1、- 1 -株洲市 2018 届高三年级教学质量统一检测（二）理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ,集合 ,则 ( )A. 或 B. C. D. 【答案】D【解析】由 ， 可知，故选 D.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错2.设 为虚数单位， ，则实数
2、 ( )A. 2 B. 1 C. 0 D. -1【答案】C【解析】由 得： ，所以 ，故选 C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分3.九章算术是中国古代第一部数学专著，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。其书中的更相减损法的思路与右边的程序框图相似执行该程序框图，若输入的 分别为 12，15，则输出的 等于( )- 2 -A. 3 B. 4
3、 C. 6 D. 8【答案】A【解析】执行程序一次， ，执行第二次程序， ，第三次执行程序， ，第四次执行程序 后，因为 跳出循环，输出 ，故选A. 4.设函数 的图象在点 处切线的斜率为 ，则函数 的图象一部分可以是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：求出函数的导数，得到切线的斜率的函数的解析式，然后判断函数的图象即可详解：由 可得： 即 ，函数是奇函数，排除选项 B，D；- 3 -当 时， ，排除选项 C故选：A点睛：本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是基本知识的考查5.魔术师用来表演的六枚硬币 中，有 5 枚是真币，1 枚是魔术币，它们外形完全相同，但是魔术币
4、与真币的重量不同，现已知 和 共重 10 克， 共重 11 克， 共重 16 克，则可推断魔术币为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】5 枚真币重量相同，则任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可知，c，d 中一定有一个为假的，假设 c 为假币，则真硬币的重量为 5 克，则 c 的重量为 6 克，满足 a，c，e 共重 16 克，故假设成立，若 d 为假币，则真硬币的重量为 5 克，不满足 a，c，e 共重 16 克，故假设不成立，则 d 是真硬币，故选：C 6. 展开式中 的系数为( )A. 14 B. -14 C. 56 D. -56【答案】B【解析】从 的 7 个因式中两个取 其
5、余取 1 或者三个取 其余取 1，分别为含 的项，与相乘后合并同类项可得系数为 ，故选 B.7.在面积为 1 的正方形 中任意取一点 ，能使三角形 ， ， ，的面积都大于 的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知，当 P 点落在距离正方形各边距离为 的小正方形内时，能使三角形 ，- 4 -， ， 的面积都大于 ，根据几何概型概率公式知 ，故选 C.8.某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，高为 3，其一个侧面与底面垂直，且底面为等腰直角三角形，所以
6、球心在垂直底面的侧面的三角形高上，设球半径为 R，则 解得 ，所以球的表面积为 ，故选 A. 9.已知函数 , 其图象与直线 相邻两个交点的距离为 若对 恒成立，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为函数 , 其图象与直线 相邻两个交点的距离为 所以函数周期为 , ，由 知 ，又 时， 且- 5 -，所以 解得 ，故选 D.10.已知抛物线 上的两个动点 和 ，其中 且 .线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，则点 C 与圆 的位置关系为( )A. 圆上 B. 圆外 C. 圆内 D. 不能确定【答案】C【解析】由点差法：AB 的斜率 ，所以其中垂线斜率为 ，故 AB
7、的垂直平分线方程为 ，令 得 ，所以 ，所以在圆内，选 C.11.已知 ，若 恰有两个根 ,则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意 ，所以 ，从而 ，求导可得，当 时， ，当 时， ，所以函数在，所以选 D.点睛：判断函数零点问题，可以转化为方程的根或者两个函数的交点问题，特别是选择题、填空题，通过函数图像判断较简单。涉及至少、至多这类问题的证明可以考虑反证法，注意假设的结论是求证问题的反面，即原命题的非命题。12.有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料 ，其各棱长都为 2，已知分别为上，下底面的中心， 为 的中点，过 三点的截面把该木料截成两部分，则截面面
8、积为( )A. B. C. D. 2【答案】B- 6 -【解析】如图:连 延长交 于 M,易证 ,因为 为中心，所以 ，过 做 | ,则梯形 即为所求截面， , ,所以梯形的高，故梯形面积为 ，故选 B. 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 _【答案】5【解析】作出可行域如图：由 解得 ，由 得 ，平移直线 ，结合图象知，直线过点 A 时， ，故填 5.- 7 -14.在平行四边形 中， ， 为 的中点若 ，则 的为_【答案】12【解析】因为在平行四边形 中， ,又 ,所以，所以 ,所以 ，故填
9、 12. 15.已知 中， ，则过点 且以 为两焦点的双曲线的离心率为_【答案】【解析】由题意知， , ,所以 ，故填 .16.已知正 的中心为 ，边长为 ，且平面内一动点 满足 ，记的面积分别为 ，则 的最小值为_【答案】【解析】如图：- 8 -因为是正三角形，所以 的面积比为，因为 ,所以当 最小时， 有最小值，显然 AM 与圆相切时， 最小，计算可得， .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列 满足 .()求数列 的通项公式；()证明： .【答案】 ;见解析.【解析】试题分析：（1）根据递推关系可得出一个等差数列 ，进而
10、求出数列 的通项公式；（2）放缩 ，累加后相加相消即可证出.试题解析：由可知列 为等差数列，且首项为 ，公差为 2，故 - 9 - 依题可知 所以故点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误18.如图，在四棱锥 中， ，且 .()证明：平面 平面 ；()若 ,求二面角 的余弦值.【答案】见解析； .【解析】试题分析：（1）由 ,可证明 ，进而证出面面垂直；（2）取 的重点 ，建立如图所示的空间直角坐标系，令 ,则 ，
11、则，求出两个面的法向量，即可利用向量夹角公式求出.试题解析： ，所以 ,又 ，所以所以 ,又 ,故平面 平面 ；- 10 -取 的重点 ，建立如图所示的空间直角坐标系，令 ,则 ，则所以 令平面 的法向量为 ，则有 所以 令平面 的法向量为 ，则有 所以 ，则 ，故二面角 的余弦值为 19.在党的第十九次全国代表大会上，习近平总书记指出：“房子是用来住的，不是用来炒的” 为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区 50 户住户进行调查，各户人
12、平均月收入（单位：千元， ）的户数频率分布直方图如下图：其中，赞成限购的户数如下表：人平均月收- 11 -入赞成户数 4 9 12 6 3 1(1)求人平均月收入在 的户数，若从他们中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；(2)求所抽取的 50 户的人平均月收入的平均数；(3)若将小区人平均月收入不低于 7 千元的住户称为“高收入户” ，人平均月收入低于 7 千元的住户称为“非高收入户” 根据已知条件完成如图所给的 列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.非高收入户 高收入户 总计赞成不赞成总计附：临界值表0.15 0
13、.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式： .【答案】(1) ；(2)6.4 千元；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据均值公式计算即可；（2）住户共有 8 户，赞成楼市限购令的有 4 户，- 12 -从中随机抽取两户，随机变量的取值可能为 0,1,2，分别计算其概率即可；（3）根据卡方公式计算即可得出结论.试题解析：（1） 千元(1)由直方图知：月收入在 的住户共有 8 户，赞成楼市限购令的有 4 户，从中随机抽取两户，设 为赞成楼市限购令的用户数.则 所以 的分布列
14、为：0 1 2P（3）依题意， 列联表如下非高收入户 高收入户 总计赞成 25 10 35赞成 5 10 15总计 30 20 50所以不能在犯错误的概率不超过 的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.- 13 -20.在平面直角坐标系中，已知 为椭圆 的左焦点，且椭圆过 .()求椭圆 的方程；() 是否存在平行四边形 ，同时满足下列两个条件：点 在直线 上；点 在椭圆 上且直线 的斜率等于 1.如果存在，求出 点坐标；如果不存在，说明理由.【答案】() .（）见解析.【解析】试题分析：（1）根据 c 及椭圆过点 ，即可求出 a,b,写出椭圆的标准方程；（2）假设存在，设直线 的方
15、程为 ，联立椭圆方程后，可计算 C 点的纵坐标，又 C 点在椭圆上，根据椭圆范围知 ，矛盾.试题解析：()由题意得： 所以 ，椭圆 的方程为 .（）不存在满足题意的平行四边形 ， 理由如下： 假设存在满足题意的平行四边形 .设直线 的方程为 ， ， ，线段 的中点 ，点 . 由 得 . 由 ，解得 因为 ， 所以 . 因为 四边形 为平行四边形，所以 是 的中点.- 14 -所以 点的纵坐标 . 因为 点 在椭圆 上，所以 .这与 矛盾. 所以 不存在满足题意的平行四边形 .点睛：求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立 的方程，求出 即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自
16、己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出 ，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用21.设函数 ，其中 为实常数，其图像与 轴交于 两点，且 .（I） 求 的取值范围；（II）设 ，证明： .【答案】(1) 见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数导数后，通过分类讨论，分析函数单调性，结合函数零点个数，得出 a 的范围；（2）先计算 ，利用分析法证明结论.试题解析：(1) 若最多一个交点，与题意矛盾。若 ，所以又函数图像与 x 轴有两个交点，则 ，又 ，当 故 - 1
17、5 -(2)由题可知所以要证 ，则只需要证，下面证明： ，令则上式可化简为 ， 则所以 ，而 ，所以故 ，即 .点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标
18、系 中，曲线 的参数方程为： ,以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1) 若把曲线 上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到曲线 ，求 的极坐标方程；(2) 直线 的极坐标方程是 ,与曲线 交于 两点，求三角形 的面积.【答案】(1) ；(2) .【解析】- 16 -试题分析：（1）根据坐标变换得到曲线 ，利用极坐标转换公式即可写出极坐标方程；（2）转化为直角坐标系方程后，联立方程组，解出点的坐标，计算即可.试题解析：（1）设曲线 上任意一点 经过坐标变化后得到 ，依题意：所以： 故曲线 的标准方程为 ，极坐标方程为： (2)（法一）直线 与曲线 的交点为 ，则 的极坐标满足方程组：解之得： 、 ，（法二）直线 与曲线 C1的交点为 ，则 A、 B 的直角坐标满足方程组：联立方程可得: 、 ,所以 边上的高为 ，23.已知函数(1)当 时，求该函数的最小值；(2) 解不等式： .【答案】(1)3；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据绝对值不等式的性质即可求出函数最小值；（2）分区间讨论，去掉绝对值号，即可解出不等式；试题解析：（1）当 时， ，即：- 17 -（1）当 时， （2）当 时，当 ，不等式可化为： ，则当 ，不等式可化为： ，无解当 ，不等式可化为： ，则综上可知，不等式的解集为：当 时， ；当 时， .- 18 -
