下列最能反映 y（ cm）与运动时间 x（ s）之间的函数关系的图象是（ ）A BC D二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题
4、3 分）11 12将抛物线 y3 x26 x+4 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是 13袋中装有一个红球和二个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是 14如图，在 ABCD 中，以点 A 为圆心， AB 的长为半径的圆恰好与 CD 相切于点 C，交 AD 于点 E，交 BA 的延长线于点 F，若的长为 ，则图中阴影部分的面积为 15如图，折叠长方形纸片 ABCD，先折出对角线 BD，再将 AD 折叠到 BD 上，得到折痕 DE，点 A 的对应点是点 F，若 AB
5、8， BC6，则 AE 的长为 三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值：（ x+2y） 2（2 y+x）（2 y x）2 x2，其中 x+2， y217（9 分）“足球运球”是中考体育必考项目之一兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按 A， B， C， D 四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图（说明： A 级：8 分10 分， B 级：7 分7.9分， C 级：6 分6.9 分， D 级：1 分5.9 分）根据所给信息，解答以下问题：3（1）在扇形统计图中， C 对应的扇形的圆心角是 度；
6、（2）补全条形统计图；（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 等级；（4）该校九年级有 300 名学生，请估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有多少人？18（9 分）如图，在 O 中，直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，连结 AC，将 ACE 沿AC 翻转得到 ACF，直线 FC 与直线 AB 相交于点 G（1）求证： FG 是 O 的切线；（2）若 B 为 OG 的中点， CE，求 O 的半径长；（3）求证： CAG BCG；若 O 的面积为 4， GC2，求 GB 的长19（9 分）知识改变世界，科技改变生活导航装备的不断更新极大方便了人们的出行如图，某校组织学生乘车到黑龙
7、滩（用 C 表示）开展社会实践活动，车到达 A 地后，发现 C 地恰好在A 地的正北方向，且距离 A 地 13 千米，导航显示车辆应沿北偏东 60方向行驶至 B 地，再沿北偏西 37方向行驶一段距离才能到达 C 地，求 B、 C 两地的距离（参考数据：sin53，cos53，tan53）20（9 分）在一次军事演习中，红方侦查员发现蓝方的指挥部 P 设在 S 区到公路 a 与公路 b 的距离相等，并且到水井 M 与小树 N 的距离也相等，请你帮助侦查员在图上标出蓝方指挥部 P 的位置（不写作法，保留作图痕迹）21（10 分）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为 6 元件，该产品在正式
8、投放市场前通过代销点进行了为期 30 天的试销售，售价为 8 元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成如图所示的图象，图中的折线 ODE 表示日销售量 y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段 DE 表示的函数关系中，时间每增加 1 天，日销售量减少 5件（1）第 24 天的日销售量是 件，日销售利润是 元（2）求线段 DE 所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）通过计算说明试销售期间第几天的日销售量最大？最大日销售量是多少？422（10 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E， F 分别在边 AB， AD 上，且 ECF45， CF的延长
9、线交 BA 的延长线于点 G， CE 的延长线交 DA 的延长线于点 H，连接 AC， EF， GH（1）填空： AHC ACG；（填“”或“”或“”）（2）线段 AC， AG， AH 什么关系？请说明理由；（3）设 AE m， AGH 的面积 S 有变化吗？如果变化请求出 S 与 m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值请直接写出使 CGH 是等腰三角形的 m 值23（11 分）如图，抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和 B（3，0），与 y 轴交于点 C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线上在 x 轴下方的动点，过 M 作 MN y 轴交直线 BC 于
10、点 N，求线段 MN 的最大值；（3） E 是抛物线对称轴上一点， F 是抛物线上一点，是否存在以 A， B， E， F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由5参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数【解答】解：1 的相反数是 1故选： A【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数2【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可【解答】解：530060 是 6 位数，10 的指数应是 5，故选： B【点评】本题考查的是科学记数法的定义及表示方
11、法，熟知以上知识是解答此题的关键3【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选： D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图4【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解： A、原式6 a2，不符合题意；B、原式27 a6，符合题意；C、原式 a2，不符合题意；D、原式 a2+2ab+b2；不符合题意；故选： B【点评】本题考查了整式的混合运算，熟记法则是解题的关键5【分析】根据众数的定义（所有数据中出现次数最多的数据是众数）即可求得【解答】解：在这一组数据中 35 与 36 出现次数最多的，
12、故众数是 35 或 36故选： D【点评】此题考查了众数的知识题目比较简单，注意众数可以不是一个6【分析】根据题意可得等量关系：人数83物品价值；人数7+4物品价值，根据等量关系列出方程组即可【解答】解：设有 x 人，物品价值 y 元，由题意得：6，故选： C【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系7【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于 a 的不等式，可求得 a 的取值范围，则可求得答案【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+3x20 有两个不相等的实数根，0 且 a0，即 324 a（2）0 且 a0，解得 a1且 a0
13、，故选： B【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键8【分析】延长 ED 交 BC 于 F，根据平行线的性质求出 MFC B75，求出 FDC35，根据三角形外角性质得出 C MFC MDC，代入求出即可【解答】解：延长 ED 交 BC 于 F，如图所示： AB DE， ABC75， MFC B75， CDE145， FDC18014535， C MFC MDC753540，故选： C【点评】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出 MFC 的度数，注意：两直线平行，同位角相等9【分析】如图：作 DE x 轴于点 E，灵活运用三角函
14、数解直角三角形来求点 D 的坐标【解答】解：点 A 的坐标为（0，3）， OA3又 OAB60， OB OAtan OAB3， ABO30 BD BC OA37根据折叠的性质知 ABD ABC60， DBE30， DE BD， BE OE3， E（，）故选： A【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及折叠问题翻折前后对应角相等，对应边相等；注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解10【分析】根据题意可以分别得到各段 y 与 x 的函数解析式，从而可以解答本题【解答】解：点 M 从点 A 到点 D 的过程中， y x，（ x3），故选项 A、 B、 C 错误，当点 M 从 D 点使点
15、N 到点 B 的过程中， y4，（3 x5），点 M 到 C 的过程中， y x，（ x5），故选项 D 正确，故选： D【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，写出各段的函数解析式，明确函数的图象，利用数形结合的思想解答二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可求出值【解答】解：原式216+3213，故答案为：13【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键12【分析】先把 y3 x26 x+4 配方得到 y3（ x1） 2+1，则抛物线 y3 x26 x+4 的顶
16、点坐标为（1，1），然后把点（1，1）先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位即可得到新抛物线的顶点坐标【解答】解： y3 x26 x+43（ x1） 2+1，抛物线 y3 x26 x+4 的顶点坐标为（1，1），把点（1，1）先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得到点的坐标为（4，3），即新抛物线的顶点坐标为（4，3）故答案为（4，3）8【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式13【分
17、析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案注意此题属于放回实验【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有 9 种等可能结果，其中两次都摸到红球的有 1 种结果，所以两次都摸到红球的概率是，故答案为：【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验14【分析】连结 AC，如图，设半径为 r，先根据切线的性质得 ACD90，再根据平行四边形的性质得 AB CD，
18、AD BC，则 CAF90，1 B，23，利用 B3 易得1245，则根据弧长公式可得，解得 r4，然后根据扇形面积公式，利用 S 阴影部分 S ACD S 扇形 CAE进行计算即可【解答】解：连结 AC，如图，设半径为 r， AB 的长为半径的圆恰好与 CD 相切于点 C， AC CD， ACD90，四边形 ABCD 为平行四边形， AB CD， AD BC， CAF90，1 B，23，而 AB AC， B3，1245，的长为 ，解得 r4，9在 Rt ACD 中，245， AC CD4， S 阴影部分 S ACD S 扇形 CAE4482，故答案为：82【点评】本题考查了切线的性质：圆的切
19、线垂直于经过切点的半径也考查了平行四边形的性质和扇形的面积公式15【分析】先利用勾股定理求出 BD，再求出 DF、 BF，设 AE EF x，在 Rt BEF 中，由EB2 EF2+BF2，列出方程即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， A90， AB8， AD6， BD10， DEF 是由 DEA 翻折得到， DF AD6， BF4，设 AE EF x，在 Rt BEF 中， EB2 EF2+BF2，（8 x） 2 x2+42，解得 x3， AE3，故答案为 3【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理等知识，解题时，我们常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的
20、代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16【分析】利用完全平方公式、平方差公式展开并合并同类项，然后把 x、 y 的值代入进行计算即可得解【解答】解：原式 x2+4xy+4y2（4 y2 x2）2 x2 x2+4xy+4y24 y2+x22 x24 xy，10当 x+2， y2 时，原式4（+2）（2）4（34）4【点评】本题主要考查整式的混合运算化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式17【分析】（1）先根据 B 等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得 C
21、 等级人数，继而用 360乘以 C 等级人数所占比例即可得；（2）根据以上所求结果即可补全图形；（3）根据中位数的定义求解可得；（4）总人数乘以样本中 A 等级人数所占比例可得【解答】解：（1）总人数为 1845%40 人， C 等级人数为 40（4+18+5）13 人，则 C 对应的扇形的圆心角是 360117，故答案为：117；（2）补全条形图如下：（3）因为共有 40 个数据，其中位数是第 20、21 个数据的平均数，而第 20、21 个数据均落在B 等级，所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 B 等级，故答案为： B（4）估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有 30030
22、人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小18【分析】（1）连接 OC，由 OA OC 得 OAC OCA，根据折叠的性质得 OAC FAC， F AEC90，则 OCA FAC，于是可判断 OC AF，根据平行线的性质11得 OCG F90，然后根据切线的性质得直线 FC 与 O 相切；（2）首先证明 OBC 是等边三角形，在 Rt OCE 中，根据 OC2 OE2+CE2，构建方程即可解决问题；（3）根据等角的余角相等证明即可；利用圆的面积
23、公式求出 OB，由 GCB GAC，可得，由此构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：连接 OC，如图， OA OC， OAC OCA， ACE 沿 AC 翻折得到 ACF， OAC FAC， F AEC90， OCA FAC， OC AF， OCG F90， OC FG，直线 FC 与 O 相切；（2）解：连接 BC点 B 是 Rt OCG 斜边的中点， CB OG OB OC， OCB 是等边三角形，且 EC 是 OB 上的高，在 Rt OCE 中， OC2 OE2+CE2，即 OC2 OC2+（） 2， OC2，即 O 的半径为 2（3） OC OB， CBA OCB， CAG+ CB
24、A90， BCG+ BCO90， CAG BCG4 OB2，12 OB2，由可知： GCB GAC，即，解得 GB2【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用方程的思想思考问题，属于中考压轴题19【分析】作 BD AC，设 AD x，在 Rt ABD 中求得 BD x，在 Rt BCD 中求得 CD x，由AC AD+CD 建立关于 x 的方程，解之求得 x 的值，最后由 BC可得答案【解答】解：如图，作 BD AC 于点 D，则 BAD60、 DBC53，设 AD x，在
25、Rt ABD 中， BD ADtan BAD x，在 Rt BCD 中， CD BDtan DBC x x，由 AC AD+CD 可得 x+x13，解得： x3，则 BC x（43）205，即 BC 两地的距离为（205）千米【点评】此题考查了方向角问题此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解20【分析】作公路 a 与公路 b 的交角 AOB 的平分线 OC，连接 MN，作线段 MN 的中垂直平分线EF，两线的交点就是所求【解答】解：如图所示，作公路 a 与公路 b 的交角 AOB 的平分线 OC，连接 MN，作线段 MN 的中垂直平分线 EF，
26、EF 和 OC 的交点 P 就是所求的点【点评】本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的动手操作13能力和理解能力21【分析】（1）根据第 22 天销售了 340 件，结合时间每增加 1 天日销售量减少 5 件，即可求出第 24 天的日销售量，再根据日销售利润单件利润日销售量即可求出日销售利润；（2）根据第 22 天销售了 340 件，结合时间每增加 1 天日销售量减少 5 件，即可求出线段 DE 的函数关系式；（3）根据点（17，340）的坐标利用待定系数法即可求出线段 OD 的函数关系式，联立两函数关系式求出交点 D 的坐标，此题得解【解答】解：（1）340（24
27、22）5330（件），330（86）660（元）故答案为：330；660（2）线段 DE 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y3405（ x22）5 x+450；（3）设线段 OD 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx，将（17，340）代入 y kx 中，34017 k，解得： k20，线段 OD 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y20 x联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得，解得：，交点 D 的坐标为（18，360），点 D 的坐标为（18，360），试销售期间第 18 天的日销售量最大，最大日销售量是 360 件【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系
28、数法一次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求出 OD 的函数关系式以及依照数量关系找出 DE 的函数关系式22【分析】（1）证明 DAC AHC+ ACH45， ACH+ ACG45，即可推出 AHC ACG；（2）结论： AC2 AGAH只要证明 AHC ACG 即可解决问题；（3） AGH 的面积不变理由三角形的面积公式计算即可；分三种情形分别求解即可解决问题；14【解答】解：（1）四边形 ABCD 是正方形， AB CB CD DA4， D DAB90 DAC BAC45， AC4， DAC AHC+ ACH45， ACH+ ACG45， AHC ACG故答案为（2）结论： AC2
29、AGAH理由： AHC ACG， CAH CAG135， AHC ACG， AC2 AGAH（3） AGH 的面积不变理由： S AGH AHAG AC2（4） 216 AGH 的面积为 16如图 1 中，当 GC GH 时，易证 AHG BGC，可得 AG BC4， AH BG8， BC AH， AE AB如图 2 中，当 CH HG 时，易证 AH BC4， BC AH，1， AE BE2如图 3 中，当 CG CH 时，易证 ECB DCF22.515在 BC 上取一点 M，使得 BM BE， BME BEM45， BME MCE+ MEC， MCE MEC22.5， CM EM，设 B
30、M BE x，则 CM EM x， x+x4， m4（1）， AE44（1）84，综上所述，满足条件的 m 的值为或 2 或 84【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型23【分析】（1）由点 B、 C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点 M 的坐标以及直线 BC 的解析式，由点 B、 C 的坐标利用待定系数法即可求出直线 BC的解析式，结合点 M 的坐标即可得出点 N 的坐标，由此即可得出线段 MN 的长度关于 m 的函数关系式，再结合点 M 在 x 轴
31、下方可找出 m 的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）讨论：当以 AB 为对角线，利用 EA EB 和四边形 AFBE 为平行四边形得到四边形 AFBE 为菱形，则点 F 也在对称轴上，即 F 点为抛物线的顶点，所以 F 点坐标为（1，4）；当以 AB 为边时，根据平行四边形的性质得到 EF AB4，则可确定 F 的横坐标，然后代入抛物线解析式得到 F 点的纵坐标【解答】解：（1）将点 B（3，0）、 C（0，3）代入抛物线 y x2+bx+c 中，得：，解得：故抛物线的解析式为 y x24 x+3（2）设点 M 的坐标为（ m， m24 m+3），设直线 BC 的解析式为 y
32、 kx+3，把点 B（3，0）代入 y kx+3 中，得：03 k+3，解得： k1，直线 BC 的解析式为 y x+3 MN y 轴，点 N 的坐标为（ m， m+3）16抛物线的解析式为 y x24 x+3（ x2） 21，抛物线的对称轴为 x2，点（1，0）在抛物线的图象上，1 m3线段 MN m+3（ m24 m+3） m2+3m（ m） 2+，当 m时，线段 MN 取最大值，最大值为（3）存在点 F 的坐标为（2，1）或（0，3）或（4，3）当以 AB 为对角线，如图 1，四边形 AFBE 为平行四边形， EA EB，四边形 AFBE 为菱形，点 F 也在对称轴上，即 F 点为抛物线的顶点， F 点坐标为（2，1）；当以 AB 为边时，如图 2，四边形 AFBE 为平行四边形， EF AB2，即 F2E2， F1E2， F1的横坐标为 0， F2的横坐标为 4，对于 y x24 x+3，当 x0 时， y3；当 x4 时， y1616+33， F 点坐标为（0，3）或（4，3）综上所述， F 点坐标为（2，1）或（0，3）或（4，3）【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）注意分类思想的运用
