1、9 三角函数的简单应用,解答三角函数应用题的基本步骤 解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、回归实际问题. 1.审题:审题是解题的基础,它包括阅读理解、翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型,有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时,在阅读过程中,注意挖掘一些隐含条件. 2.建模:在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,建立三角函数模型.这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成
2、了纯数学问题. 3.解模:运用三角函数的有关公式进行推理、运算,使问题得到解决.,4.回归实际问题:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此,对于解出的结果要代入原问题中进行检验.,【做一做1】如图是一简谐振动的图像,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 解析:由题中图像可知,振幅为5 cm. 答案:B,【做一做2】 电流I(单位:A)随时间(单位:s)变化的函数关系I=Asin(t+)的图像如图所示,则当t= s时的电
3、流为 A.,答案:0,探究一,探究二,探究三,已知三角函数解析式解决实际问题 【例1】 心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160t,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题: (1)求函数p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数p(t)的草图; (4)求出此人的血压在血压计上的读数. 思路分析:函数解析式已知,可根据周期公式以及周期与频率的关系解决(1)(2),可用五点作图
4、法解决(3),由函数解析式或图像得出函数的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数.,探究一,探究二,探究三,描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:,(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.,探究一,探究二,探究三,反思感悟在日常生活中,呈周期变化的现象,可利用三角函数模型y=Asin(x+)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决相关问题.,探究一,探究二,探究三,变式训练1某地昆虫种群数量在七月份113日的变化如图所示,且满足y=Asin(t+)+b(0,0).(1)根据图中数据求函数解析式; (2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就
5、出现一个低谷或一个高峰?,探究一,探究二,探究三,解:(1)由图像可知ymax=900,ymin=700, 且A+b=ymax,-A+b=ymin,探究一,探究二,探究三,已知函数模型确定函数解析式 【例2】 如图,大风车叶轮的最高顶点离地面14.5 m,叶轮旋转所成圆的直径为14 m,风叶轮以每分旋转2周的速度匀速转动,叶轮顶点从离地面最低点经15 s后到达最高点,假设叶轮顶点离地面高度y(单位:m)与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=asin(t-b)+c来表示,试求出其中四个参数a,b,c,的值,并写出函数解析式.,探究一,探究二,探究三,思路分析
6、:y=asin(t+)与圆周运动等物理现象有着密切的关系,体现了数学与物理在内容上的互相渗透.根据风叶轮每分旋转2周,点求出振幅a及b的值,最后确定c的值.,叶轮旋转所成圆的直径为14 m,叶轮应该在离圆心上下、左右7 m范围内变化,即函数振幅a=7. 根据叶轮顶点从离地面最低,经15 s后到达最高位置,探究一,探究二,探究三,反思感悟求y=Asin(x+)+b的解析式时,一定要清楚影响A,点来求,当已知A,b求出后,也可以根据相位对应法列出方程组求,的值.,探究一,探究二,探究三,变式训练2右图为某地一天从6时到14时的温度变化曲线,其图像近似满足函数y=Asin(x+)+b(A0,0).(
7、1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的一个函数解析式; (3)请预测16时的温度.,探究一,探究二,探究三,解:(1)由题图知,这段时间的最大温差是30-10=20(). (2)题图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的半个周期的图像.,(3)根据(2)中得出的解析式知,当x=16时,y=20+5 27,即16时的温度约为27 .,探究一,探究二,探究三,建立三角函数模型解决实际问题 【例3】如图为一辆观览车示意图,该观览车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角到OB,设B点与
8、地面的距离为h.,(1)求h与之间的函数解析式; (2)设从OA开始转动,经过t s到达OB,求h与t之间的函数解析式. 思路分析:(1)正确地作出辅线,将距离h灵活地拆分成两部分,最后归结为关于的函数式. (2)注意在该模型中角速度是函数式中的.,探究一,探究二,探究三,解:(1)由题意作图,如图所示,过点O作与地面平行的线段ON交O于点N,过点B作ON的垂线BM,交ON于点M,探究一,探究二,探究三,反思感悟1.解决实际问题时,主要是把实际问题数学化,把有关的数据合理地进行转化,注意最后一定回归到实际问题. 2.对于本题中的关键是结合观览车的图形特点将h用含的代数式表达出来.,1,2,3,
9、4,答案:B,1,2,3,4,2.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为s=6sin ,则单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.2 s B. s C.0.5 s D.1 s,答案:D,1,2,3,4,3.如图所示,某海湾相对于平均海平面的水面高度h(单位:米)在某天24时内的变化情况,则水面高度h关于从夜间零时开始的时间t的函数关系式为 .,1,2,3,4,4.在波士顿,估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)=+12,其中t表示某天的序号,t=0表示1月1日,以此类推. (1)问哪一天白昼最长?哪一天最短? (2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时?,
