1、2017年吉林省中考真题数学 一、单项选择题 (每小题 2分，共 12分 ) 1.计算 (-1)2的正确结果是 ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 解析：根据有理数乘方的定义计算即可 . 原式 =1. 答案： A. 2.如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为 ( ) A. B. C. D. 解析：根据正六棱柱的俯视图为正六边形，即可得出结论 . 正六棱柱的俯视图为正六边形 . 答案： B. 3.下列计算正确的是 ( ) A.a2+a3=a5 B.a2 a3=a6 C.(a2)3=a6 D.(ab)2=ab2 解析：根据整式的运算法则即可求出答案 . A、 a2与 a3不是同类项，故 A
2、错误； B、原式 =a5，故 B错误； C、原式 =a6，故 C正确； D、原式 =a2b2，故 D错误 . 答案： C. 4.不等式 x+1 2的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析：先求出原不等式的解集，再根据解集即可求出结论 . x+1 2， x 1. 答案： A. 5.如图，在 ABC中，以点 B为圆心，以 BA长为半径画弧交边 BC于点 D，连接 AD.若 B=40， C=36，则 DAC的度数是 ( ) A.70 B.44 C.34 D.24 解析：由 AB=BD， B=40得到 ADB=70，再根据三角形的外角的性质即可得到结论 . AB=BD， B=4
3、0， ADB=70， C=36， DAC= ADB- C=34 . 答案： C. 6.如图，直线 l是 O的切线， A为切点， B为直线 l 上一点，连接 OB 交 O于点 C.若 AB=12，OA=5，则 BC 的长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析：由勾股定理，得 22 13O B O A A B ， CB=OB-OC=13-5=8. 答案： D. 二、填空题 (每小题 3 分，共 24分 ) 7. 2016年我国资助各类家庭困难学生超过 84 000 000 人次 .将 84 000 000 这个数用科学记数法表示为 . 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中
4、 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1时， n是正数；当原数的绝对值 1时， n是负数 . 84 000 000=8.4 107. 答案： 8.4 107. 8.苹果原价是每千克 x 元，按 8折优惠出售，该苹果现价是每千克 元 (用含 x的代数式表示 ). 解析：按 8折优惠出售，就是按照原价的 80%进行销售 . 依题意得：该苹果现价是每千克 80%x=0.8x. 答案： 0.8x. 9.分解因式： a2+4a+4= . 解析：利用完全平方公式直接分解即可求得答案 . a2+4a
5、+4=(a+2)2. 答案： (a+2)2. 10.我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线 a b的根据是 . 解析：如图所示： 根据题意得出： 1= 2； 1和 2是同位角； 1= 2， a b(同位角相等，两直线平行 )； 答案：同位角相等，两直线平行 . 11.如图，在矩形 ABCD 中， AB=5， AD=3.矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转一定角度得到矩形ABCD.若点 B的对应点 B落在边 CD 上，则 BC的长为 . 解析：由旋转的性质得到 AB=AB =5， 在直角 AB D中， D=90， AD=3， AB =AB=5， 所以 2 2 2 25 3 4B
6、D A B A D ， 所以 B C=5-B D=1. 答案： 1. 12.如图，数学活动小组为了测量学校旗杆 AB的高度，使用长为 2m 的竹竿 CD作为测量工具 .移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面 O处重合，测得 OD=4m， BD=14m，则旗杆 AB 的高为 m. 解析：由条件可证明 OCD OAB，利用相似三角形的性质可求得答案 . OD=4m， BD=14m， OB=OD+BD=18m， 由题意可知 ODC= OBA，且 O为公共角， OCD OAB， OD CDOB AB，即 4218 AB，解得 AB=9， 即旗杆 AB的高为 9m. 答案： 9. 13.如图，
7、分别以正五边形 ABCDE的顶点 A， D为圆心，以 AB长为半径画 BE ， CE .若 AB=1，则阴影部分图形的周长为 (结果保留 ). 解析：由五边形 ABCDE可得出， AB=BC=CD=DE=EA=1、 A= D=108，利用弧长公式可求出 BE 、CE的长度，再根据周长的定义，即可求出阴影部分图形的周长 . 五边形 ABCDE为正五边形， AB=1， AB=BC=CD=DE=EA=1， A= D=108， 221 0 8 31 8 0 5B E C E a b A B g， 6 15C B E C E B C 阴 影. 答案： 6 15. 14.我们规定：当 k， b 为常数，
8、k 0， b 0， k b 时，一次函数 y=kx+b 与 y=bx+k 互为交换函数 .例如： y=4x+3的交换函数为 y=3x+4.一次函数 y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为 . 解析：由题意可得， 22y kxy x k， 解得， 12xyk. 答案： 1. 三、解答题 (每小题 5 分，共 20分 ) 15.某学生化简分式21211xx出现了错误，解答过程如下： 原式 121 1 1 1x x x x (第一步 ) 1211xx (第二步 ) 23 1x (第三步 ) (1)该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 . 解析： (1)根据分式的运算法则找出错误的位
9、置和错误原因 . 答案： (1)一、分式的基本性质用错 . 故答案为：一；分式的基本性质用错 . (2)请写出此题正确的解答过程 . 解析： (2)根据分式的运算法则即可求出答案 答案： (2)原式 121 1 1 1xx x x x 111xxx 11x 16.被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为 342km，隧道累计长度的 2倍比桥梁累计长度多 36km.求隧道累计长度与桥梁累计长度 . 解析：设隧道累计长度为 x km，桥梁累计长度为 y km，根据“隧道累计长度与桥梁累计长度之和为 342km，隧道累计长度的 2倍比桥梁累计长度
10、多 36km”，即可得出关于 x、 y的二元一次方程组，解之即可得出结论 . 答案：设隧道累计长度为 x km，桥梁累计长度为 y km， 根据题意得： 3422 36xyxy， 解得： 126216xy. 答：隧道累计长度为 126km，桥梁累计长度为 216km. 17.在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字 1， 2， 3，这些卡片除数字不同外其余均相同 .小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片 .用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率 . 解析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之
11、和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可 . 答案：画树状图得： 共有 9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有 4种情况， 两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为 49. 18.如图，点 E、 F在 BC上， BE=FC， AB=DC， B= C.求证： A= D. 解析：可通过证 ABF DCE，来得出 A= D的结论 . 答案 ： BE=FC， BE+EF=CF+EF， 即 BF=CE； 又 AB=DC， B= C， ABF DCE(SAS) A= D. 四、解答题 (每小题 7 分，共 28分 ) 19.某商场甲、乙、丙三名业务员 5个月的销售额 (单位：万元 )
12、如下表： (1)根据上表中的数据，将下表补充完整： 解析： (1)根据算术平均数、众数、中位数的定义解答 . 答案： (1)x甲=15(7.2+9.6+9.6+7.8+9.3)=8.7(万元 ) 把乙按照从小到大依次排列，可得 5.8， 5.8， 9.7， 9.8， 9.9； 中位数为 9.7万元 . 丙中出现次数最多的数为 9.9万元 . 补充表格： (2)甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由 . 解析： (2)根据平均数意义进行解答 . 答案： (2)我赞同甲的说法 .甲的平均销售额比乙、丙都高 . 20.图、图、图都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格
13、，每个小等边三角形的顶点称为格点 .线段 AB的端点在格点上 . (1)在图、图 2中，以 AB 为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上 .(所画图形不全等 ) 解析： (1)根据等腰三角形的定义作图可得 . 答案： (1)如图、所示， ABC和 ABD即为所求 . (2)在图中，以 AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上 . 解析： (2)根据平行四边形的判定作图可得 . 答案： (2)如图所示， Y ABCD即为所求 . 21.如图，一枚运载火箭从距雷达站 C处 5km的地面 O处发射，当火箭到达点 A， B时，在雷达站 C处测得点 A， B 的仰角分别为 34， 45，其
14、中点 O， A， B在同一条直线上 .求 A， B两点间的距离 (结果精确到 0.1km). (参考数据： sin34 =0.56， cos34 =0.83， tan34 =0.67.) 解析：在 Rt AOC中，求出 OA、 OC，在 Rt BOC中求出 OB，即可解决问题 . 答案：由题意可得： AOC=90， OC=5km. 在 Rt AOC中， tan34 =OAOC， OA=OC tan34 =5 0.67=3.35km， 在 Rt BOC中， BCO=45， OB=OC=5km， AB=5-3.35=1.65 1.7km， 答：求 A， B两点间的距离约为 1.7km. 22.如图
15、，在平面直角坐标系中，直线 AB与函数 kyx(x 0)的图象交于点 A(m， 2)， B(2，n).过点 A作 AC平行于 x轴交 y轴于点 C，在 y轴负半轴上取一点 D，使 OD=12OC，且 ACD的面积是 6，连接 BC. (1)求 m， k， n的值 . 解析： (1)由点 A的纵坐标为 2知 OC=2，由 OD=12OC知 OD=1、 CD=3，根据 ACD的面积为 6求得 m=4，将 A的坐标代入函数解析式求得 k，将点 B坐标代入函数解析式求得 n. 答案： (1)点 A的坐标为 (m， 2)， AC 平行于 x轴， OC=2， AC y轴， OD=12OC， OD=1， C
16、D=3， ACD的面积为 6， 12CD AC=6， AC=4，即 m=4， 则点 A的坐标为 (4， 2)，将其代入 kyx可得 k=8， 点 B(2， n)在 8yx的图象上， n=4. (2)求 ABC的面积 . 解析： (2)作 BE AC，得 BE=2，根据三角形面积公式求解可得 . 答案： (2)如图，过点 B作 BE AC于点 E，则 BE=2， 112 42 24ABCS A C B E V g， 即 ABC的面积为 4. 五、解答题 (每小题 8 分，共 16分 ) 23.如图， BD是矩形 ABCD的对角线， ABD=30， AD=1.将 BCD沿射线 BD方向平移到BCD
17、的位置，使 B为 BD 中点，连接 AB， CD， AD， BC，如图 . (1)求证：四边形 ABCD是菱形 . 解析： (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可 . 答案： (1) BD是矩形 ABCD的对角线， ABD=30， ADB=60， 由平移可得， BC=BC=AD， DBC= DBC= ADB=60， AD BC 四边形 ABCD是平行四边形， B为 BD中点， Rt ABD中， AB=12BD=DB， 又 ADB=60， ADB是等边三角形， AD=AB， 四边形 ABCD是菱形 . (2)四边形 ABCD的周长为 . 解析： (2)先判定四边形 ABCD是菱
18、形，再根据边长 33A B A D，即可得到四边形ABCD的周长为 4 3 . 答案： (2)由平移可得， AB=CD， ABD= CDB=30， AB CD， 四边形 ABCD是平行四边形， 由 (1)可得， AC BD， 四边形 ABCD是菱形， 33A B A D， 四边形 ABCD的周长为 4 3 . 故答案为： 4 3 . (3)将四边形 ABCD沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长 . 解析： (3)根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长 . 答案： (3)将四边形 ABCD沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼
19、成与其面积相等的矩形如下： 矩形周长为 6+ 3 或 2 3 +3. 24.如图，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水， 28s 时注满水槽 .水槽内水面的高度 y(cm)与注水时间 x(s)之间的函数图象如图所示 . (1)正方体的棱长为 cm. 解析： (1)直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出正方体的棱长 . 答案： (1)由题意可得： 12 秒时，水槽内水面的高度为 10cm， 12 秒后水槽内高度变化趋势改变， 故正方体的棱长为 10cm. 故答案为： 10. (2)求线段 AB对应的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围 . 解析： (2)直接利用待定
20、系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量 x 的取值范围 . 答案： (2)设线段 AB对应的函数解析式为： y=kx+b， 图象过 A(12， 0)， B(28， 20)， 12 1028 20kbkb， 解得：5258kb ， 线段 AB对应的解析式为： 5258yx(12 x 28). (3)如果将正方体铁块取出，又经过 t(s)恰好将此水槽注满，直接写出 t的值 . 解析： (3)利用一次函数图象结合水面高度的变化得出 t的值 . 答案： (3) 28-12=16(s)， 没有立方体时，水面上升 10cm，所用时间为： 16 秒， 前 12 秒由立方体的存在，导致水面上升速度
21、加快了 4秒， 将正方体铁块取出，经过 4秒恰好将此水槽注满 . 六、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 ) 25.如图，在 Rt ABC中， ACB=90， A=45， AB=4cm.点 P从点 A出发，以 2cm/s的速度沿边 AB向终点 B运动 .过点 P作 PQ AB 交折线 ACB于点 Q， D为 PQ 中点，以 DQ为边向右侧作正方形 DEFQ.设正 方形 DEFQ与 ABC重叠部分图形的面积是 y(cm2)，点 P的运动时间为x(s). (1)当点 Q在边 AC上时，正方形 DEFQ的边长为 cm(用含 x的代数式表示 ). 解析： (1)国际已知条件得到 AQP=45，求
22、得 PQ=AP=2x，由于 D为 PQ 中点，于是得到 DQ=x. 答案： (1) ACB=90， A=45， PQ AB， AQP=45， PQ=AP=2x， D为 PQ中点， DQ=x. 故答案为： x. (2)当点 P不与点 B重合时，求点 F落在边 BC上时 x的值 . 解析： (2)如图，延长 FE 交 AB 于 G，由题意得 AP=2x，由于 D为 PQ 中点，得到 DQ=x，求得 GP=2x，列方程于是得到结论 . 答案： (2)如图，延长 FE 交 AB 于 G， 由题意得 AP=2x， D为 PQ中点， DQ=x， GP=2x， 2x+x+2x=4， x=45. (3)当 0
23、 x 2时，求 y关于 x的函数解析式 . 解析： (3)如图，当 0 x 45时，根据正方形的面积公式得到 y=x2；如图，当 45 x1 时，过 C 作 CH AB 于 H，交 FQ 于 K，则 CH=12AB=2，根据正方形和三角形面积公式得到223 2 0 82y x x ；如图，当 1 x 2 时， PQ=4-2x，根据三角形的面积公式得到结论 . 答案： (3)如图， 当 0 x 45时， y=S 正方形 DEFQ=DQ2=x2， y=x2. 如图， 当 45 x 1时，过 C作 CH AB于 H，交 FQ于 K，则 CH=12AB=2， PQ=AP=2x， CK=2-2x， MQ
24、=2CK=4-4x， FM=x-(4-4x)=5x-4， y=S 正方形 DEFQ-S MNF=DQ2-12FM2， 222 235 4 2 0 812 2y x x x x ， 223 2 0 82y x x . 如图， 当 1 x 2时， PQ=4-2x， DQ=2-x， y=S DEQ=12DQ2， y=12(2-x)2， y=12x2-2x+2. (4)直接写出边 BC的中点落在正方形 DEFQ内部时 x的取值范围 . 解析： (4)当 Q 与 C 重合时， E 为 BC 的中点，得到 x=1，当 Q 为 BC 的中点时， BQ= 2 ，得到 x=32，于是得到结论 . 答案： (4)
25、当 Q与 C重合时， E为 BC的中点， 即 2x=2， x=1， 当 Q为 BC的中点时， BQ= 2 ， PB=1， AP=3， 2x=3， x=32， 边 BC 的中点落在正方形 DEFQ内部时 x的取值范围为： 1 x 32. 26.函数的图象与性质拓展学习片段展示： 【问题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a(x-2)2-43经过原点 O，与 x轴的另一个交点为 A，则 a= . 解析：【问题】：把 (0， 0)代入可求得 a的值 . 答案：【问题】 抛物线 y=a(x-2)2-43经过原点 O， 0=a(0-2)2-43， a=13. 故答案为： 13. 【操作】将图中抛物线
26、在 x轴下方的部分沿 x轴折叠到 x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为 G，如图 .直接写出图象 G对应的函数解析式 . 解析：【操作】：先写出沿 x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式 . 答案：【操作】：如图，抛物线： 2313 42yx ， 对称轴是：直线 x=2，由对称性得： A(4， 0)， 沿 x轴折叠后所得抛物线为： 22313 4yx . 如图，图象 G对应的函数解析式为： 2213142 0 4342 0 433y x x xy x x 或 . 【探究】在图中，过点 B(0， 1)作直线 l平行于 x轴，与图象 G的交点从左至右依
27、次为点C， D， E， F，如图 .求图象 G在直线 l上方的部分对应的函数 y随 x增大而增大时 x的取值范围 . 解析：【探究】：令 y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点 CDEF 的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即 y随 x增大而增大，写出 x的取值 . 答案：【探究】：如图，由题意得： 当 y=1时， 2 420313 x ， 解得： x1=2+ 7 ， x2=2- 7 ， C(2- 7 ， 1)， F(2+ 7 ， 1)， 当 y=1时， 2 43 2031 x ， 解得： x1=3， x2=1， D(1， 1)， E(3， 1)， 由图象得：图象 G在直线 l上方的
28、部分，当 1 x 2或 x 2+7时，函数 y随 x增大而增大 . 【应用】 P是图中图象 G上一点，其横坐标为 m，连接 PD， PE.直接写出 PDE的面积不小于 1时 m的取值范围 . 解析： 【应用】：先求 DE的长，根据三角形面积求高的取值 h 1； 分三部分进行讨论： 当 P 在 C 的左侧或 F 的右侧部分时，设 Pm， 21 3 433 m ，根据 h 1，列不等式解出即可； 如图，作对称轴由最大面积小于 1可知：点 P不可能在 DE 的上方； P与 O或 A重合时，符合条件， m=0或 m=4. 答案： 【应用】： D(1， 1)， E(3， 1)， DE=3-1=2， S
29、PDE=12DE h 1， h 1. 当 P在 C的左侧或 F 的右侧部分时，设 Pm， 21 3 433 m ， 21 33 4 113mh ， (m-2)2 10， m-2 10 或 m-2 10 ， m 2+ 10 或 m 2- 10 . 如图，作对称轴交抛物线 G于 H，交直线 CD于 M，交 x轴于 N， H(2， 43)， 4 1113 3HM ， 点 P不可能在 DE的上方 . MN=1， 且 O(0， 0)， a(4， 0)， P不可能在 CO(除 O 点 )、 OD、 EA(除 A点 )、 AF上， P与 O或 A重合时，符合条件， m=0或 m=4. 综上所述， PDE的面积不小于 1时， m的取值范围是： m=0或 m=4或 m 2- 10 或 m 2+ 10 .
