1、3.2 平面向量基本定理,平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数1,2,使a=1e1+2e2.不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 【做一做1】 若a,b不共线,且a+b=0(,R),则( ) A.a=0,b=0 B.=0 C.=0,b=0 D.a=0,=0 解析:a与b不共线且a+b=0, 只能有=0. 答案:B,【做一做2】 设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是 . e1,e2; e1,2e1; e1,2e2; e2,2e2. 解析:由于e1,e2不共线,则e
2、1,2e2不共线,所以中的向量组都可以作为基底;因为e1与2e1共线,e2与2e2共线,所以中的向量组都不能作为基底.故填. 答案:,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)基底要求两个向量不共线且模为1. ( ) (2)若e1,e2为不共线向量,则e1+e2与e1-e2可构成基底. ( ) (3)若a与b为不共线向量,且有x1a+y1b=x2a+y2b成立,则一定有x1=x2,且y1=y2. ( ),答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,对平面向量基本定理的理解 【例1】 给出下列命题: 若向量e1,e2不共线,则空
3、间中的任一向量a均可表示为a=1e1+2e2(1,2R); 若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示; 若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=1e1+2e2(1,2R)的形式. 其中不正确命题的序号是 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析:错误.当e1,e2不共线时,平面向量可用e1,e2唯一地线性表示,但空间中的向量则不一定. 错误.零向量也可以用一组基底来线性表示. 错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为1e1+2e2(1,2R)的形式,有些向量则不可以. 答案: 反思感悟平面向量基本定理就是指平面内任一向量均可用平
4、面内的两个不共线向量线性表示,且表示方法是唯一的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1设e1,e2是平面向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( ) A.2e1+e2和e2-e1 B.3e1-2e2和4e2-6e1 C.e1+2e2和e2+2e1 D.e2和e1+e2 解析:B中,3e1-2e2=- (4e2-6e1),则3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能作为基底. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用基底表示向量,思路分析:根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行逐步分解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感
5、悟 用一组基底表示向量的注意事项 平面内任一向量都可用一组基底来表示,在表示过程中,主要结合向量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点: (1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基底; (2)注意平面向量基本定理的应用; (3)注意a,b不共线,则0=0a+0b是唯一的; (4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系; (5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系,也是常用技巧.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2如图所示,已知在ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的,解:四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,DC边上的中点,探究一,探究二,探究三,思维辨析,平面向量基
6、本定理与线性运算的综合应用 【例3】 在ABC中,思路分析:(1)可用平面向量基本定理进行证明;(2)可用线性运算以及重心的定义求证.,所以等式成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)如图,设E是AB边的中点.,即点M在中线CE上,且是靠近AB边中点的一个三等分点,因此,M是ABC的重心. 反思感悟在三角形中,中线、重心等与向量的关系非常重要,一些结论的用处非常广泛,须熟记.例如,在ABC中,若M是重心,AD,BE,CF是三条中线,则下列结论都是成立的:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,A.2 B.3 C.4 D.5,m=3.故选B. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对两
7、向量夹角的定义理解不清致误,错解90 60,探究一,探究二,探究三,思维辨析,答案90 120,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得在一个平面图形中求两个向量的夹角时,切记不能直接将该平面图形的某个内角理解为两个向量的夹角,必须根据向量的方向,通过平移得出向量的夹角.,1,2,3,4,5,1.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值为( ) A.3 B.-3 C.0 D.2,答案:A,6,1,2,3,4,5,答案:B,6,1,2,3,4,5,A. B. C. D.,由平面向量基底的概念知可构成平面内所有向量的基底. 答案:B,6,1,2,3,4,5,答案:A,6,1,2,3,4,5,6,答案:3,1,2,3,4,5,解:设D,E,F分别是边BC,AC,AB边上的中点,6,
