1、1专题 57 立体几何 直线、平面的平行的判定与性质 1【考点讲解】1、具本目标：1.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.理解以下性质定理，并能够证明.如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简
2、单命题.考点透析：以几何体为载体，考查线线、线面、面面平行证明.利用平行关系及平行的性质进行适当的转化，处理综合问题.3.备考重点：(1) 掌握相关定义、公理、定理；(2)掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法.（3）证明平行关系，要充分利用中点、三角形中位线、平行四边形以及成 比例线段二、知识概述：直线与平面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 a a ， b ， aba a ， a ， b结论 a b a a b2面面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 a ， b ， a b P，a ， b ， a， b ， a结论 a b a 线面、面面平行的综合应用1平面与平面的位置关系有
3、相交、平行两种情况2直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理： a ， b ，且 a ba ；(3)其他判定方法： ； a a .3直线和平面平行的性质定理： a ， a ， la l.4两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理： a ， b ， a b M， a ， b ；(3)推论： a b M， a， b ， a b M， a， b ， a a， b b .5两个平面平行的性质定理(1) ， a a ；(2) ， a， ba b.6与垂直相关的平行的判定(1)a ， b a b；(2)a ， a .
4、【真题分析】1.【2015 全国 2】设 ， 是两个不同的平面， m是直线且 “m ”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】本题考点是线面平行与面面平行与充要条件的综合应用.因为 ， 是两个不同的平面， m是直3线且 m若“ ”，则平面 、可能相交也可能平行，不能推出 /，反过来若 /，则有 ，则“ m ”是“ ”的必要而不充分条件，故选 B.【答案】B2.【2017 优选题】设 是空间中不同的直线， 是不同的平面，则下列说法正确的是 （ ）,ab,A. ，则 B. ，则/,/ /abC. ，则 D. ，则/ /【解析】本题考点是线
5、面平行，面面平行的判定。由于可能出现 ，所以 A 错。两平面平行，要与第三平面相交，才能推出两交线平行，B 选项不符，所以 B 错。线面平行，需与过直线的平面与已知平面的交线平行，所以 C 错。D 中，两平面平行，则一平面中的任一直线与另一平面平行。D 对。选 D.【答案】D3.【2018 优选题】空间中，设 表示不同的直线， 表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ,mn,）A. 若 ，则 B. 若 ，则/C. 若 ，则 D. 若 ，则 m【解析】本题考点是面面平行，线面平行的判定.A 项，若 ，过正方体同一顶点的三个平面分别为 ，则 ，故 A 项不合题意；,B 项，若 ，根据垂直于同一条直线
6、的两个平面平行，则 ，故 B 项符合题意；/C 项，若 ，由同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线 m 在平面 内或平行，故 C 项不合题意；D 项，若 ,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线 m 在平面 内或平行，故 D 项不合题意.故选 B.【答案】B4.【2016 全国课标 2】 ， 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题：如果 m n， m ， n ，那么 . 如果 m ， n ，那么 m n.4如果 ， m ，那么 m .如果 m n， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.其中正确的
7、命题有 .(填写所有正确命题的编号）【解析】对于， ，则 ,的位置关系无法确定，故错误；对于,因为 /n，所以过直线 n作平面 与平面 相交于直线 c，则 /n，因为 ，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题有.【答案】5.【2016 课标 3】如图，四棱锥 PABCD 中， 平面 ABCD， ， ， M为线段 上一点， ， N为 P的中点（I）证明 MN 平面 PAB；（II）求四面体 C的体积.【分析】 （I）取 的中点 T，然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT为平行四边形，从而得到AT，由此结合线面平行的判断定理可证；（
8、II）由条件可知四面体 N-BCM 的高，即点 N到底面的距离为棱 P的一半，由此可顺利求得结果本题考点直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积.【解析】 （I）由已知得 ，取 BP的中点 T，连接 NA,，由 为 PC中点知 BT/，. 又 CAD/，故 N平行且等于 M，四边形 为平行四边形，于是ATMN/.因为 平面 PB， MN平面 PB，所以 /平面 PAB. 5（）因为 PA平面 BCD， N为 P的中点，所以 N到平面 ABCD的距离为 PA21. 取 BC的中点 E，连结 .由 得 AE， .由 AM 得 到 B的距离为 5，故 .所以四面体 CN的体积 . 6.【2016
9、江苏】如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， D， E 分别为 AB， BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且1BDAF， 11.求证：（1）直线 DE 平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F. （第 6 题） 【分析】 （1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.【解析】证明：（1）在直三棱柱 中， 1AC ，在三角形 ABC 中，因为 D， E 分别为 AB， BC 的中点，所以 EAC ，于
10、是 1A ，又因为 DE平面 平面 1CF，所以直线 DE/平面 1F.6（2）在直三棱柱 中， .因为 1AC平面 1B，所以 1AC，又因为 ，所以 平面 1B.因为 1BD平面 1A，所以 1CBD.又因为 ，所以 .因为直线 ，所以 1E平 面7.【2016 山东理】在如图所示的圆台中， AC 是下底面圆 O 的直径， EF 是上底面圆 O的直径， FB 是圆台的一条母线.（I）已知 G,H 分别为 EC， FB 的中点，求证： GH平面 ABC；（II）已知 EF=FB= 12AC= 3， AB=BC.求二面角 FBCA的余弦值.【分析】（I）根据线线、面面平行可得与直线 GH 与平
11、面 ABC 平行；（II）解法一建立空间直角坐标系求解；解法二找到 FNM为二面角 BCA的平面角直接求解.【解析】（ I）证明：设 FC的中点为 I,连接 ,GIH,在 E ,因为 G是 的中点，所以 EF又 OB 所以 ,I在 CF 中，因为 H是 F的中点，所以 HIBC ，7又 ,所以平面 GHI 平面 ABC，GH平面 I， 所以 平面 .（II）解法一：连接 O,则 平面 ，又 ,ABC且 是圆 的直径，所以 .O以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz，由题意得 ， ，过点 F作 于点 M，所以可得 (0,3)F故 .设 是平面 BCF的法向量. 由 可得 可得平面
12、BCF的一个法向量因为平面 ABC的一个法向量 (0,1)n所以 .所以二面角 F的余弦值为 7.解法二：连接 O，过点 F作 MOB于点 ，8则有 FMO ,又 平面 ABC，所以 FM平面 ABC,可得过点 作 于点 N，连接 F，可得 NBC,从而 FN为二面角 BCA的平面角.又 AB, 是圆 O的直径，所以从而 42FN，可得所以二面角 BCA的余弦值为 7.【模拟考场】1.已知直线 和平面 ，满足 .则“ ”是“ ”的（ ）,mn/mn/A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【解析】若 ， ，由线面平行的判定定理可得 ，若 ，
13、， /n/ /mn与 ，可以是异面直线， “ ”是“ ”的充分而不必要条件，故选 A.mnm/【答案】A2.下列命题正确的是（ ）A. 若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C. 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行D. 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行【解析】对于答案 A，这两个平面可以相交，因此答案不正确；对于答案 C，这两个平面也可以相交，因此答案也不正确；对于答案 D，这两条直线也可以相交或异面，因此答案也不正确；故应选答案 B.【答案】B93.设 表示直线 ,表示不同的平面，则下列命题中正
14、确的是（ ）A若 a且 b，则 / B若 且 ，则 /C若 /且 /，则 D若 /且 /，则【解析】A：应该是 或 ；B：如果是墙角的三个面就不符合题意；C： m，若 /a时，满足 /a， /，但是 /不正确，所以选 D.【答案】D4.对于两条不同的直线 m，n 和两个不同的平面 ，以下结论正确的是，A. 若 ， ，m，n 是异面直线，则 相交，B. 若 ， ， ，则 nC. 若 ， ， m， n 共面于 ，则 m nD. 若 ， n ， ， 不平行，则 m， n 为异面直线【解析】解：正方体 中，取 为棱 ，平面 为 ，,1,BCD,满足选项 中的条件，但是 ，选项 错误；AA取 为棱 ，平
15、面 为 ，满足选项 中的条件，但是 ，选项 ,mn1,BC, nB错误；取 为棱 ，平面 为 ，满足选项 中的条件，但是 ，,1,A,DmA选项 错误；D【答案】C5.设平面 、 ，直线 a、 b， ， ，则“ /a， /b”是“ /”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】由平面与平面平行的判定定理可知，若直线 a、 b是平面 内两条相交直线，且有“ /a，/b”，则有“ /”，当“ /”，若 ， ，则有“ /， /b”，因此“ ， b”是“ ”的必要不充分条件.选 B.10【答案】B6.【2017 届云南省曲靖市第一中学高三第六次月考】
16、已知 是两条不同的直线， 是平面，则下列命,mn题中是真命题的是（ ）A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则/m/n/C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则n【解析】对于答案 A，有 的可能，故不是真命题；对于答案 C，直线 也可以与平面n相交，不是真命题；对于答案 D 中的直线 ，有 的可能，故不是真命题，应选答案 B。n【答案】B7.在如图所示的空间四边形 ABCD 中， E、 F、 G、 H 分别是 AB， BC， CD， AD 的中点，则图中线面平行关系有（）A2 对 B4 对 C6 对 D8 对【解析】由中位线的性质知， EH FG， EF HG，故四边形 EFGH 是平行四边形，且
17、 AC平面 EFGH， BD平面 EFGH由 EF GH， EF平面 ACD， GH平面 ACD， EF平面 ACD，同理， GH平面 ABC， EH平面 BCD， FG平面 ABD，故共有 6 对线面平行关系故选 C【答案】C8.如图，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， M、 N 分别是 AB、 PC 的中点(1)求证： MN平面 PAD；(2)若 MN BC4， PA 3，求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小【解析】(1)取 PD 的中点 H，连接 AH， NH， N 是 PC 的中点， NH /12DC. . 11 M 是 AB 的中点，且 DC /AB， NH /AM，即四边形 AMNH 为平行四边形 MN AH.又 MN平面 PAD， AH平面 PAD， MN平面 PAD.(2)连接 AC 并取其中点 O，连接 OM、 ON，则 OM /12BC， ON /PA. ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角，由 MN BC4， PA 3，得 OM2， ON 3. MO2 ON2 MN2， ONM30，即异面直线 PA 与 MN 成 30的角12
