1、1第三节 直线、平面平行的判定与性质突破点一 直线与平面平行的判定与性质基 本 知 识 直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)l a， a ， ll 性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行线线平行)l ， l ， bl b基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行( )(2)若直线 a平面 ， P ，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条( )(3)空
2、间四边形 ABCD 中， E， F 分别是 AB， AD 的中点，则 EF平面 BCD.( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是_答案：平行、相交或异面2若直线 a直线 b A， a平面 ，则 b 与 的位置关系是_解析：因为 a ， a 与平面 没有公共点，若 b ，则 A ，又 A a，此种情况不可能 b 或 b 与 相交答案： b 或 b 与 相交3如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为 DD1的中点，则 BD1与平面 AEC 的位置关系为_2答案：平行全 析 考 法 考法一 线面平行的判定 例 1 如图，空间几何体
3、 ABCDFE 中，四边形 ADFE 是梯形，且EF AD， P，Q 分别为棱 BE， DF 的中点求证： PQ平面 ABCD.证明 法一：如图，取 AE 的中点 G，连接 PG，Q G.在 ABE 中， PB PE， AG GE，所以 PG BA，又 PG平面 ABCD， BA平面 ABCD，所以 PG平面 ABCD.在梯形 ADFE 中， DQQ F， AG GE，所以 GQ AD，又 GQ平面 ABCD， AD平面 ABCD，所以 GQ平面 ABCD.因为 PG GQ G， PG平面 PQG， GQ平面 PQG，所以平面 PQG平面 ABCD.又 PQ平面 PQG，所以 PQ平面 ABC
4、D.法二：如图，连接 EQ 并延长，与 AD 的延长线交于点 H，连接 BH.因为 EF DH，所以 EFQ HDQ，又 FQQ D， EQF DQH，所以 EFQ HDQ，所以 EQQ H.在 BEH 中， BP PE， EQQ H，所以 PQ BH.又 PQ平面 ABCD， BH平面 ABCD，所以 PQ平面 ABCD.考法二 线面平行性质定理的应用 例 2 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面BDM 于 GH.3求证： AP GH.证明 如图所示，连接 AC 交 BD 于点
5、 O，连接 MO，四边形 ABCD 是平行四边形， O 是 AC 的中点，又 M 是 PC 的中点， AP MO.又 MO平面 BMD， AP平面 BMD， AP平面 BMD.平面 PAHG平面 BMD GH，且 AP平面 PAHG， AP GH.方 法 技 巧 线面平行问题的解题关键(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线集 训 冲 关 1. 在直三棱柱 ABC
6、A1B1C1中，考 法 一 AC4， CB2， AA12， ACB60， E， F 分别是 A1C1， BC 的中点证明： C1F平面 ABE.证明：取 AC 的中点 M，连接 C1M， FM，在 ABC 中， FM AB，而 FM平面 ABE， AB平面 ABE， FM平面 ABE，在矩形 ACC1A1中， E， M 都是中点， C1M AE，而 C1M平面 ABE， AE平面 ABE， C1M平面 ABE， C1M FM M，平面 ABE平面 FMC1，又 C1F平面 FMC1，故 C1F平面 ABE.2. 如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， E 为线段 AD 上考 法 二 4
7、的任意一点(不包括 A， D 两点)，平面 CEC1与平面 BB1D 交于 FG.证明： FG平面 AA1B1B.证明：在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， BB1 CC1， BB1平面 BB1D， CC1平面 BB1D，所以 CC1平面 BB1D.又 CC1平面 CEC1，平面 CEC1与平面 BB1D 交于 FG，所以 CC1 FG.因为 BB1 CC1，所以 BB1 FG.而 BB1平面 AA1B1B， FG平面 AA1B1B，所以 FG平面 AA1B1B.突破点二 平面与平面平行的判定与性质基 本 知 识 平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面
8、内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行面面平行)a ， b ， a b P， a ， b 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ， a， ba b基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( )(2)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行( )(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行( )答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1设 ， ， 为三个不同的平
9、面， a， b 为直线，给出下列条件： a ， b ， a ， b ； ， ； ， .其中能推出 的条件是_(填上所有正确的序号)答案：52已知平面 ，直线 a ，有下列命题： a 与 内的所有直线平行； a 与 内无数条直线平行； a 与 内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是_解析：由面面平行和线面平行的性质可知，过 a 与 相交的平面与 的交线才与 a平行，故错误；正确；平面 内的直线与直线 a 平行，异面均可，其中包括异面垂直，故错误答案：3.如图， ， PAB 所在的平面与 ， 分别交于 CD， AB，若 PC2， CA3， CD1，则 AB_.解析： ， CD AB，则 ，PC
10、PA CDAB AB .PACDPC 512 52答案：52典例 如图， ABCD 是边长为 3 的正方形， DE平面 ABCD， AF平面 ABCD， DE3 AF3.证明：平面 ABF平面 DCE.证明 法一：应用面面平行的判定定理证明因为 DE平面 ABCD， AF平面 ABCD，所以 DE AF，因为 AF平面 DCE， DE平面 DCE，所以 AF平面 DCE，因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AB CD，因为 AB平面 DCE，所以 AB平面 DCE，因为 AB AF A， AB平面 ABF， AF平面 ABF，所以平面 ABF平面 DCE.法二：利用两个平面内的两条相交直线分
11、别平行证明因为 DE平面 ABCD， AF平面 ABCD，所以 DE AF，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AB CD.又 AF AB A， DE DC D，所以平面 ABF平面 DCE.法三：利用垂直于同一条直线的两个平面平行证明因为 DE平面 ABCD，所以 DE AD，在正方形 ABCD 中， AD DC，6又 DE DC D，所以 AD平面 DEC.同理 AD平面 ABF.所以平面 ABF平面 DCE.方法技巧判定面面平行的 4 种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)(4)
12、利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用) 针对训练1(2019南昌模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中， ABC ACD90， BAC CAD60， PA平面ABCD， PA2， AB1.设 M， N 分别为 PD， AD 的中点(1)求证：平面 CMN平面 PAB；(2)求三棱锥 PABM 的体积解：(1)证明： M， N 分别为 PD， AD 的中点， MN PA. MN平面 PAB， PA平面 PAB， MN平面 PAB.在 Rt ACD 中， CAD60， CN AN， ACN60.又 BAC60， CN AB. CN平面 PAB， AB平面
13、 PAB， CN平面 PAB.又 CN MN N，平面 CMN平面 PAB.(2)由(1)知，平面 CMN平面 PAB，点 M 到平面 PAB 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离由 AB1， ABC90， BAC60， BC ，3三棱锥 PABM 的体积 V VMPAB VCPAB VPABC 1 2 .13 12 3 332(2019西安调研)如图，在多面体 ABCDEF 中，7AD BC， AB AD， FA平面 ABCD， FA DE，且 AB AD AF2 BC2 DE2.(1)若 M 为线段 EF 的中点，求证： CM平面 ABF；(2)求多面体 ABCDEF 的体积解：(1)证明：取 AD 的中点 N，连接 CN， MN， AD BC 且 AD2 BC， AN BC 且 AN BC，四边形 ABCN 为平行四边形， CN AB. M 是 EF 的中点， MN AF.又 CN MN N， AB AF A，平面 CMN平面 ABF.又 CM平面 CMN， CM平面 ABF.(2) FA平面 ABCD， FA AB.又 AB AD，且 FA AD A， AB平面 ADEF，即 CN平面 ADEF.连接 AC，则多面体 ABCDEF 的体积VABCDEF VFABC VCADEF 212 (12)22 .13 12 13 12 838
