1、2017年四川省绵阳市高考二诊数学理 一、选择题 (共 12 小题，每小题 5分，满分 60 分 ) 1.已知集合 A=x Z|x 2， B=x|(x-1)(x-3) 0，则 A B=( ) A. B.2 C.2， 3 D.x|2 x 3 解析： 集合 A=x Z|x 2， B=x|(x-1)(x-3) 0=x|1 x 3， 则 A B=2. 答案 ： B. 2.若复数 z满足 (1+i)z=i(i是虚数单位 )，则 z的虚部为 ( ) A.12B. 12C.12iD. 12i解析： 由 (1+i)z=i， 得 1 1 1 11 1 1 2 2 2iiiizii i i ， 则 z的虚部为：
2、12. 答案： A. 3.某校共有在职教师 200人，其中高级教师 20 人，中级教师 100人，初级教师 80人，现采用分层抽样抽取容量为 50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为 ( ) A.25 B.20 C.12 D.5 解析： 初级教师 80人， 抽取一个容量为 50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为 80200 n50， 解得 n=20，即初级教师人数应为 20人， 答案： B. 4.“ a=1”是“直线 l1： ax+(a-1)y-1=0与直线 l2： (a-1)x+(2a+3)y-3=0垂直”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D
3、.既不充分也不必要条件 解析： 若直线 l1： ax+(a-1)y-1=0与直线 l2： (a-1)x+(2a+3)y-3=0垂直， 则： a(a-1)+(a-1)(2a+3)=0，解得： a=1或 -1， 故“ a=1”是“直线 l1： ax+(a-1)y-1=0与直线 l2： (a-1)x+(2a+3)y-3=0垂直”的充分不必要条件 . 答案： A. 5.某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为 12，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利 20 万元，若每个项目失败都亏损 5万元，该公司三个投资项目获利的期望为 ( ) A.30万元 B.22.5万元 C.10 万元
4、 D.7.5万元 解析： 设该公司投资成功的各数为 X，则 X B(3， 12). 13322EX . 该公司三个投资项目获利的期望 = 32(20-5)=22.5万元 . 答案： B 6.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a， b分别为 5， 2，则输出的 n等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析： 当 n=1时， 152a， b=4，满足进行循环的条件， 当 n=2时， 454a， b=8满足进行循环的条件， 当 n=3时， 1358a， b=16满足进行循环的条
5、件， 当 n=4时， 40516a， b=32不满足进行循环的条件， 故输出的 n值为 4. 答案： C. 7.若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例： 112， 232，则不超过 200的“单重数”个数是 ( ) A.19 B.27 C.28 D.37 解析： 由题意，不超过 200，两个数字一样为 0，有 2个， 两个数字一样为 1， 110， 101， 112， 121， 113， 131， 114， 141， 115， 151， 116， 161， 117，171， 118， 181， 119， 191，有 18 个， 两个数字一
6、样为 2， 122，有一个， 同理两个数字一样为 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，各 1个， 综上所述，不超过 200的“单重数”个数是 2+18+8=28. 答案： C. 8.过点 P(2， 1)的直线 l 与函数 2324xfx x 的图象交于 A， B 两点， O 为坐标原点，则O A O P O B O P =( ) A. 5 B.25 C.5 D.10 解析： 723 2=12 4 2xfxxx， 函数 2324xfx x 的图象关于点 P(2， 1)对称， 过点 P(2， 1)的直线 l与函数 2324xfx x 的图象交于 A， B两点， A， B两点关于点 P(2， 1
7、)对称， =2O A O B O P ， 则 22O A O P O B O P O P O A O B O P ， 22 1 5OP ， 则 = 2 5 = 1 0O A O P O B O P . 答案： D. 9.已知 cos， sin是函数 f(x)=x2-tx+t(t R)的两个零点，则 sin2 =( ) A. 2 2 2 B. 2 2 2 C. 21 D.12 解析： cos， sin是函数 f(x)=x2-tx+t(t R)的两个零点， sin +cos =t， sin cos =t， 由 sin2 +cos2 =1， 得 (sin +cos )2-2sin cos =1，即
8、t2-2t=1，解得 t=12 ，或 t=12 (舍 ). sin2 =2sin cos =2t= 2 2 2 . 答案： A. 10.设 F1， F2分别为双曲线 C： 221xyab (a 0， b 0)的两个焦点， M， N是双曲线 C的一条渐近线上的两点，四边形 MF1NF2为矩形， A为双曲线的一个顶点，若 AMN的面积为 212c，则该双曲线的离心率为 ( ) A.3 B.2 C. 3 D. 2 解析： 设 M(x， bxa)，由题意， |MO|=c，则 x=a， M(a， b)， AMN的面积为 212c， 21124a b c， 4a2(c2-a2)=c4， e4-4e2+4=
9、0， e= 2 . 答案： D. 11.已知点 P(-2， 142)在椭圆 C： 221xyab (a b 0)上，过点 P作圆 C： x2+y2=2的切线，切点为 A， B，若直线 AB恰好过椭圆 C的左焦点 F，则 a2+b2的值是 ( ) A.13 B.14 C.15 D.16 解析： 由题意，以 OP为直径的圆的方程为 22 1 4 1 5148xy . 与圆 C： x2+y2=2 相减，可得直线 AB的方程为 142 2 02xy ， 令 y=0，可得 x=-1， c=1， 2274 2 1ab， a2=8， b2=7， a2+b2=8+7=15， 答案： C. 12.已知 f(x)
10、=ex， g(x)=lnx，若 f(t)=g(s)，则当 s-t取得最小值时， f(t)所在区间是 ( ) A.(ln2， 1) B.(12， ln2) C.( 113 e，) D. 112e，解析： 令 f(t)=g(s)=a，即 et=lns=a 0， t=lna， s=ea， s-t=ea-lna， (a 0)， 令 h(a)=ea-lna， 1ah a e a y=ea递增， 1ya递减， 故存在唯一 a=a0使得 h (a)=0， 0 a a0时， 1aea， h (a) 0， a a0时， 1aea， h (a) 0， h(a)min=h(a0)， 即 s-t取最小值是时， f(t
11、)=a=a0， 由零点存在定理验证001 0ae a的根的范围： 0 12a 时，001 0ae a ， a0=ln2时，001 0ae a ， 故 a0 (12， ln2)， 答案： B. 二、填空题 (共 4小题，每小题 5分，满分 20分 ) 13. 52 111xx的展开式的常数项为 _. 解析： 由于 5225 4 3 21 1 5 1 0 1 0 51 1 1 1xxx x x x x x ， 故展开式的常数项为 -10-1=-11. 答案： -11. 14.已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为 12和 13，现让他们独立地破译这种密码，则至少有 1人能译出密码的概率为 _.
12、解析： 甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为 12和 13， 现让他们独立地破译这种密码， 至少有 1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码， 至少有 1人能译出密码的概率： 1 1 21 1 12 3 3p . 答案： 23. 15.已知直线 mx-y+m+2=0与圆 C1： (x+1)2+(y-2)2=1 相交于 A， B两点，点 P是圆 C2： (x-3)2+y2=5上的动点，则 PAB面积的最大值是 _. 解析： 由题意，直线恒过定点 (-1， 2)，即 C1圆的圆心， |AB|=2 圆心 C2到直线 mx-y+m+2=0 的最大距离为 2 23 1 2 2 5 ， P到直线 mx
13、-y+m+2=0的最大距离为 35， PAB面积的最大值是 1 2 3 5 3 52 . 答案： 35. 16.已知抛物线 C： y2=4x，焦点为 F，过点 P(-1， 0)作斜率为 k(k 0)的直线 l与抛物线 C交于A， B两点，直线 AF， BF分别交抛物线 C于 M， N两点，若 18A F B FF M F N，则 k=_. 解析： 由题意，图形关于 x轴对称， A， B， P三点共线，可得1211yyxx. 由焦半径公式 |AF|=x1+1=|NF|， |BF|=x2+1=|MF|， 122118A F B F yyF M F N y y ， (y1+y2)2=20y1y2，
14、由 2 41yxy k x，可得 ky2-4y+4k=0， 124yyk， y1y2=4，216 80k ， k 0， 55k. 答案： 55. 三、解答题 (共 5小题，满分 60分 ) 17.数列 an中， an+2-2an+1+an=1(n N*)， a1=1， a2=3. (1)求证： an+1-an是等差数列； (2)求数列 1na的前 n项和 Sn. 解析： (1)令 cn=an+1-an，通过 cn+1-cn=1，说明 an+1-an是以 2为首项， 1为公差的等差数列 . (2)由 (1)知 cn=n+1，求出 an，化简 1 2 1 1211na n n n n .利用裂项求
15、和求解即可 . 答案 ： (1)证明：令 cn=an+1-an， 则 cn+1-cn=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an=1(常数 )， c1=a2-a1=2， 故 an+1-an是以 2为首项， 1为公差的等差数列 . (2)由 (1)知 cn=n+1，即 an+1-an=n+1， 于是 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1=n+(n-1)+ +2+1= 12nn ， 故 1 2 1 1211na n n n n . 1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 22 2 3 3 4 1nS nn （ ）= 1211n=
16、21nn. 18.已知在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 a b c， C=2A. (1)若 2ca ，求角 A； (2)是否存在 ABC恰好使 a， b， c是三个连续的自然数？若存在，求 ABC的周长；若不存在，请说明理由 . 解析： (1) 由正弦定理有 s i n 2 s i nCA ，又 C=2A ，利用倍角公式可求2 s i n c o s 2 s i nA A A ，结合 sinA 0，可得 2cos2A ，即可得解 A的值 . (2)设 a=n， b=n+1， c=n+2， n N*.由已知利用二倍角公式可求 s i nc o s2 s i n
17、2CcA Aa ，由余弦定理得 22 212 22 1 2 2n n n nn n n ，解得 n=4，求得 a， b， c 的值，从而可求 ABC的周长 . 答案： (1) 2ca ， 由正弦定理有 s in 2 s inCA . 又 C=2A，即 s i n 2 2 s i nAA ， 于是 2 s i n c o s 2 s i nA A A ， 在 ABC中， sinA 0，于是 2cos2A ， 4A . (2)根据已知条件可设 a=n， b=n+1， c=n+2， n N*. 由 C=2A，得 sinC=sin2A=2sinAcosA， s i nc o s2 s i n 2CcA
18、 Aa . 由余弦定理得 2 2 222b c a cb c a ，代入 a， b， c可得： 22 212 22 1 2 2n n n nn n n ， 解得 n=4， a=4， b=5， c=6，从而 ABC的周长为 15， 即存在满足条件的 ABC，其周长为 15. 19. 2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自 A1， A2， A3， A4， A5等 5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示： 单位 A1 A2 A3 A4 A5 平均身高 x(单位： cm) 170 174 176 18
19、1 179 平均得分 y 62 64 66 70 68 (1)根据表中数据，求 y关于 x的线性回归方程； (系数精确到 0.01) (2)若 M 队平均身高为 185cm，根据 (1)中所求得的回归方程，预测 M 队的平均得分 (精确到0.01) 注：回归当初 y bx a 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 121ninix i x y i ybx i x ， a y bx . 解析： (1)求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程； (2)当 x=185代入回归直线方程，即可预测 M队的平均得分 . 答案： (1)由已知有 x =176， y =66， 12
20、127 0 . 7 337ninix i x y i ybx i x ， 6 2 .4 8a y b x ， y=0.73x-62.48. (2)x=185，代入回归方程得 y=0.73 185-62.48=72.57， 即可预测 M队的平均得分为 72.57. 20.已知椭圆 C： 221xyab (a b 0)的右焦点 F( 6 ， 0)，过点 F作平行于 y轴的直线截椭圆 C所得的弦长为 2 . (1)求椭圆的标准方程； (2)过点 (1， 0)的直线 l交椭圆 C于 P， Q两点， N点在直线 x=-1上，若 NPQ是等边三角形，求直线 l的方程 . 解析： ( ) 设椭圆 C 的焦半
21、距为 c，则 c= 6 ，于是 a2-b2=6.把 x=c 代入椭圆的标准方程可得： 2bya，即 22 2ba ，联立解出即可得出 . ( )设直线 PQ： x=ty+1， P(x1， y1)， Q(x2， y2).联立直线与椭圆方程可得： (t2+4)y2+2ty-7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出 . 答案： ( )设椭圆 C的焦半距为 c，则 c= 6 ，于是 a2-b2=6. 把 x=c 代入椭圆的标准方程可得： 221cyab ，整理得 2422221cbybaa ，解得2bya， 22 2ba ，即 a2=2b4， 2b4-b2-6=
22、0，解得 b2=2，或 2 32b (舍去 )，进而 a2=8， 椭圆 C的标准方程为 22182xy. ( )设直线 PQ： x=ty+1， P(x1， y1)， Q(x2， y2). 联立直线与椭圆方程：22148x tyxy，消去 x得： (t2+4)y2+2ty-7=0， 12 2 2 4tyy t ，12 2 7 4yy t . 于是 1 2 1 2 2 82 4x x t y y t ， 故线段 PQ的中点224 44tD tt，. 设 N(-1， y0)，由 |NP|=|NQ|，则 kND kPQ=-1， 即 0 224414tyt tt ，整理得0 2 3 4tytt ，得 N
23、(-1，23 4tt t ). 又 NPQ是等边三角形， 32N D P Q，即 2234N D P Q， 即 2 2 222 2 2 24 4 3 2 71 1 44 4 4 4 4ttttt t t t ， 整理得 22222 28 2 4 8 44 4ttt t ， 解得 t2=10， t= 10 ， 直线 l的方程是 x 10 y-1=0. 21.已知函数 1 l n 12mf x xx (m R)的两个零点为 x1， x2(x1 x2). (1)求实数 m的取值范围； (2)求证：121 1 2x x e . 解析： (1)求导数，分类讨论，利用函数 1 l n 12mf x xx
24、(m R)的两个零点，得出112022ln m ，即可求实数 m的取值范围； (2)由题意方程 ln 22tm t有两个根为 t1， t2，不妨设1 11t x ，2 21t x ，要证明121 1 2x x e ，即证明122tte ，即证明 h(t1) h(2e-t2).令 (x)=h(x)-h(2e-x)，证明 (x) 0 对任意 x (0，1e )恒成立即可 . 答案： (1) 222xmfx x . m 0， f (x) 0， f(x)在 (0， + )上单调递增，不可能有两个零点； m 0， f (x) 0可解得 x 2m， f (x) 0可解得 0 x 2m， f(x)在 (0，
25、 2m)上单调递减，在 (2m， + )上单调递增， m i n112 l n 222f x f m m ， 由题意， 112022ln m ， 0 m2e； (2)证明：令 t=1x， 11l n 1 02f m t tx ， 由题意方程 ln 22tm t有两个根为 t1， t2，不妨设1 11t x ，2 21t x . 令 h(t)= ln 22tt，则 h (t)=212lntt ， 令 h (t) 0，可得 0 t 1e，函数单调递增； h (t) 0，可得 t 1e，函数单调递减 . 由题意， t1 1e t2 0， 要证明121 1 2x x e ，即证明 122tte ，即证
26、明 h(t1) h(2e -t2). 令 (x)=h(x)-h(2e-x)， 下面证明 (x) 0对任意 x (0， 1e)恒成立， 222l n 1l n 12 22xxexxxe ， x (0， 1e)， -lnx-1 0， 22 2xxe ， 22l n 2022xxexxe ， (x)在 (0， 1e)上是增函数， (x) (1e)=0， 原不等式成立 . 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.已知曲线 C的参数方程是 3 co ssinxy(为参数 ) (1)将 C的参数方程化为普通方程； (2)在直角坐标系 xOy中， P(0， 2)，以原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极
27、坐标系，直线 l的极坐标方程为 c o s 3 s i n 2 3 0 ， Q为 C上的动点，求线段 PQ的中点M到直线 l的距离的最小值 . 解析： (1)消去参数，将 C的参数方程化为普通方程； (2)将直线 l 的方程化为普通方程为 3 2 3 0xy .设 Q( 3 cos， sin )，则 M31c o s 1 s i n22，利用点到直线的距离公式，即可求线段 PQ 的中点 M 到直线 l 的距离的最小值 . 答案： (1)消去参数得，曲线 C的普通方程得 2 2 13x y. (2)将直线 l 的方程化为普通方程为 3 2 3 0xy . 设 Q( 3 cos， sin )，则
28、M 31c o s 1 s i n22， 3 3 6c o s 3 s i n 2 3 s i n 3 32 2 2 ( 422)d ， 最小值是 6 3 64. 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|x-1|+|x-t|(t R) (1)t=2时，求不等式 f(x) 2的解集； (2)若对于任意的 t 1， 2， x -1， 3， f(x) a+x恒成立，求实数 a的取值范围 . 解析： (1)通过讨论 x的范围，去掉绝对值解关于 x的不等式，求出不等式的解集即可； (2)问题等价于 a f(x)-x，令 g(x)=f(x)-x，求出 g(x)的最小值，从而求出 a的范围即可
29、 . 答案： (1)当 t=2时， f(x)=|x-1|+|x-2|， 若 x 1，则 f(x)=3-2x，于是由 f(x) 2，解得 x 12，综合得 x 12； 若 1 x 2，则 f(x)=1，显然 f(x) 2不成立； 若 x 2，则 f(x)=2x-3，于是由 f(x) 2，解得 x 52，综合得 x 52不等式 f(x) 2的解集为 x|x 12，或 x 52. (2)f(x) a+x等价于 a f(x)-x，令 g(x)=f(x)-x， 当 -1 x 1时， g(x)=1+t-3x，显然 g(x)min=g(1)=t-2， 当 1 x t时， g(x)=t-1-x，此时 g(x) g(1)=t-2， 当 t x 3时， g(x)=x-t-1， g(x)min=g(1)=t-2， 当 x 1， 3时， g(x)min=t-2， 又 t 1， 2， g(x)min -1，即 a -1， 综上， a的取值范围是 a -1.
