1、基础知识-高等数学(六)及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题 lilist-style-t(总题数：48，分数：48.00)1.已知级数 （分数：1.00）A.B.C.D.2.设 f(x)满足 当 x0 时，lncosx 2是比 xnf(x)高阶的无穷小，而 xnf(x)是比 （分数：1.00）A.B.C.D.3.设 （分数：1.00）A.B.C.D.4.设 =x|0x2， 表示为U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.5.设 则下列级数中肯定收敛的是U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.6.二元函数 （分数：1.00）A.B.C.D.7.设 y=y
2、(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e3x满足初始条件 y(0)=)y(0)=0的特解，则当 x0 时，函数 （分数：1.00）A.B.C.D.8.设有向景组 1=(1，-1，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0)， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性尤关组是U /U。 A. 1， 2， 3 B. 1， 2， 4 C. 1， 2， 5 D. 1， 2， 4， 5（分数：1.00）A.B.C.D.9.若 P(A)0，P(B)0，P(A|B)=P(A)，则下列各式不成立的是U /U。 AP(B|A)=P(B) （分数：1.0
3、0）A.B.C.D.10.设 f(x)在(-，+)内连续，且 （分数：1.00）A.B.C.D.11.广义积分 则 c等于U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.12.已知直线方程 中所有系数都不等于 0，且 （分数：1.00）A.B.C.D.13.设 f(x)为连续函数，且下列极限都存在，则其中可推出 f(3)存在的是U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.14.设函数 f(x)在0，+)上连续，且满足 （分数：1.00）A.B.C.D.15.微分方程(1+2y)xdx+(1+x 2)dy=0的通解为U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.16.设 是实数， （分数：1.00
4、）A.B.C.D.17.多项式 （分数：1.00）A.B.C.D.18.设级数 收敛，则必收敛的级数为U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.19.设向量 x垂：直于向量 a=(2，3，-1)和 b=(1，-2，3)，日与 c=(2，-1，1)的数量积为-6，则向量x=U /U。 A.(-3，3，3) B.(-3，1，1) C.(0，6，0) D.(0，3，-3)（分数：1.00）A.B.C.D.20.设 A、B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0， ，则必有U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.21.已知矩阵 （分数：1.00）A.B.C.D.22.已知 （分数：1.
5、00）A.B.C.D.23.设函数 f(x)连续，由曲线 y=f(x)在 x轴围成的三块面积为 S1、S 2、S 3(S1、S 2、S 3均大于 0)如图 1-3-5所示，已知 S2+S3=p，S 1=2S2-q，且 pq，则 等于U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.24.样本 X1，X n来自正态分布总体 N(， 2)， 分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.25.已知 （分数：1.00）A.B.C.D.26.已知平面 过点(1，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，则与平面 垂直且过点(1，1，1)的直线的对称方程为U /U。
6、 （分数：1.00）A.B.C.D.27.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：1.00）A.B.C.D.28.设幂级数 的收敛半径为 1与 2，则幂级数 （分数：1.00）A.B.C.D.29.已知二阶实对称矩阵 A的一个特征向量为(2，-5) T，并且|A|0，则以下选项中为 A的特征向量的是U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.30.已知|a|=2， 且 ab=2，则|ab|=U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.31.若f(x)dx=x 2+C，xf(1-x 2)dx=( )。（分数：1.00）A.B.C.D.32.微分方程 y“+2y=0的通解是U /U。 Ay=As
7、in2x By=Acosx （分数：1.00）A.B.C.D.33.n阶行列式 Dn=0的必要条件是U /U。 A.以 Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 B.Dn中有两行(或列)元素对应成比例 C.Dn中各列元素之和为零 D.Dn中有一行(或列)元素全为零（分数：1.00）A.B.C.D.34.设 A是 3阶矩阵，矩阵 A的第 1行的 2倍加到第 2行，得矩阵 B，则下列选项中成立的是U /U。 A.B的第 1行的-2 倍加到第 2行得 A B.B的第 1列的-2 倍加到第 2列得 A C.B的第 2行的-2 倍加到第 1行得 A D.B的第 2列的-2 倍加到第 1列得 A（分数：1
8、.00）A.B.C.D.35.设总体 X服从正态分布 N(， 2)，其中 已知， 2未知，X 1，X 2，X 3为来自 X的样本，则下列表达式中不是统计量的是U /U。AX 1+X2+2X3 Bmax(X 1，X 2，X 3)（分数：1.00）A.B.C.D.36.设曲线积分 tf(x)-exsinydx-f(x)cos)ydy与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.37.假设事件 A和 B满足 P(B|A)=1，则U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.38.设 =2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵
9、 有一特征值等于U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.39.设 为常数，则级数 （分数：1.00）A.B.C.D.40.设有直线 L1：x=-1+t，y=5-2t，z=-8+t，L 2： 则两线的夹角为U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.41.设 X1，X 2，X 8和 Y1，Y 2，Y 10分别来自两个正态总体 N(-1，2 2)和 N(2，5)的样本，且相互独立，分别为两个样本的样本方差，则服从 F(7，9)的统计量为U /U（分数：1.00）A.B.C.D.42.已知两直线 （分数：1.00）A.B.C.D.43.设 ： （分数：1.00）A.B.C.D.44.设函数 f
10、(t)连续，t-a，a，f(t)0，且 （分数：1.00）A.B.C.D.45.二次型 的标准形为U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.46.设函数 f(u)连续，区域 D=x，y)|x 2+y22y，则（分数：1.00）A.B.C.D.47.若有 （分数：1.00）A.B.C.D.48.设 f(x)连续，则 （分数：1.00）A.B.C.D.基础知识-高等数学(六)答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题 lilist-style-t(总题数：48，分数：48.00)1.已知级数 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 设法将* *2.设 f(x)满足
11、 当 x0 时，lncosx 2是比 xnf(x)高阶的无穷小，而 xnf(x)是比 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 *知，当茗0 时，f(x)-x 2，于是 xnf(x)- n+2。又当 x0 时，*再根据题设有 2n+24，可见 n=1。3.设 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 *(x1)，故 f(x)单调增加且连续， * 故 x充分大后 f(x)会大于任何数，因此方程f(x)=1必有一个实根。4.设 =x|0x2， 表示为U /U。 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 本题利用画数轴的方法，求交集。 *5.设 则下列级数中肯定收敛的是U /U。
12、（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 * 解析 2取* 由于 * *6.二元函数 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 导数可按定义计算，而是否连续，要求先确定其极限，若极限不存在，则必定不连续。由偏导数的定义知*同理，f y(0，0)=0。可见在点(0，0)处 f(x，y)的偏导数存在。而当 y=kx时，有*7.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e3x满足初始条件 y(0)=)y(0)=0的特解，则当 x0 时，函数 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由 y“+py+qy=e3x及 y(0)=y(0)=0，知 y“(0)=1，则：*8.
13、设有向景组 1=(1，-1，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0)， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性尤关组是U /U。 A. 1， 2， 3 B. 1， 2， 4 C. 1， 2， 5 D. 1， 2， 4， 5（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 利用初等变换即可。对以 1， 2， 4， 5为列向量的矩阵施以初等行变换：*由于不同阶梯上对应向量组均线性无关，而含有同一个阶梯上的两个以上的向量必线性相关，对比四个选项知，B 成立。9.若 P(A)0，P(B)0，P(A|B)=P(A)，则下列各式不成立的是U /U。
14、AP(B|A)=P(B) （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 P(A)0，P(B)0，P(A|B)=P(A)可得 A、B 相互独立，即：P(AB)=P(A)P(B)、P(B|A)=P(B)、*而独立互斥。10.设 f(x)在(-，+)内连续，且 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 * *11.广义积分 则 c等于U /U。 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 根据题意： *12.已知直线方程 中所有系数都不等于 0，且 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因*，故在原直线的方程中可消去 x及 D，故得原直线在 yOz平面上的投影直线方程为*，
15、在 yOz平面的投影过原点，故原直线必与 x轴相交。13.设 f(x)为连续函数，且下列极限都存在，则其中可推出 f(3)存在的是U /U。 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 A 项，*C项，x=x 20 +(x0)，与 A项类似；D项，只有当 f(3)预先存在的情形下，才与 f(3)相等；*14.设函数 f(x)在0，+)上连续，且满足 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 对*左右两边从 0到 1对 x积分可得： *15.微分方程(1+2y)xdx+(1+x 2)dy=0的通解为U /U。（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 原方程可化为：* *16.设
16、是实数， （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由导数定义*显然 f-(1)=0，因此 +10，即 -1 时，f(1)=0，即可导。17.多项式 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题不需要展开行列式(即把行列式的值完全算出来)，由于行列式的每一项是由取自不同行和不同列的元素之积构成，故 x4只能由对角线上的 4个元素乘积得到，且此项前为正号(行指标按自然排列时，列指标也是自然排列)，故它的系数为-6；x 3只能由对角线上的前两个元素和(4，3)位及(3，4)位上元素乘积得到，且此项前为负号(因为当行指标按自然排列时，列指标排列的逆序为 1)，故它的系数为-2；而常数项
17、是由所有不含 x的项算得，故令 p(x)中的 x等于零，算得的值即是常数项，易知其为-6。18.设级数 收敛，则必收敛的级数为U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用级数的性质即知，D 为正确选项。ABC 三项可举反例说明。例如： *19.设向量 x垂：直于向量 a=(2，3，-1)和 b=(1，-2，3)，日与 c=(2，-1，1)的数量积为-6，则向量x=U /U。 A.(-3，3，3) B.(-3，1，1) C.(0，6，0) D.(0，3，-3)（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由题意可得，xab，而 ab=(2，3，-1)(1，-2，3)=(7，
18、-7，-7)=7(1，-1，-1)，所以 x=(x，-x，-x)。再由-6=xc=(x，-x，-x)(2，-1，1)=2x 得，x=-3，所以 x=(-3，3，3)。20.设 A、B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0， ，则必有U /U。 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设*知，不论 A是否发生，随机事件 B发生的概率相同，说明 A，B 互相独立。或直接用条件概率定义进行推导。 由条件概率公式及条件* * 于是有* 可见 P(AB)=P(A)P(B)21.已知矩阵 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 矩阵的秩为矩阵非零子式的最高阶数。 对矩阵 A进行
19、初等变换如下： * 此时矩阵有 2行非零行，故矩阵的秩为 2。22.已知 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 P(x，y)dx+Q(x，y)dy 为某函数 u(x，y)的全微分 du(x，y)，即 * 的充要条件是* * 当且仅当 a=2时上式恒成立。23.设函数 f(x)连续，由曲线 y=f(x)在 x轴围成的三块面积为 S1、S 2、S 3(S1、S 2、S 3均大于 0)如图 1-3-5所示，已知 S2+S3=p，S 1=2S2-q，且 pq，则 等于U /U。（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由定积分几何意义得： *24.样本 X1，X n来自正态分布总体 N
20、(， 2)， 分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有U /U。（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由抽样分布定理知*相互独立。 *25.已知 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 f(x)为分段函数，所以计算 F(x)时也应分段进行。 * *26.已知平面 过点(1，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，则与平面 垂直且过点(1，1，1)的直线的对称方程为U /U。 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 设点 A=(1，1，0)，B=(0，0，1)，C=(0，1，1)，所以有*(-1，-1，1)，*从而平面 的法向量为*，故所求直线的方向向量为
21、(-1，0，-1)，又直线过点(1，1，1)，从而直线方程为*y=1。27.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 将题设等式两边求导，得 f(x)=2f(x)解此微分方程，得 f(x)=Ce2x。又由已知关系式有f(0)=ln2，由此可得 C=ln2。故 f(x)=e2xln2。28.设幂级数 的收敛半径为 1与 2，则幂级数 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 *逐项求导所得结果，其收敛半径为 1，于是*的收敛半径仍为 1。而*的收敛半径为2，*的收敛半径为 R=min(1，2)=1。29.已知二阶实对称矩阵 A的一个特征向量为(2，-5
22、) T，并且|A|0，则以下选项中为 A的特征向量的是U /U。（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 A的特征值为 1， 2，因为|A|0，所以 1 20，即 A有两个不同的特征值。*C项，k 1与 k2都可以等于 0，比如当 k1=0，k 20 时，k 2(5，2) T也是 A的特征向量，所以排除。30.已知|a|=2， 且 ab=2，则|ab|=U /U。 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由 ab=2，|a|=2，*得*因此有 *31.若f(x)dx=x 2+C，xf(1-x 2)dx=( )。（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 *32.微分方程
23、y“+2y=0的通解是U /U。 Ay=Asin2x By=Acosx （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 *33.n阶行列式 Dn=0的必要条件是U /U。 A.以 Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 B.Dn中有两行(或列)元素对应成比例 C.Dn中各列元素之和为零 D.Dn中有一行(或列)元素全为零（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 注意必要条件的定义，必要条件是如果 Dn=0，则可以推出答案为 A。下面举反例说明。例如*显然 D4中任意两行元素均不对应成比例，而且 D4中各列元素之和分别为 28、32、36、40，均不为 0；而且 D4中任意一行(或列)的
24、元素没有全为 0的，故 BCD三项不是必要条件。34.设 A是 3阶矩阵，矩阵 A的第 1行的 2倍加到第 2行，得矩阵 B，则下列选项中成立的是U /U。 A.B的第 1行的-2 倍加到第 2行得 A B.B的第 1列的-2 倍加到第 2列得 A C.B的第 2行的-2 倍加到第 1行得 A D.B的第 2列的-2 倍加到第 1列得 A（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 设矩阵* *35.设总体 X服从正态分布 N(， 2)，其中 已知， 2未知，X 1，X 2，X 3为来自 X的样本，则下列表达式中不是统计量的是U /U。AX 1+X2+2X3 Bmax(X 1，X 2，X 3
25、)（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由统计量的定义知，统计量中不能含有未知参数。由于 2未知，*中含有未知参数，所以它不是统计量。36.设曲线积分 tf(x)-exsinydx-f(x)cos)ydy与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于U /U。（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 曲线积分*P(x，y)=f(x)-e xsiny，Q(x，y)=-f(x)cosy，则由题设有*由一阶微分方程通解公式知*37.假设事件 A和 B满足 P(B|A)=1，则U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由*可知 P(AB
26、)=P(A)，从而有*。38.设 =2 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 有一特征值等于U /U。 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 设 为 A的特征值，则有 Ax=x，x0。于是* * 评注 设 g(x)为多项式，若 是 A的一个特征值，则 g()是 g(A)的特征值。39.设 为常数，则级数 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 * 评注 除了熟练掌握正项级数、交错级数和一般项级数的判敛方法外，对于级数的运 *40.设有直线 L1：x=-1+t，y=5-2t，z=-8+t，L 2： 则两线的夹角为U /U。（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 两直线的
27、夹角即为两直线的方向向量的夹角，而 L1的方向向量为 s1=(1，-2，1)，L 2的方向向量为 s2=(1，-1，0)(0，2，1)=(-1，-1，2)。s 1，s 2夹角 的余弦为*41.设 X1，X 2，X 8和 Y1，Y 2，Y 10分别来自两个正态总体 N(-1，2 2)和 N(2，5)的样本，且相互独立，分别为两个样本的样本方差，则服从 F(7，9)的统计量为U /U（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 依题意知，* * 所以*42.已知两直线 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 两直线平行即两直线的方向向量平行，其对应坐标成比例，即 * 由此得：n=-4。4
28、3.设 ： （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 先求锥面*与球面 x2+y2+z2=1的交线为*利用球面坐标 ：02，*0r1所以*44.设函数 f(t)连续，t-a，a，f(t)0，且 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 当-axa 时，有 *又 g“(x)=f(x)+f(x)=2f(x)0，放 g(x)在(-a，a)内是单调增加的。45.二次型 的标准形为U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 用配方法，有：*46.设函数 f(u)连续，区域 D=x，y)|x 2+y22y，则（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 先画出积分区域的示意图，再选择直角坐标系和极坐标系，并在两种坐标系下化为累次积分，即得正确选项。积分区域(见图 1-3-2)，在直角坐标系下 *47.若有 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 对于 lim=0，lim=0，若 lim/=0，就称 是 高阶的无穷小。由于*，所以当 xa 时，f(x)是比(x-a)高阶的无穷小。48.设 f(x)连续，则 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 变上限的积分求导问题，关键是将被积函数中的 x换到积分号外或积分上、下限中去，这可通过变量代换 u=x2-t2实现。作变量代换 u=x2-t2，则*
