1、1考点测试 30 等差数列高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值 5 分、12 分，中、低等难度考纲研读1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系一、基础小题1已知 an为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a11， a35， Sn64，则 n( )A6 B7 C8 D9答案 C解析 因为 d 2，所以 Sn na1 d n n(n1)64，解得a3 a12 nn 12n8故选 C2在等差数列 an中，已知 a3 a810，则 3a
2、5 a7( )A10 B18 C20 D28答案 C解析 由题意可知 a3 a8 a5 a610，所以 3a5 a72 a5 a5 a72 a52 a620，故选 C3已知 Sn是数列 an的前 n 项和，且 Sn1 Sn an3， a4 a523，则 S8( )A72 B88 C92 D98答案 C解析 由 Sn1 Sn an3 得 an1 an3，所以 an为等差数列，公差为 3，由a4 a523 得 2a17 d23，所以 a11， S88 87392故选 C124设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 a11，公差 d2， Sk2 Sk24，则 k( )A8 B7 C6 D5答案
3、D解析 由 a11，公差 d2，得通项 an2 n1，又 Sk2 Sk ak1 ak2 ，所以22k12 k324，解得 k5故选 D5已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a2 a8 a1130，则 S13( )A130 B65 C70 D140答案 A解析 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，由 a2 a8 a1130，可得a16 d10，故 S13 13( a16 d)130故选 A13a1 a1326设 an是公差不为 0 的等差数列，且 a a a a ，则该数列的前 10 项和24 25 26 27S10( )A10 B5 C0 D5答案 C解析 由 a a a a
4、 得 a a a a ，即( a4 a6)(a4 a6)( a7 a5)(a7 a5)，24 25 26 27 24 26 27 25也即2 d2a52 d2a6，由 d0，得 a6 a5 a1 a100，所以 S105( a1 a10)0故选 C7在等差数列 an中，已知 S41， S84，设 S a17 a18 a19 a20，则 S 的值为( )A8 B9 C10 D11答案 B解析 由 S41， S84 得 S8 S43，所以 S12 S85，所以 S16 S127，所以S S20 S169故选 B8等差数列 an的前 n 项和为 Sn已知 am1 am1 a 0， S2m1 38，则
5、2mm_答案 10解析 因为 am1 am1 a 0，数列 an是等差数列，所以 2am a 0，解得 am02m 2m或 am2又 S2m1 38，所以 am0 不符合题意，所以 am2所以 S2m1 (2 m 1)am38，解得 m102m 1a1 a2m 12二、高考小题9(2018全国卷)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 3S3 S2 S4， a12，则a5( )A12 B10 C10 D12答案 B解析 设该等差数列的公差为 d，根据题中的条件可得3 22 d42 d，解得 d3，所以(32322 d) 432a5 a14 d21210，故选 B310(2017全国卷)记
6、Sn为等差数列 an的前 n 项和若 a4 a524， S648，则an的公差为( )A1 B2 C4 D8答案 C解析 在等差数列 an中， S6 48，则 a1 a616 a2 a5又a1 a662a4 a524，所以 a4 a22 d24168，得 d4故选 C11(2017全国卷)等差数列 an的首项为 1，公差不为 0若 a2， a3， a6成等比数列，则 an前 6 项的和为( )A24 B3 C3 D8答案 A解析 设等差数列 an的公差为 d，依题意得 a a2a6，即(12 d)2(1 d)(15 d)，23解得 d2 或 d0(舍去)，又 a11，所以 S661 (2)24
7、故选 A65212(2016全国卷)已知等差数列 an前 9 项的和为 27， a108，则 a100( )A100 B99 C98 D97答案 C解析 设 an的公差为 d，由等差数列的前 n 项和公式及通项公式，得Error!解得Error!an a1( n1) d n2，所以 a100100298故选 C13(2018北京高考)设 an是等差数列，且 a13， a2 a536，则 an的通项公式为_答案 an6 n3解析 设等差数列 an的公差为 d，则a2 a5 a1 d a14 d2 a15 d65 d36， d6， an a1( n1) d36( n1)6 n314(2016江苏高
8、考)已知 an是等差数列， Sn是其前 n 项和若a1 a 3， S510，则 a9的值是_2答案 20解析 设等差数列 an的公差为 d，则由题设可得Error!解得 Error!从而 a9 a18 d20三、模拟小题15(2018深圳 4 月调研)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，已知 a1 S33，则 S4的值为( )4A3 B0 C3 D6答案 B解析 解法一：由 S33 a23，得 a21，又 a13，则公差 d2，故S4 a1 a2 a3 a431(1)(3)0，故选 B解法二： a2 a3 S3 a10，则 S42( a2 a3)0，故选 B16(2018青岛质检)已知公差
9、不为 0 的等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a63 a4，且 S9 a 4，则 的值为( )A18 B20 C21 D25答案 A解析 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d由 a63 a4，得 a15 d3( a13 d)，所以 a12 d由 S9 a 4，得 9a136 d (a13 d)，代入 a12 d，得 18故选A17(2018沈阳质检一)在等差数列 an中，若 Sn为其前 n 项和，2 a7 a85，则 S11的值是( )A55 B11 C50 D60答案 A解析 依题意有 a7( a8 a7)5，即 a7 d5( d 为 an的公差)，亦即 a65从而S1111
10、a611555故选 A18(2018安徽江南十校模拟)九章算术是我国古代的数学名著，书中均属章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为“已知 A， B， C， D， E 五人分 5 钱， A， B 两人所得与 C， D， E 三人所得相同，且A， B， C， D， E 每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中， E 所得为( )A 钱 B 钱 C 钱 D 钱23 43 56 32答案 A解析 由题意，设 A 所得为 a4 d， B 所得为 a3 d， C 所得为 a2 d， D 所得为a d， E 所得为 a，则Er
11、ror!解得 a ，故 E 所得为 钱故选 A23 2319(2018衡阳二模)已知在等差数列 an中，10 时， n 的最大值为( )A11 B12 C13 D14答案 B解析 由数列 an为等差数列，且它的前 n 项和 Sn有最大值，可得 d0， a71，得 0，所以 a6 a70，所以a7a6 a7a6 a7a6 a6 a7a6a1 a120，所以 S120，又 S1313 a70 时， n 的最大值为 12，故选 B20(2018合肥质检三)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且数列 为等差数列，若SnnS21， S2018 S20165，则 S2018_答案 3027解析 依题意，
12、设 xn y(x， yR)，则 2 x y，且Snn S22 12S2018 S20162018 2x2018 y(2016 2x2016 y)5，联立可解得 x ， y 则12016 5031008Sn n2 n， S2018302712016 5031008一、高考大题1(2018全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，已知 a17， S315(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn的最小值解 (1)设 an的公差为 d，由题意，得 3a13 d15由 a17，得 d2所以 an的通项公式为 an7( n1)22 n9(2)由(1)，得 Sn n(7) 2 n28 n(
13、 n 4)216nn 12所以当 n4 时， Sn取得最小值，最小值为162(2018北京高考)设 an是等差数列，且 a1ln 2， a2 a35ln 2(1)求 an的通项公式；(2)求 ea1e a2e an解 (1)设 an的公差为 d因为 a2 a35ln 2，所以 2a13 d5ln 2又 a1ln 2，所以 dln 2所以 an a1( n1) d nln 2(2)因为 ea1e ln 22， e an an1e ln 22，eanean 1所以e an是首项为 2，公比为 2 的等比数列6所以 ea1e a2e an2 2(2 n1)2 n1 21 2n1 23(2017全国卷
14、)记 Sn为等比数列 an的前 n 项和已知 S22， S36(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并判断 Sn1 ， Sn， Sn2 是否成等差数列解 (1)设 an的公比为 q，由题设可得Error!解得 q2， a12故 an的通项公式为 an(2) n(2)由(1)可得 Sn (1) n a11 qn1 q 23 2n 13由于 Sn2 Sn1 (1) n43 2n 3 2n 232 (1) n 2 Sn，23 2n 13故 Sn1 ， Sn， Sn2 成等差数列二、模拟大题4(2018福建龙岩检测)已知数列 an满足( an1 1)( an1)3( an an1 )，a12，令
15、bn 1an 1(1)证明：数列 bn是等差数列；(2)求数列 an的通项公式解 (1)证明： 1an 1 1 1an 1 an an 1an 1 1an 1 ， bn1 bn ，数列 bn是等差数列13 13(2)由(1)及 b1 1，知 bn n ，1a1 1 12 1 13 23 an1 ， an 3n 2 n 5n 25(2018福建外国语中学调研)已知等差数列 an的公差 d0，前 n 项和为 Sn，且a2a345， S428(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn (c 为非零常数)，且数列 bn也是等差数列，求 c 的值Snn c解 (1) S428， 28，a1 a4427
16、 a1 a414， a2 a314，又 a2a345，公差 d0， a2a3， a25， a39，Error! 解得Error! an4 n3(2)由(1)知 Sn2 n2 n， bn ，Snn c 2n2 nn c b1 ， b2 ， b3 11 c 62 c 153 c又 bn是等差数列， b1 b32 b2，即 2 ，62 c 11 c 153 c解得 c (c0 舍去)126(2019河南郑州质检)在数列 an中， an1 an2 n44( nN *)， a123(1)求 an；(2)设 Sn为 an的前 n 项和，求 Sn的最小值解 (1) an1 an2 n44( nN *)，an
17、2 an1 2( n1)44，由，得 an2 an2又 a2 a1244， a123， a219，同理得， a321， a417故 a1， a3， a5，是以 a1为首项，2 为公差的等差数列， a2， a4， a6，是以 a2为首项，2 为公差的等差数列从而 anError!(2)当 n 为偶数时，Sn( a1 a2)( a3 a4)( an1 an)(2144)(2344)2( n1)44213( n1) 44 22 n，n2 n22故当 n22 时， Sn取得最小值为242当 n 为奇数时，Sn a1( a2 a3)( a4 a5)( an1 an) a1(2244)2( n1)44 a1224( n1) (44)n 12823 22( n1)n 1n 12 22 n n22 32故当 n21 或 n23 时， Sn取得最小值243综上所述：当 n 为偶数时， Sn取得最小值为242；当 n 为奇数时， Sn取得最小值为2439
