1、第 1 页 共 2 页 2017 年湖南农业大学硕士招生自命题科目试题 科目名称及代码： 高等代数 817 适用专业（领域）： 生物数学 考生需带的工具： 考生注意事项：所有答案必须做在答题纸上，做在试题纸上一律无效； 按试题顺序答题，在答题纸上标明题目序号。 1、（ 15 分）设 n 阶行列式1 3 5 2 11 2 0 01 0 3 01 0 0nnDn, 求 nAAA 11211 . 2、（ 10 分）已知 2001 2 00 0 1A，且 B 满足 * 43A BA I BA，求 B 3、（ 15 分） 设 、 、 、A B C D均为 n 阶方阵，如果 =CAAC 证明 AB AD
2、CBCD . 4、 (15 分 ) 取何值时，方程组1554212321321321xxxxxxxxx 无解，有唯一的解或有无穷多解？并在无穷多解时求其解 5、 (20分 )设 221 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( , , ) 2 ( ) ( )f x x x a x a x a x b x b x b x ，记 1 2 3( , , ) Ta a a ， 1 2 3( , , ) Tb b b (1) 证明 f 对应的二次型矩阵为 2 TT ； (2) 若 ,为单位正交向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 22122yy 6、 （ 15 分） 设矩阵 A 0 2
3、 31 3 312a相似于矩阵 B 1 2 00 0 ,0 3 1b (1) 求 ,ab的值； 第 2 页 共 2 页 (2) 求可逆矩阵 P ，使 1PAP 为对角矩阵 . 7、 （ 20 分）设 21 2 3( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) , ( 0 , , ) T T Tk k k k k ，则 (1) k 为何值时， 可由 1 2 3, 唯一表示？ (2) k 为何值时， 可由 1 2 3, 无穷表示？ (3) k 为何值时， 不能由 1 2 3, 表示？ 8、 （ 15 分） 证明 R()TAA R()A 9、 （ 10 分） 证明：如果 )()(|1 32312 xxfxfxx ，则 1| ( ),nx f x 则 1| ( )nnx f x . 10、 （ 15 分） 设 A 是 , xncn 维向量使得对任意在正实数阶实对称矩阵，证明存 都有.xcxAxx TT .
