1、13.2.2 函数模型的应用实例课后篇巩固提升基础巩固1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点解析 由题图知甲所用时间短, 甲先到达终点 .答案 D2.下列函数中,随着 x 的增长,函数值增长最快的是( )A.y=50 B.y=1 000xC.y=0.42x-1 D.y= ln x11 000解析 画出函数图象(图略),观察可知指数函数模型的函数值增长最快 .答案 C3.用长度为 24 m 的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度
2、为( )A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m解析 设隔墙长为 x m,则矩形场地长为 =(12-2x)m.所以矩形面积为 S=x(12-2x)=-2x2+12x=-24-4x22(x-3)2+18,即当 x=3 m 时,矩形面积最大 .答案 A4.某商品价格前两年每年递增 20%,后两年每年递减 20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是 ( )A.升高 7.84% B.降低 7.84%C.降低 9.5% D.不增不减解析 设该商品原价为 a,四年后的价格为a(1+0.2)2(1-0.2)2=0.921 6a. (1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即比原来
3、降低 7.84%.答案 B5.某汽车在同一时间内速度 v(单位:km/h)与耗油量 Q(单位:L)之间有近似的函数关系 Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h 时,汽车的耗油量最少 . 2解析 Q=0.002 5v2-0.175v+4.27=0.002 5(v2-70v)+4.27=0.002 5(v-35)2-352+4.27=0.002 5(v-35)2+1.207 5.故 v=35 km/h 时,耗油量最少 .答案 356.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障
4、交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过 小时才能开车(结果精确到 1 小时,参考数据 lg 20 .30,lg 30 .48). 解析 设经过 n 小时后才能开车,此时酒精含量为 0.3(1-25%)n.根据题意,有 0.3(1-25%)n0 .2,则有 nlg =n(lg 3-2lg 2)lg =lg 2-lg 3,34 23将已知数据代入,得 n(0.48-0.60)0 .30-0.48,n ,故至少要经过 2 小时才能开车 .32答案 27.一个水池有 2 个进水口,1 个出水口 .2 个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出
5、水口的排水速度如图丙所示 .某天 0 时到 6 时,该水池的蓄水量如图丁所示 .给出以下 3 个论断: 0 时到 3 时只进水不出水; 3 时到 4 时不进水只出水; 4 时到 6 时不进水不出水 .其中,一定正确的论断序号是 . 解析 从 0 时到 3 时,2 个进水口的进水量为 9,故 正确;由排水速度知 正确;4 时到 6 时可以是不进水,不出水,也可以是开 1 个进水口(速度快的)、1 个排水口,故 不正确 .答案 8.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方成正比 .3(1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为 3 cm 的管道
6、中的流量速率为 400 cm3/s,求该气体通过半径为 r cm 的管道时,其流量速率 R 的解析式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5 cm,计算该气体的流量速率 .解 (1)由题意,得 R=kr4(k 是大于 0 的常数) .(2)由 r=3 cm,R=400 cm3/s,得 k34=400,解得 k= ,所以函数解析式为 R= r4.40081 40081(3)因为 R= r4,40081所以当 r=5 cm 时, R= 543 086(cm 3/s),40081即该气体的流量速率约为 3 086 cm3/s.9.如图所示,已知边长为 8 m 的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中
7、AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这块钢板,将在五边形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM,使点 P 在边 DE 上 .(1)设 MP=x m,PN=y m,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形 BNPM 面积的最大值 .解 (1)如图所示,延长 NP 交 AF 于点 Q,则 PQ=8-y,EQ=x-4.在 EDF 中, ,EQPQ=EFFD .x-48-y=42y=- x+10,定义域为4,8 .12(2)设矩形 BNPM 的面积为 S,则 S=xy=x =- (x-10)2+50.(10-x2) 124又 x4,8,所以当 x=8 时, S 取最大值
8、 48.所以当 MP=8 m 时,矩形 BNPM 的面积取得最大值,且为 48 m2.10.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后, y 与 t 的函数解析式为 y= (a 为常数),如图所示 .(18)t-a(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到 0.125 毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过
9、多长时间,病人才能清醒过来?解 (1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量 y(毫克)是关于时间 t(小时)的一个分段函数:当 0 t0 .1 时,函数的图象是一条经过 O(0,0)的线段,设其方程为 y=kt(k 为待定系数),又因为 A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点 A 的坐标得 k=10,所以当 0 t0 .1 时, y=10t.当 t0.1 时,函数解析式为 y= ,(18)t-a而 A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1 = ,所以有 0.1-a=0,解得 a=0.1.(18)0.1-a故当 t0.1 时, y= .(18)t-0.1综上,血液中麻醉剂的含量
10、 y(毫克)与时间 t(小时)之间的解析式为 y=10t,0 t 0.1,(18)t-0.1,t0.1.(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到 0.125 毫克以下,此时 t0.1,且y0 .125= .18当 t0.1 时,由 ,得 t-0.11,(18)t-0.1 18解得 t1 .1.所以至少需要经过 1.1 小时后病人才能清醒 .能力提升51.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量 y(单位:只)与引入时间 x(单位:年)的关系为 y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100 只,则第 7 年它们发展到(
11、 )A.300 只 B.400 只 C.600 只 D.700 只解析 将 x=1,y=100 代入 y=alog2(x+1)得,100 =alog2(1+1),解得 a=100,所以当 x=7 时,y=100log2(7+1)=300.答案 A2.某工厂生产某产品 x 吨所需费用为 P 元,而卖出 x 吨的价格为每吨 Q 元,已知 P=1 000+5x+ x2,Q=a+ ,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为 150 吨时利润最大,此时每吨的价格为110 xb40 元,则有( )A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-30解析 设生产
12、 x 吨产品全部卖出所获利润为 y 元,则y=xQ-P=x(a+xb)-(1 000+5x+110x2)= x2+(a-5)x-1 000,其中 x(0, + ).(1b-110)由题意知当 x=150 时, y 取最大值,此时 Q=40. 整理得- a-52(1b-110)=150,a+150b=40, a=35-300b,a=40-150b,解得 a=45,b= -30.答案 A3.如图,点 P 在边长为 1 的正方形边上运动,设 M 是 CD 的中点,则当 P 沿 A-B-C-M 运动时,点 P 经过的路程 x 与 APM 的面积 y 之间的函数 y=f(x)的图象大致是( )解析 依题
13、意,当 00,a1)与 y=p +q(p0)可供选择 .x12(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积 10 倍以上的最小月份 .(参考数据:lg 20 .301 0,lg 30 .477 1)分析 (1)先判断两个函数 y=kax(k0,a1),y=p +q(p0)在 (0,+ )上的单调性,说明函数模型x12y=kax(k0,a1)适合要求,然后列出方程组,求解析式 .(2)利用 x=0 时, y= 0= ,即元旦放入凤眼莲的面积是 m2,列出不等式转化求解 .323 32 323 323解 (1)两个函数 y=kax(k0,a1),y=p
14、 +q(p0)在(0, + )上都是增函数,随着 x 的增加,函数x12y=kax(k0,a1)的值增加的越来越快,而函数 y=p +q(p0)的值增加的越来越慢 .x12由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型 y=kax(k0,a1)适合要求 .由题意可知, x=2 时, y=24;x=3 时, y=36,所以 解得ka2=24,ka3=36, k=323,a=32,所以该函数模型的解析式是 y= x(xN *).323 32(2)x=0 时, y= 0= ,323 32 323所以元旦放入凤眼莲的面积是 m2.3239由 x10 ,得 x10,323 32 323 32所以 xlo 10= .g32 lg10lg 32= 1lg3-lg2因为 5 .7,1lg3-lg2 10.477 1-0.301 0所以 x6,所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份是 6 月份 .10
