1、1考点测试 19 三角函数的图象与性质高考概览本 考 点 是 高 考 必 考 知 识 点 ， 常 考 题 型 为 选 择 题 、 解 答 题 ， 分 值 5分 、 12分 ， 中 等 难 度考纲研读1能画出 ysin x， ycos x， ytan x 的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性，最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间 内的单调性( 2， 2)一、基础小题1函数 y3cos x 的最小正周期是( )25 6A B C2 D525 52答案 D解析 由 T 5，知该函数的最小正周期为 5故选 D2252已知 f(x)sin
2、， g(x)cos ，则 f(x)的图象( )(x 2) (x 2)A与 g(x)的图象相同B与 g(x)的图象关于 y 轴对称C向左平移 个单位，得到 g(x)的图象 2D向右平移 个单位，得到 g(x)的图象 2答案 D解析 因为 g(x)cos cos sin x，所以 f(x)向右平移 个单位，可(x 2) ( 2 x) 2得到 g(x)的图象，故选 D3函数 y2sin x1， x ， 的值域是( )76 136A3,1 B2,1 C(3,1 D(2,1答案 D2解析 由 ysin x 在 ， 上，1sin x0 且 a ，即 a 的最 4 34 434 34大值为 故选 C3413
3、(2017全国卷)设函数 f(x)cos ，则下列结论错误的是( )(x 3)A f(x)的一个周期为2B y f(x)的图象关于直线 x 对称83C f(x)的一个零点为 x 6D f(x)在 单调递减( 2， )答案 D解析 f(x)的最小正周期为 2，易知 A 正确； f cos cos31，为83 83 3f(x)的最小值，故 B 正确； f(x)cos x cos x ， 3 3 f cos cos 0，故 C 正确；由于 6 6 3 2f cos cos1，为 f(x)的最小值，故 f(x)在 ， 上不单调，故 D 错23 23 3 2误14(2018江苏高考)定义在区间0,3上的
4、函数 ysin2 x 的图象与 ycos x 的图象的交点个数是_答案 7解析 在同一平面直角坐标系中作出 ysin2 x 与 ycos x 在区间0,3上的图象(如5图)由图象可知，共有 7 个交点三、模拟小题15(2018江西六校联考)下列函数中，最小正周期是 ，且在区间 ， 上是增函 2数的是( )A ysin2 x B ysin xC ytan D ycos2 xx2答案 D解析 ysin2 x 在区间 ， 上的单调性是先减后增； ysin x 的最小正周期是 T 22； ytan 的最小正周期是 T 2； ycos2 x 满足条件故选 D2 x2 16(2018安徽联考)已知函数 y
5、2cos x 的定义域为 ，值域为 a， b，则 3b a 的值是( )A2 B3 C 2 D23 3答案 B解析 因为函数 y2cos x 的定义域为 ，所以函数 y2cos x 的值域为2,1， 3所以 b a1(2)3，故选 B17(2018福建六校联考)若函数 f(x)2sin( x )对任意 x 都有 f x f( x)， 3则 f ( ) 6A2 或 0 B0C2 或 0 D2 或 2答案 D解析 由函数 f(x)2sin( x )对任意 x 都有 f x f( x)，可知函数图象的 3一条对称轴为直线 x 根据三角函数的性质可知，当 x 时，函数取得最大12 3 6 66值或最小
6、值 f 2 或2故选 D 618(2019河北衡水中学调研)已知函数 f(x)2 msinx ncosx，直线 x 是函数 3f(x)图象的一条对称轴，则 ( )nmA B C D332 3 233 33答案 C解析 若 x 是函数 f(x)图象的一条对称轴，则 x 是函数 f(x)的极值点 f( x) 3 32 mcosx nsinx，故 f 2 mcos nsin m n0，所以 故选 C( 3) 3 3 32 nm 23319(2018衡阳二模)已知函数 f(x)Error!则下列结论错误的是 ( )A f(x)不是周期函数B f(x)在 ，上是增函数 2C f(x)的值域为1，)D f
7、(x)的图象上存在不同的两点关于原点对称答案 D解析 画出 f(x)的图象如下：由图可知，A，B，C 正确；对于 D，当 0sinx，当 x 时， 2 21sin x1，而 x1，所以 xsinx，所以当 x0 时， ysin x 与 y x 无交点，故 f(x)的图象上不存在不同的两点关于原点对称，所以 D 错误故选 D20(2018南昌一模)已知 f(x)cos2 x acos x 在区间 ， 上是增函数，则实 2 6 2数 a 的取值范围为( )A2，) B(2，)C(，4) D(，4答案 D解析 f(x)cos2 x acos x12sin 2x asinx 在 ， 上是增函数， ys
8、in x 2 6 27在 ， 上单调递增，且 sinx ，1令 tsin x， t ，1，则 y2 t2 at1 在 ， 6 2 12 12 121 上单调递增，则 1，因而 a(，4故选 Da4一、高考大题1(2018北京高考)已知函数 f(x)sin 2x sinxcosx3(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 f(x)在区间 ， m 上的最大值为 ，求 m 的最小值 3 32解 (1) f(x) cos2x sin2x12 12 32sin2 x 6 12所以 f(x)的最小正周期为 T 22(2)由(1)知 f(x)sin2 x 6 12由题意知 x m 3所以 2 x 2 m 5
9、6 6 6要使 f(x)在 ， m 上的最大值为 ，即需 sin2x 在 ， m 上的最大值为 1 3 32 6 3所以 2m ，即 m 6 2 3所以 m 的最小值为 32(2017浙江高考)已知函数 f(x)sin 2xcos 2x2 sinxcosx(xR)3(1)求 f 的值；23(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间解 (1)由 sin ，cos ，23 32 23 12f 2 22 ，得 f 223 32 12 3 32 12 23(2)由 cos2xcos 2xsin 2x 与 sin2x2sin xcosx 得8f(x)cos2 x sin2x2sin2 x 3 6所以
10、f(x)的最小正周期是 由正弦函数的性质得2 k2 x 2 k， kZ， 2 6 32解得 k x k， kZ 6 23所以， f(x)的单调递增区间是 k， k( kZ) 6 233(2016天津高考)已知函数 f(x)4tan xsin cos ( 2 x) (x 3) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性 4， 4解 (1) f(x)的定义域为Error!f(x)4tan xcosxcos (x 3) 34sin xcos (x 3) 34sin x (12cosx 32sinx) 32sin xcosx2 sin2x3 3sin2 x (1c
11、os2 x)3 3sin2 x cos2x2sin 3 (2x 3)所以， f(x)的最小正周期 T 22(2)令 z2 x ，易知函数 y2sin z 的单调递增区间是 ， 3 2 2k ， 2 2k kZ由 2 k2 x 2 k， kZ，得 k x k， kZ 2 3 2 12 512设 A ， 4， 4BError! ，易知 A B 12， 49所以，当 x 时， f(x)在区间 上单调递增，在区间 4， 4 12， 4上单调递减 4， 12二、模拟大题4(2018福建福州月考)已知函数 f(x) ，求 f(x)的定义域，判6cos4x 5sin2x 4cos2x断它的奇偶性，并求其值域
12、解 由 cos2x0 得 2x k ， kZ， 2解得 x ， kZ，k2 4所以 f(x)的定义域为Error!因为 f(x)的定义域关于原点对称，且f( x)6cos4 x 5sin2 x 4cos 2x f(x)6cos4x 5sin2x 4cos2x所以 f(x)是偶函数当 x ， kZ 时，k2 4f(x) 6cos4x 5sin2x 4cos2x 6cos4x 5 5cos2x 42cos2x 1 3cos 2x12cos2x 13cos2x 12cos2x 1所以 f(x)的值域为Error!5(2018合肥质检)已知函数 f(x)sin x cos x ( 0)的最小正周期为
13、(1)求函数 y f(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数 f(x)在 0， 上的单调性 2解 (1) f(x)sin x cos x sinx ，且 T， 2于是 f(x)2 4sin2x 2 4令 2x k (kZ)，得 x (kZ)， 4 2 k2 38故函数 f(x)的对称轴方程为 x (kZ)k2 38(2)令 2k 2 x 2 k (kZ)， 2 4 210得函数 f(x)的单调增区间为 k ， k (kZ)注意到 x0， ，令 k0， 8 38 2得函数 f(x)在 0， 上的单调增区间为 0， ；其单调减区间为 ， 2 38 38 26(2018武汉模拟)已知函数 f(x)2s
14、in 2x 2 sinx cosx 1( 0)，且3函数 f(x)的最小正周期为 (1)求 f(x)的解析式，并求出 f(x)的单调递增区间；(2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)的最 4大值及 g(x)取得最大值时 x 的取值集合解 (1) f(x)2sin 2x 2 sinx cosx 131cos2 x sin2x 12sin2 x 3 6由函数 f(x)的最小正周期 T ，得 122所以 f(x)2sin2 x 6令 2k 2 x 2 k ，其中 kZ，解得 k x k ，其中 2 6 2 6 3kZ，即 f(x)的单调递增区间为 k ， k ，其中 kZ 6 3(2)g(x) fx 2sin2 x 4 4 62sin2 x ，则 g(x)的最大值为 2， 3此时有 2sin2x 2，即 sin2x 1， 3 3即 2x 2 k ，其中 kZ，解得 x k ，其中 kZ 3 2 12所以当 g(x)取得最大值时 x 的取值集合为 xx k ，其中 kZ1211
