1、3 向量的坐标表示和空间向量基本定理,3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示,一,二,思考辨析,一、空间向量的标准正交分解与坐标表示,一,二,思考辨析,名师点拨1.在空间选一点O和一组单位正交基i,j,k.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫坐标轴.这样我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz,其中点O叫原点,向量i,j,k都叫坐标向量,经过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,它们分别是xOy平面,xOz平面,yOz平面. 2.在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任一点A,对应一个向量 ,若 =xi+yj+zk,则有序数组(x,y,z)叫作点A在
2、此空间直角坐标系中的坐标,记为A(x,y,z),其中x叫点A的横坐标,y叫点A的纵坐标,z叫点A的竖坐标.写点的坐标时,三个坐标之间的顺序不能颠倒.,一,二,思考辨析,【做一做1】如图,建立空间直角坐标系,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点,则 的坐标分别为 , .,一,二,思考辨析,二、投影,一,二,思考辨析,名师点拨ab0=|a|cos是一个可正可负的实数,它的符号代表向量a与b的方向相对关系,大小代表在b上投影的长度.,一,二,思考辨析,【做一做2】 已知a=(1,0,-1),b=(1, ,0),则向量a在向量b上的投影为 .,解
3、析:向量a在向量b上的投影为,一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)写向量的坐标时,三个实数之间的顺序可以颠倒. ( ) (2)在同一空间直角坐标系中,某一向量的坐标是唯一确定的. ( ) (3)在同一空间直角坐标系中,随着向量a的平移,坐标也随之发生变化. ( ) (4)向量a在向量b上的投影是一个正数. ( ),探究一,探究二,思维辨析,向量的坐标表示 【例1】 如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=3,AD=4,AA=6. (1)写出点C的坐标,给出 关于i,j,k的分解式(其中i,j,k分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量);
4、,思维点拨:点C的坐标的确定方法:过点C作平面xOy的垂线,垂足为C,过点C分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点D,B,则x=|CB|,y=|DC|,z=|CC|. 所以C(x,y,z).,探究一,探究二,思维辨析,解:(1)因为AB=3,AD=4,AA=6, 所以点C的坐标为(4,3,6).,反思感悟空间向量的坐标表示的方法与步骤,探究一,探究二,思维辨析,变式训练1已知在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,底面边长和高都是2,E,F分别是侧棱PA,PB的中点,分别按照下列要求建立空间直角坐标系,写出点A,B,C,D,P,E,F的坐标. (1)如图,以O为坐标原点,分别以射线DA,DC,O
5、P的指向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系;,(2)如图,以O为坐标原点,分别以射线OA,OB,OP的指向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.,探究一,探究二,思维辨析,解:设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位向量. (1)因为点B在坐标平面xOy内,且底面正方形的中心为O,边长为2,故所求各点的坐标分别为A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2),E,探究一,探究二,思维辨析,(2)因为底面正方形ABCD的中心为O,边长为2,探究一,探究二,思维辨析,向量a在向量b上的投影 【例2】如图,已知
6、单位正方体ABCD-ABCD.求:,思维点拨:|a|cos就是向量a在向量b上的投影.,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟求一个向量在另一个向量上的投影,一定要用好投影的定义,同时要找对两个向量的夹角,这也是容易出错的地方.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,建立空间直角坐标系不当致误 【典例】 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系,则 的坐标分别为 , .,易错分析:写向量的坐标前,应先建立空间直角坐标系,本题若以A为原点,分别以 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系是错误的,因为AB与AC是不
7、垂直的.,正解:分别取BC,B1C1的中点D,D1,以D为原点,分别以 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得在解题时,建立空间直角坐标系是关键,解题中建立的坐标系可以不同,但都必须符合空间直角坐标系的要求.,1 2 3 4 5,1.下列命题中,正确的命题是( ) 在空间直角坐标系中,i,j,k分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,则i,j,k叫标准正交基; 在空间直角坐标系O-xyz中,点P的坐标为(x,y,z),则 =(x,y,z); ab的几何意义是a在b方向上的投影与|b|的乘积; ab的几何意义是b在a方向上的投影与|a|的乘积. A. B. C. D. 答案:D,1 2 3 4 5,A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.不能确定,答案:C,1 2 3 4 5,3.如图,在直角坐标系中的正方体ABCD-ABCD中,AB=2,则点C的,解析:AB=2,点C的坐标为(2,2,2).,1 2 3 4 5,解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=A1A=2,1 2 3 4 5,5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心,若正方体的棱长为1,以O为坐标原点建立,解:以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 正方体的棱长为1,
