1、1第 28 章 锐角三角函数单元测试卷一选择题（共 10 小题）1Rt ABC 中， C90，cos A ， AC6 cm，那么 BC 等于（ ）A8 cm B cm C cm D cm2已知 cos Asin80，则锐角 A 的取值范围是（ ）A60 A80 B30 A80 C10 A60 D10 A303在 Rt ABC 中， C90，若 sinA ，则 cosA 的值为（ ）A B C D4在 Rt ABC 中， C90，sin B ，则 tanA 的值为（ ）A B C D5在 ABC 中， C90， ，则 B 为（ ）A30 B45 C60 D906计算 sin20cos20的值是（
2、保留四位有效数字）（ ）A0.5976 B0.5976 C0.5977 D0.59777在 Rt ABC 中， C90，cos A ， AC ，则 BC 等于（ ）A B1 C2 D38如图，为了测量河岸 A， B 两点的距离，在与 AB 垂直的方向上取点 C，测得AC a， ABC，那么 AB 等于（ ）A asin B acos C atan D9如图，一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶 13 米，已知 cos ，则小车上升的高度是（ ）2A5 米 B6 米 C6.5 米 D12 米10如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为
3、60，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡 CD 的长度为 20m， DE 的长为 10m，则树 AB 的高度是（ ） mA20 B30 C30 D40二填空题（共 5 小题）11如图， ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 tanA 的值为 12有四个命题：若 45 a90，则 sinacos a；已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；已知 x1， x2是关于 x 的方程 2x2+px+p+10 的两根，则 x1+x2+x1x2的值是负数；某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过 2 小时它由 1 个分裂为 16 个其中正确命题的序号是 （注：把所有正确命题
4、的序号都填上）13若 090， ，则 sin 14在 ABC 中， C90，sin A ，则 tanB 15已知 为锐角，且 sin（10） ，则 等于 度三解答题（共 6 小题）316如图，在 Rt ABC 中， C90， AC BC6，点 D 为 AC 中点，点 E 为边 AB 上一动点，点 F为射线 BC 上一动点，且 FDE90（1）当 DF AB 时，连接 EF，求 DEF 的余切值；（2）当点 F 在线段 BC 上时，设 AE x， BF y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）连接 CE，若 CDE 为等腰三角形，求 BF 的长17下列关系式是否成立（0
5、90），请说明理由（1）sin+cos1；（2）sin22sin18计算：tan 2602sin30 cos4519如图， ABC 中， ACB90，sin A ， BC8， D 是 AB 中点，过点 B 作直线 CD 的垂线，垂足为点 E（1）求线段 CD 的长；（2）求 cos ABE 的值20随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入如图，地面所在的直线 ME 与楼顶所在的直线 AC 是平行的，CD 的厚度为 0.5m，求出汽车通过坡道口的限高
6、 DF 的长（结果精确到 0.1m，sin280.47，cos280.88，tan280.53）4212013 年 9 月 23 日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）已知山坡的坡角 AEF23，量得树干的倾斜角为 BAC38，大树被折断部分和坡面所成的角 ADC60， AD3 m（1）求 DAC 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度（结果保留根号）52019 年人教版九下数学第 28 章 锐角三角函数单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1Rt ABC 中，
7、C90，cos A ， AC6 cm，那么 BC 等于（ ）A8 cm B cm C cm D cm【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解【解答】解：在 Rt ABC 中， C90，cos A ， AC6 cm， AB10 cm， BC 8 cm故选： A【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，同时考查了勾股定理2已知 cos Asin80，则锐角 A 的取值范围是（ ）A60 A80 B30 A80 C10 A60 D10 A30【分析】首先明确 cos30 ，sin80cos10，再根据余弦函数随角增大而减小，进行
8、分析【解答】解：cos30 ，sin80cos10，余弦函数随角增大而减小，10 A30故选： D【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值3在 Rt ABC 中， C90，若 sinA ，则 cosA 的值为（ ）A B C D【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是 1，即可求解【解答】解：sin 2A+cos2A1，即（ ） 2+cos2A1，6cos 2A ，cos A 或 （舍去），cos A 故选： D【点评】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一
9、锐角 ，都有 sin2+cos 214在 Rt ABC 中， C90，sin B ，则 tanA 的值为（ ）A B C D【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得 A 的余弦，根据同角三角函数的关系，可得 A 的正弦， A 的正切【解答】解：由 Rt ABC 中， C90，sin B ，得cosAsin B 由 sin2A+cos2A1，得 sinA ，tanA 故选： D【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦得出 A 的余弦是解题关键5在 ABC 中， C90， ，则 B 为（ ）A30 B45 C60 D90【分析】根据 60角的正弦值等于 解答
10、【解答】解：sin60 ， B60故选： C【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记 30、45、60的三角函数值是解题的关7键6计算 sin20cos20的值是（保留四位有效数字）（ ）A0.5976 B0.5976 C0.5977 D0.5977【分析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数【解答】解：按 MODE，出现： DEG，按 sin20cos20，后，显示：0.597 7故选： C【点评】本题考查了熟练应用计算器的能力7在 Rt ABC 中， C90，cos A ， AC ，则 BC 等于（ ）A B1 C2 D3【分析】根据题意画出
11、图形，利用勾股定理求出 BC 的长【解答】解：如图：cos A ， ，又 AC ， BC 1故选： B【点评】本题主要考查了解直角三角形，画出图形并利用勾股定理和三角函数是解题的关键8如图，为了测量河岸 A， B 两点的距离，在与 AB 垂直的方向上取点 C，测得AC a， ABC，那么 AB 等于（ ）A asin B acos C atan D【分析】根据已知角的正切值表示即可8【解答】解： AC a， ABC，在直角 ABC 中 tan ， AB 故选： D【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键9如图，一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶 13 米
12、，已知 cos ，则小车上升的高度是（ ）A5 米 B6 米 C6.5 米 D12 米【分析】在 Rt ABC 中，先求出 AB，再利用勾股定理求出 BC 即可【解答】解：如图 AC13，作 CB AB，cos ， AB12， BC 5，小车上升的高度是 5m故选： A【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型10如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡 CD 的长度为 20m， DE 的长为
13、10m，则树 AB 的高度是（ ） m9A20 B30 C30 D40【分析】先根据 CD20 米， DE10 m 得出 DCE30，故可得出 DCB90，再由 BDF30可知 DBE60，由 DF AE 可得出 BGF BCA60，故 GBF30，所以 DBC30，再由锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：在 Rt CDE 中， CD20 m， DE10 m，sin DCE ， DCE30 ACB60， DF AE， BGF60 ABC30， DCB90 BDF30， DBF60， DBC30， BC 20 m， AB BCsin6020 30 m故选： B方法二：可以证明 DGC BG
14、F，所以 BF DC20，所以 AB20+1030，故选： B【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键二填空题（共 5 小题）11如图， ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 tanA 的值为 10【分析】首先构造以 A 为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解【解答】解：连接 CD则 CD ， AD ，则 tanA 故答案是： 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键12有四个命题：若 45 a90，则 sinacos a；已知两边及
15、其中一边的对角能作出唯一一个三角形；已知 x1， x2是关于 x 的方程 2x2+px+p+10 的两根，则 x1+x2+x1x2的值是负数；某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过 2 小时它由 1 个分裂为 16 个其中正确命题的序号是 （注：把所有正确命题的序号都填上）【分析】一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小；判定三角形求全等的方法： SSS、 SAS、 ASA、 AAS；一元二次方程的根与系数的关系：两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数，两根之积等于常数项除以二次项系数；半小时每个分裂成 2 个，则 2 小时由 1 个分裂为 24个【解答】解
16、：因为 sin45cos45 ，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；11根据根与系数的关系，得 x1+x2 ， x1x2 x1+x2+x1x2 ，是正数故此选项错误；根据题意，得 2 小时它由 1 个分裂 24个，即 16 个，故此选项正确故正确的有【点评】此题涉及的知识的综合性较强综合考查了锐角三角函数的知识、全等三角形的判定方法、一元二次方程根与系数的关系等知识13若 090， ，则 sin 【分析】画出直角三角形，根据 tanB 设 AC k， BC2 k，由勾股定理求出 AB k，代入 sinsin B 求出即可【解答】解：如图在 R
17、t ACB 中， C90， B，tanB ，设 AC k， BC2 k，由勾股定理得： AB k，则 sinsin B ，故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，主要考查学生的计算能力14在 ABC 中， C90，sin A ，则 tanB 【分析】设 BC4 x， AB5 x，由勾股定理求出 AC3 x，代入 tanB 求出即可【解答】解：sin A ，设 BC4 x， AB5 x，由勾股定理得： AC 3 x，12tan B ，故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，注意：在 Rt ACB 中， C90，则sinA ，cos A ，tan A 15已
18、知 为锐角，且 sin（10） ，则 等于 70 度【分析】根据 sin60 解答【解答】解： 为锐角，sin（10） ，sin60 ，1060，70【点评】此题比较简单，只要熟记特特殊角的三角函数值即可三解答题（共 6 小题）16如图，在 Rt ABC 中， C90， AC BC6，点 D 为 AC 中点，点 E 为边 AB 上一动点，点 F为射线 BC 上一动点，且 FDE90（1）当 DF AB 时，连接 EF，求 DEF 的余切值；（2）当点 F 在线段 BC 上时，设 AE x， BF y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）连接 CE，若 CDE 为等腰三
19、角形，求 BF 的长【分析】（1）先根据勾股定理求出 AB 的长，再由三角形的中位线定理求出 DF、 DE 的长，由锐角三角函数的定义即可求出 DEF 的余切值；（2）过点 E 作 EH AC 于点 H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出 HE、 HD 的表达式，再由相似三角形的判定定理求出 HDE CFD，根据相似三角形的性质可写出 y 关于 x 的函数13关系式；（3）先分析出 DCE 为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当 DC DE 时，点 F 在边 BC 上，过点 D 作 DG AE 于点 G，可求出 AE 的长度，由 AE 的长可判断出 F 的位置，进而可求出 BF
20、的长；当 ED EC 时，先判断出点 F 的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答【解答】解：（1） AC BC6， ACB90， ， DF AB， ， ，（1 分） ，（1 分）在 Rt DEF 中， ；（2 分）（2）过点 E 作 EH AC 于点 H，设 AE x， BC AC， EH BC， AEH B， B A， AEH A， ，（1 分） ，又可证 HDE CFD， ，（1 分） ， ；（2 分）（3） ， CD3，14 CE CD，若 DCE 为等腰三角形，只有 DC DE 或 ED EC 两种可能（1 分）当 DC DE 时，点 F 在边 BC 上，过点 D 作 DG
21、AE 于点 G（如图）可得： ，即点 E 在 AB 中点，此时 F 与 C 重合， BF6；（2 分）当 ED EC 时，点 F 在 BC 的延长线上，过点 E 作 EM CD 于点 M，（如图）可证： EM CD， DME 是直角三角形， DE DF， EDM+ FDC90， FDC+ F90， F EDM DFC DEM， ， ， CF1， BF7，（2 分）综上所述， BF 为 6 或 715【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大17下列关系式是否成立（090），请说明理由（1）sin+cos1；（2）sin22
22、sin【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在 ABC 中， B90， C则 sin+cos + 1，故 sin+cos1 不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设 30，则 sin2sin60 ，2sin2sin302 1， 1，sin22sin，即 sin22sin 不成立【点评】本题考查了同角三角函数的关系解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的16三角函数值18计算：tan 2602sin30 cos45【分析】将特殊角的三角函数值代入求解【解答】解：原式（ ） 22 3111【
23、点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值19如图， ABC 中， ACB90，sin A ， BC8， D 是 AB 中点，过点 B 作直线 CD 的垂线，垂足为点 E（1）求线段 CD 的长；（2）求 cos ABE 的值【分析】（1）在 ABC 中根据正弦的定义得到 sinA ，则可计算出 AB10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到 CD AB5；（2）在 Rt ABC 中先利用勾股定理计算出 AC6，在根据三角形面积公式得到 S BDC S ADC，则S BDC S ABC，即 CDBE ACBC，于是可计算出 BE ，然后在 Rt BDE
24、 中利用余弦的定义求解【解答】解：（1）在 ABC 中， ACB90，sin A ，而 BC8， AB10， D 是 AB 中点， CD AB5；（2）在 Rt ABC 中， AB10， BC8，17 AC 6， D 是 AB 中点， BD5， S BDC S ADC， S BDC S ABC，即 CDBE ACBC， BE ，在 Rt BDE 中，cos DBE ，即 cos ABE 的值为 【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式20随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭
25、某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入如图，地面所在的直线 ME 与楼顶所在的直线 AC 是平行的，CD 的厚度为 0.5m，求出汽车通过坡道口的限高 DF 的长（结果精确到 0.1m，sin280.47，cos280.88，tan280.53）【分析】首先根据 AC ME，可得 CAB AE28，再根据三角函数计算出 BC 的长，进而得到BD 的长，进而求出 DF 即可【解答】解： AC ME， CAB AEM，在 Rt ABC 中， CAB28， AC9 m， BC ACtan2890.534.77
26、（ m）， BD BC CD4.770.54.27（ m），在 Rt BDF 中， BDF+ FBD90，在 Rt ABC 中， CAB+ FBC90， BDF CAB28，18 DF BDcos284.270.883.75763.8（ m），答：坡道口的限高 DF 的长是 3.8m【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算利用三角函数首先要确定直角三角形212013 年 9 月 23 日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图
27、所示）已知山坡的坡角 AEF23，量得树干的倾斜角为 BAC38，大树被折断部分和坡面所成的角 ADC60， AD3 m（1）求 DAC 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度（结果保留根号）【分析】（1）延长 BA 交 EF 于点 G，利用三角形外角性质即可求出所求角的度数；（2）过 A 作 CD 的垂线，垂足为 H，在直角三角形 ADH 中，求出 DAH30，利用 30 度角所对的直角边等于斜边的一半求出 DH 与 AH 的长，确定出三角形 ACH 为等腰直角三角形，求出CH， AH 的长，由 AC+CH+HD 求出大树高即可【解答】解：（1）延长 BA 交 EF 于一点 G，如图所示，则 DAC180 BAC GAE18038（9023）75；（2）过点 A 作 CD 的垂线，设垂足为 H，在 Rt ADH 中， ADC60， AHD90， DAH30， AD3，19 DH ， AH ，在 Rt ACH 中， CAH CAD DAH753045， C45， CH AH ， AC ，则树高 + + （米）【点评】此题属于解直角三角形的应用坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，含 30 度直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，以及外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键
