1、2.2 向量的减法,一,二,一、相反向量 1.定义:如果两个向量的长度相等,方向相反,那么称这两个向量互为相反向量,a的相反向量为-a,规定:零向量的相反向量仍是零向量. 2.性质:(1)对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0; (2)若a,b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.,A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b,答案:D,一,二,二、向量的减法 1.定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量,相当于加上这个向量的相反向量.求两个向量差的运算,叫作向量的减法.,3.文字叙述:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终
2、点为终点的向量.,一,二,名师点拨1.可以用向量减法的三角形法则作差向量,也可以用向量减法的定义a-b=a+(-b)(即平行四边形法则)作差向量,显然,此法作图较烦琐. 2.在使用三角形法则时,应注意两向量的起点相同,差向量是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.,一,二,【做一做2】 如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,则有:,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)对任意不共线向量a与b,总有|a|-|b|a-b|a|+|b|. ( ) (2)若a与b共线且同向,则一定有|a-b|=|a|+|b|. ( ) (3)若a
3、与b共线且反向,则一定有|a-b|=|a|+|b|. ( ) (4)若|a|=12,|b|=30,则|a-b|的取值范围为8,30. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,易错辨析,向量减法及其几何意义,A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(1)答案:A (2)解:以OB,OC为邻边作OBDC,连接OD,AD,反思感悟利用向量减法作图的方法 (1)运用三角形法则,作两个向量和的关键是作平移,首尾连.作两个向量差的关键是作平移,共起点,两尾连,指被减. (2)多个向量相加减时要注意灵活运用运算律.,
4、探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,向量的减法运算,思路分析:本题主要考查向量减法的运算法则,可以将减法转化为加法求解,也可以直接利用减法求解,还可以将各向量统一用以O为起点的向量表示再来计算.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(方法三)设O为平面内任意一点,则,反思感悟1.进行向量的减法运算要抓住两条主线,一是基于“形”,通过作出向量,在图形中运用三角形法则求差向量;二是基于“式”,它是对上述操作的符号化表示.关键是将向量转化为起点相同的向量,必要时需引进任意点O,将各向量统一用以O为起点的向量表示,再进行运算. 2.对于本题,方法一是将向量的减法转化为加法
5、进行化简;方法二,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2如图,在ABC中,D为BC的中点,则下列结论中错误的是( ),答案:C,探究一,探究二,探究三,易错辨析,向量加、减法运算及模的综合应用,A.3,8 B.(3,8) C.3,13 D.(3,13),答案:C,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟1.对于任意向量a,b,总有|a|-|b|a-b|a|+|b|.其中,当a,b同向共线时|a-b|=|a|-|b|;当a,b反向共线时,|a-b|=|a|+|b|. 2.因为向量的加法和减法具有明显的几何意义,所以要注意构造平行四边形及三角形来解决有关问题. 3.当向量a,b不共线时,分
6、别与向量a+b,a-b构成三角形,由“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”可以形象地解释向量的三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练3(1)若向量a,b满足|a|=2,|b|=5,则|a-b|的最大值为 . (2)若向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2 ,|a|= ,求|b|. (1)解析:|a-b|a|+|b|=2+5=7,故|a-b|的最大值是7. 答案:7,又因为|a+b|=|a-b|, 所以四边形ABCD为矩形, 即ABD是直角三角形.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,因误用向量减法法则而致误 【典例】 如图所示,已知一
7、点O到平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为r1,r2,r3,则 = .,探究一,探究二,探究三,易错辨析,纠错心得本题错解的产生是向量减法法则使用错误,要弄清楚 才是正确的.因此在学习过程中要注重细节,不要因小失大.,1,2,3,4,5,6,答案:C,1,2,3,4,5,6,答案:A,1,2,3,4,5,6,形ABCD的形状是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形,答案:B,1,2,3,4,5,6,解析:由题意知ABCD是菱形. 又BAD=60,ABD是等边三角形.,答案:2,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,6.如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,设,
