1、2010年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷 B及答案解析(总分:14.00,做题时间:90 分钟)一、计算题(总题数:2,分数:4.00)1.设测量一个长方体的长、宽、高的相对误差限分别为 ,由测量的数据计算该长方体的体积 V,所得结果的相对误差限为多少?(分数:2.00)_2.分析方程 sin 2 x+1=x存在几个实根;用迭代法求出这些实根(要求精确至 4位有效数字),并说明所用迭代格式为什么是收敛的(分数:2.00)_二、综合题(总题数:5,分数:10.00)3.给定线性方程组 (分数:2.00)_4.设 f(x)=2x-x 2 ,x0,1,求 f(x)的 1次最佳平方逼近多项
2、式(分数:2.00)_5.作一个 3次多项式 H(x),使得 H(a)=0,H“(a)=b,H(b)=0,H“(b)=a(分数:2.00)_6.设 f(x)C 2 a,b 1)写出 f(x)以 a,b 为插值节点的一次插值多项式 L 1 (x)及其插值余项 f(x)-L 1 (x); 2)推导出计算 I(f)= (分数:2.00)_7.给定常微分方程初值问题 取正整数 n,并记 h=(ba)/n,x i =a+ih,0in试分析下列预测-校正公式 (分数:2.00)_2010年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷 B答案解析(总分:14.00,做题时间:90 分钟)一、计算题(总题数:2
3、,分数:4.00)1.设测量一个长方体的长、宽、高的相对误差限分别为 ,由测量的数据计算该长方体的体积 V,所得结果的相对误差限为多少?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,则 V=abc由条件知e r (a),e r (b),e r (c),dV=bcda+acdb+abdc, )解析:2.分析方程 sin 2 x+1=x存在几个实根;用迭代法求出这些实根(要求精确至 4位有效数字),并说明所用迭代格式为什么是收敛的(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将方程 sin 2 x+1=x改写为 sin 2 x=x-1,作函数 y 1 =sin 2
4、x和 y 2 =x-1的图像(如下图)知方程有唯一实根 x * 记 f(x)=sin 2 x+1-x,则 f“(x)=2sinxcosx-1=sin2x-1,f“(x)=2cos2x考虑区间 )解析:二、综合题(总题数:5,分数:10.00)3.给定线性方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:1)Jacobi 迭代格式为 迭代矩阵 J的特征方程为 展开得 12 2 9=0,求得 因为 所以 Jacobi迭代格式收敛 2)Gauss-Seidel 迭代格式为 迭代矩阵G的特征方程为 展开得 12 2 9=0,求得 1 =0, 2 = 因为 )解析:4.设 f(x)=2x-x 2 ,x0
5、,1,求 f(x)的 1次最佳平方逼近多项式(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 f(x)的 1次最佳平方逼近多项式为 p(x)=a 0 +a 1 x取 0 (x)=1, 1 (x)=x,则( 0 , 0 )= 0 1 adx=1,( 0 , 1 )= 0 1 xdx= )解析:5.作一个 3次多项式 H(x),使得 H(a)=0,H“(a)=b,H(b)=0,H“(b)=a(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 H(a)=0,H(b)=0,可设 H(x)=(xa)(x-b)c 1 (xa)+c 2 (bx)=(xa)f(x)=(x-b)g(x),其中 f(x)=(x-b)c 1
6、 (xa)+c 2 (bx),g(x)=(xa)c 1 (xa)+c 2 (bx)求导得 H“(x)=2f“(x)+(xa)f“(x),H“(a)=2f“(a)=b,H“(x)=2g“(x)+(xb)g)解析:6.设 f(x)C 2 a,b 1)写出 f(x)以 a,b 为插值节点的一次插值多项式 L 1 (x)及其插值余项 f(x)-L 1 (x); 2)推导出计算 I(f)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:1) f(x)-L 1 (x)= f“()(xa)(x-b),=(x)(a,b) 2)T(f)= a b L 1 (x)dx= )解析:7.给定常微分方程初值问题 取正整数 n,并记 h=(ba)/n,x i =a+ih,0in试分析下列预测-校正公式 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:局部截断误差 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )- f(y(x i )+f(y(x i )+f(y(x i )=y(x i+1 )-y(x i )- y“(x i )- )解析: