1、1专题突破练(5) 立体几何的综合问题一、选择题1已知直线 a平面 ，直线 b平面 ，则“ a b”是“ ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案 D解析 “ a b”不能得出“ ”，反之由“ ”也得不出“ a b”故选 D2如图，三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1平面 ABC， A1A AB2， BC1， AC ，若规5定正视方向垂直平面 ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为( )A B2455 5C4 D2答案 A解析 在 ABC 中， AC2 AB2 BC25， AB BC作 BD AC 于 D，则 BD 为侧视图的宽，且 BD ，侧视
2、图的面积为215 255S2 故选 A255 4553平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱的条数为( )A3 B4 C5 D6答案 C解析 如图，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱有 CD， BC， BB1， AA1， C1D1，共 5 条故选 C24在四边形 ABCD 中， AB AD CD1， BD ， BD CD将四边形 ABCD 沿对角线 BD2折成四面体 A BCD，使平面 A BD平面 BCD，则下列结论正确的是( )A A C BDB BA C90C CA与平面 A BD 所成的角为 30D四面体 A BCD 的体积为13答案 B解析
3、AB AD1， BD ， AB AD2 A B A D平面 A BD平面 BCD， CD BD， CD平面 A BD， CD A B， A B平面 A CD， A B A C，即 BA C90故选 B5(2018河南豫东、豫北十校测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，原为木质结构，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90 度榫卯起来，若正四棱柱体的高为 4，底面正方形的边长为 1，则该鲁班锁的表面积为 ( )A48 B60 C72 D8
4、4答案 B3解析 复杂的图形表面积可以用三视图投影的方法计算求得；如图所示：投影面积为 421210，共有 6 个投影面积，所以该几何体的表面积为10660故选 B6如图所示，已知在多面体 ABC DEFG 中， AB， AC， AD 两两垂直，平面 ABC平面DEFG，平面 BEF平面 ADGC， AB AD DG2， AC EF1，则该多面体的体积为( )A2 B4 C6 D8答案 B解析 如图所示，将多面体补成棱长为 2 的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为 V 234故选 B127(2018湖北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示，其中
5、正视图是边长为 2的等边三角形，俯视图是半圆(如图)现有一只蚂蚁从点 A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 A 点，则蚂蚁所经过路程的最小值为( )4A B 6 2C D26 2答案 B解析 由三视图可知，该几何体是半圆锥，其展开图如图所示，则依题意，点 A， M 的最短距离，即为线段 AM PA PB2，半圆锥的底面半圆的弧长为 ，展开图中的 BPM ，PB 2 APB ， APM ，在 APM 中，根据余弦定理有， 3 56MA22 22 2222cos 84 ( )2， MA ，即蚂蚁所经过路程的56 3 6 2 6 2最小值为 故选 B6 28已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它
6、的所有内接圆柱中，表面积的最大值是( )A22 R2 B R2 C R2 D R294 83 52答案 B5解析 如图所示，为组合体的轴截面，记 BO1的长度为 x，由相似三角形的比例关系，得 ，则 PO13 x，圆柱的高为 3R3 x，所以圆柱的表面积为PO13R xRS2 x22 x(3R3 x)4 x26 Rx，则当 x R 时， S 取最大值，34Smax R2故选 B949如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB AD， BC AD， PA AD4， AB BC2， PA平面ABCD，点 E 是线段 AB 的中点，点 F 在线段 PA 上，且 EF平面 PCD，平面 CEF 与直线
7、PD 交于点 H，若点 A， B， C， H 都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为( )A1 B C D232 3答案 D解析 如图，取 PD 的中点 H， PA 的中点 G，则 GH BC， GH BC，所以四边形 BCHG 是6平行四边形因为 EF平面 PCD，设平面 PAB 与平面 PCD 相交于直线 m，则EF m， CH BG m，所以 EF BG CH，所以点 H 就是平面 CEF 与直线 PD 的交点取 AD 的中点 M，则球 O 就是直三棱柱 ABG MCH 的外接球，球心 O 是两底面外接圆圆心连线的中点直三棱柱 ABG MCH 的高 BC2，底面 ABG 的外接圆的半径
8、为 BG ，所以球 O 的12 2半径 R 故选 D12 22 310(2018河北唐山第一次摸底)在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC2 AA1，则异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为( )A B C D105 15 55 155答案 B解析 在长方体 ABCD A1B1C1D1中，连接 A1D，可得 A1D B1C，所以异面直线 A1B 与B1C 所成的角即为直线 A1B 与直线 A1D 所成的角，即 DA1B 为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，设 AB BC2 AA12，则 A1B A1D ， BD2 ，在 A1B
9、D5 2中，由余弦定理得cos DA1B 故选 BA1B2 A1D2 BD22A1BA1D 5 5 8255 1511在正方体 ABCD A1B1C1D1中， P 为正方形 A1B1C1D1四边上的动点， O 为底面正方形ABCD 的中心， M， N 分别为 AB， BC 边的中点，点 Q 为平面 ABCD 内一点，线段 D1Q 与 OP 互相平分，则满足 的实数 的值有( )MQ MN A0 个 B1 个 C2 个 D3 个答案 C解析 本题可以转化为在 MN 上找点 Q 使 OQ 綊 PD1，可知只有 Q 点与 M， N 重合时满足条件故选 C12(2019四川第一次诊断)如图，在 Rt
10、ABC 中， ACB90， AC1， BC x(x0)，D 是斜边 AB 的中点，将 BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD，则 x 的取值范围是( )7A ，2 B ，2 22 3 3C(0，2) D(0， 3答案 D解析 由题意得， AD CD BD ， BC x，取 BC 中点 E，翻折前，在图 1 中，x2 12连接 DE， CD，则 DE AC ，12 12翻折后，在图 2 中，此时 CB AD BC DE， BC AD， BC平面 ADE， BC AE，又 E 为 BC 中点， AB AC1， AE ， AD ，在 ADE 中： 1 14x2 x2
11、12 x2 12 12， 5(舍去)，当20310x(0，2)时， V0，即在(0，2)上， V(x)是增函数；当 x(2，5)， V0，即在(2，5)上， V(x)是减函数，所以当 x2 时， V(x)有最大值为 144三、解答题17(2018湖北八市联考)如图，在 Rt ABC 中， AB BC3，点 E， F 分别在线段AB， AC 上，且 EF BC，将 AEF 沿 EF 折起到 PEF 的位置，使得二面角 P EF B 的大小为 60(1)求证： EF PB；(2)当点 E 为线段 AB 靠近 B 点的三等分点时，求直线 PC 与平面 PEF 所成角 的正弦值解 (1)证明： AB
12、BC3， BC AB， EF BC， EF AB，翻折后垂直关系没变，有 EF PE， EF BE，且 PE BE E， EF平面 PBE， EF PB(2) EF PE， EF BE， PEB 是二面角 P EF B 的平面角， PEB60，又 PE2， BE1，由余弦定理得 PB ，3 PB2 EB2 PE2， PB EB， PB， BC， EB 两两垂直11以 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴， BE 所在直线为 y 轴， BP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0， )， C(3，0，0)， E(0，1，0)， F(2，1，0)，3 (0，1， )
13、， (2，1， )，PE 3 PF 3设平面 PEF 的法向量为 n( x， y， z)，由Error! 即Error!令 y ，则 z1， x0，可得 n(0， ，1)，3 3又 (3，0， )，sin PC 3nPC |n|PC | 14故直线 PC 与平面 PEF 所成角 的正弦值为 1418(2019广东华南师大附中综合测试)在五面体 ABCDEF 中，AB CD EF， AD CD， DCF60， CD EF CF2 AB2 AD2，平面 CDEF平面 ABCD(1)证明：直线 CE平面 ADF；(2)已知 P 为棱 BC 上的点，试确定 P 点位置，使二面角 P DF A 的大小为
14、 60解 (1)证明： CD EF， CD EF CF2四边形 CDEF 为菱形， CE DF平面 CDEF平面 ABCD，平面 CDEF平面 ABCD CD，AD CD， AD平面 CDEF， CE AD，又 AD DF D，直线 CE平面 ADF(2) DCF60，四边形 CDEF 为菱形， DEF 为正三角形，取 EF 的中点 G，连接 GD，则 GD EF， GD CD12平面 CDEF平面 ABCD，平面 CDEF平面 ABCD CD，GD平面 CDEF， GD平面 ABCD AD CD， DA， DC， DG 两两垂直以 D 为原点， DA， DC， DG 所在直线分别为 x， y
15、， z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，如图， CD EF CF2， AB AD1， E(0，1， )， F(0，1， )， C(0，2，0)， B(1，1，0)3 3 (0，1， )， (1，1，0)， (0，2，0)，DF 3 CB DC 由(1)知 (0，3， )是平面 ADF 的一个法向量CE 3设 a ( a， a，0)(0 a1)，CP CB 则 ( a，2 a，0)DP DC CP 设平面 PDF 的法向量为 n( x， y， z)，Error! Error!令 y a，则 x (a2)， z a，3 3 n( (a2)， a， a)3 3二面角 P DF A 为 60，|co
16、s n， |CE |nCE |n|CE | ，43a123a 22 3a2 a2 1213解得 a (另一值舍去)23 P 点在靠近 B 点的 CB 的三等分点处19(2018河南高考适应训练)如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AB CD， BAD90， DC DA2 AB2 ，点 E 为 AD 的中点， BD CE H， PH平面5ABCD，且 PH4(1)求证： PC BD；(2)线段 PC 上是否存在一点 F，使二面角 B DF C 的余弦值是 ？若存在，请找出1515点 F 的位置；若不存在，请说明理由解 (1)证明： AB CD， BAD90， ED
17、C BAD90 DC DA2 AB， E 为 AD 的中点， AB ED， BAD EDC， DBA DEH DBA ADB90， DEH ADB90， BD EC又 PH平面 ABCD， BD平面 ABCD， BD PH又 PH EC H，且 PH， EC平面 PEC， BD平面 PEC又 PC平面 PEC， PC BD(2)由(1)可知， DHE DAB， ，DHDA EHBA DEDB BD EC 5， AB DE ，252 52 5 EH1， HC4， DH2， HB3 PH， EC， BD 两两垂直，建立以 H 为坐标原点， HB， HC， HP 所在直线分别为 x， y， z 轴的
18、空间直角坐标系，14如图所示，则 H(0，0，0)， B(3，0，0)， C(0，4，0)， D(2，0，0)， P(0，0，4)假设线段 PC 上存在一点 F 满足题意 与 共线，CF CP 存在唯一实数 (0 1)，满足 ，CF CP 可得 F(0，44 ，4 )设向量 n( x1， y1， z1)为平面 CPD 的法向量，且 (0，4，4)， (2，4，0)，CP CD Error! Error!Error!取 x12， y1 z11，则平面 CPD 的一个法向量为 n(2，1，1)同理可得平面 BFD 的一个法向量为 m(0， ， 1)设二面角 B DF C 的平面角为 ，且 0 1，
19、由图可知 cos |nm|n|m| 1|22 12 1202 2 12 2 162 2 2 1 ，其中 2 10，2 162 2 2 1 1515即 1，12 ，即 34 CF 34CP CP 4 ，42 42 215线段 PC 上存在一点 F，当点 F 满足 CF3 时，二面角 B DF C 的余弦值是 2151520(2018湖北黄冈模拟)如图，在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 A1ACC1底面 ABC， A1AC60(1)求侧棱 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小；(2)已知点 D 满足 B B B ，在直线 AA1上是否存在点 P，使 DP平面 AB1
20、C？若D A C 存在，请确定点 P 的位置；若不存在，请说明理由解 (1)因为侧面 A1ACC1底面 ABC，作 A1O AC 于点 O，所以 A1O平面 ABC又 ABC A1AC60，且各棱长均为 2，所以 AO1， OA1 OB ， BO AC3故以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 A(0，1，0)， B( ，0，0)， A1(0，0， )， C(0，1，0)， B1( ，1， )，3 3 3 3所以 (0，1， )， ( ，2， )， (0，2，0)AA1 3 AB1 3 3 AC 设平面 AB1C 的一个法向量为 n( x， y，1)，则Error!解得
21、 n(1，0，1)16由 cos ， n AA1 AA1 n|AA1 |n| 322 64而侧棱 AA1与平面 AB1C 所成角，即是向量 与平面 AB1C 的法向量所成锐角的余角，AA1 所以侧棱 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小为 64(2)因为 B B B ，而 B ( ，1，0)， B ( ，1，0)，所以D A C A 3 C 3B (2 ，0，0)D 3又因为 B( ，0，0)，所以点 D 的坐标为( ，0，0)3 3假设存在点 P 符合题意，则其坐标可设为 P(0， y， z)，所以 D ( ， y， z)P 3因为 DP平面 AB1C， n(1，0，1)为平面 AB1C 的一个法向量，所以 D n0，P 即 z 3因为 A (0， y1， z)，则由 A 得Error!P P AA1 所以 y0又 DP平面 AB1C，故存在点 P，使 DP平面 AB1C，其坐标为(0，0， )，即恰好为点3A1
