1、7 向量应用举例,一,二,三,四,一、直线的法向量 1.一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量,一条直线的法向量有无数个. 2.直线l:Ax+By+C=0(A2+B20)的一个方向向量是(B,-A),它的一个法向量是(A,B). 【做一做1】 若直线l方程为3x-4y+1=0,则其单位法向量是 .,一,二,三,四,二、点到直线的距离公式推导过程,【做一做2】 点A(2,4)到直线y=2x-1的距离为 .,一,二,三,四,三、向量在平面几何中的应用,一,二,三,四,【做一做3】 点P是ABC所在平面内一点,若 ,其中R,则点P一定在( ) A.ABC内部 B.AC边所在的直线上 C
2、.AB边所在的直线上 D.BC边所在的直线上,P,A,C三点共线, 点P一定在AC边所在的直线上. 答案:B,一,二,三,四,四、向量方法在物理中的应用 1.力、速度、加速度、位移都是向量. 2.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的线性运算,运动的叠加也用到了向量的合成. 3.功即是力F与所产生位移s的数量积.,一,二,三,四,【做一做4】 下图是用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10N,则每根绳子的拉力大小是 . 解析:因为绳子等长,所以每根绳子的拉力和合力所成的角都相等,都等于60,故每根绳子的拉力都是10 N. 答案:10N,一,二,三,四,思考辨析 判断
3、下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)直线l:Ax+By+C=0的方向向量为(A,B),法向量为(B,-A). ( ),答案:(1) (2),探究一,探究二,探究三,点到直线距离公式的应用 【例1】 点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为 ,则点P坐标为( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2),解析:设P(a,5-3a),|2a-3|=1. a=2或a=1. 点P坐标为(2,-1)或(1,2). 答案:C,探究一,探究二,探究三,反思感悟求点到直线的距离一般先把直线化成一般式:Ax
4、+By+C=0,利用公式d= 求出点M(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离,两平行线间的距离常转化为点到直线的距离去求.,探究一,探究二,探究三,变式训练1已知两条平行直线l1:12x+5y-3=0和l2:12x+5y+m=0的距离为1,则m=( ) A.10 B.-16 C.10或-16 D.13,解得m=10或m=-16. 答案:C,探究一,探究二,探究三,向量在平面几何中的应用 【例2】 在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点.求证:AFDE.,证明:(方法一)建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形ABCD的边长为2,探究一,探究二,探究三,(方法二)设正方形边长为1,
5、探究一,探究二,探究三,反思感悟 用向量证明平面几何问题的方法 用向量证明平面几何问题的方法,常见思路有两种. (1)向量的线性运算法: 选取基底把待证问题用基底线性表示利用向量的线性运算或数量积找相应关系把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法: 建立适当的平面直角坐标系把相关向量坐标化向量的坐标运算找相应关系把向量问题几何化,探究一,探究二,探究三,变式训练2已知点O是ABC所在平面内一点,且满足,a2+(c-b)2=b2+(a-c)2=c2+(b-a)2. cb=ac=ba,探究一,探究二,探究三,向量在物理中的应用 【例3】 如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,
6、绳子与铅垂方向的夹角为,绳子所受到的拉力为F1.求:(1)|F1|,|F2|随角的变化而变化的情况; (2)当|F1|2|G|时,角的范围.,探究一,探究二,探究三,思路分析:力的合成就是向量的加法,先要画出物体的受力分析图. 解:画出物体的受力分析图如图. (1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,得,090, 060, 角的范围是060. 反思感悟用向量知识解决的实际问题,一般难度较大.解题时既要把问题转化为向量,又要注意到向量与实际问题的不同.得到的向量结论与实际结论也可能有所区别.,探究一,探究二,探究三,变式训练3如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏
7、东45的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30;|F2|=4 N,方向为北偏东60;|F3|=6 N,方向为北偏西30,求合力F所做的功.,探究一,探究二,探究三,1,2,3,4,5,6,1.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为( ),答案:B,1,2,3,4,5,6,A.不共线 B.平行 C.相交 D.以上均不对,答案:B,1,2,3,4,5,6,3.已知作用在A点的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为( ) A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0)
8、 D.(0,9) 解析:F=F1+F2+F3=(8,0).起点坐标为A(1,1), 终点坐标为(9,1).故选A. 答案:A,1,2,3,4,5,6,4.过点A(2,-3),且与向量m=(4,-3)垂直的直线方程为 . 解析:由题设直线方程为4x-3y+c=0,点A(2,-3)在直线上,c=-17. 答案:4x-3y-17=0,1,2,3,4,5,6,5.一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m,若纤绳与行进方向的夹角为 ,人的拉力为50 N,则纤夫对船所做的功为 .,1,2,3,4,5,6,6.如图,已知AC,BD是梯形ABCD的对角线,E,F分别是BD,AC的中点.求证:EFBC.,连接BF,F是AC的中点,1,2,3,4,5,6,
