1、2011年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.给定方程 2x 3 3x 2 1=0 1)分析该方程存在几个实根，给出每个根所在的区间； 2)用适当的迭代法求出这些实根，精确到 4位有效数字； 3)说明所用迭代法为什么是收敛的（分数：2.00）_2.用列主元 Gauss消去法解线性方程组 （分数：2.00）_二、证明题(总题数：3，分数：6.00)3.设 AR nn ，A1记 S k =I+A+A 2 +A k ：其中 I为单位矩阵 证明： 1)IA 可逆； 2) （分数：2.00）_4
2、.设 x 0 ，x 1 ，x 为互不相同的(n+1)个节点记 a=minx 0 ，x 1 ，x n ，b=maxx 0 ，x 1 ，x n 设 f(x)C n a,b， 证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_5.设 a=x 0 x 1 x n =b，f(x)C 1 a，b，P(x)=c 0 +c 1 x 给定数据表 记 F(c 0 ，c 1 )= （分数：2.00）_三、综合题(总题数：5，分数：10.00)6.设 f(x)C 4 a,b，I(f)= a b f(x)dx取正整数 n，将区间a，b作 n等分，并记 h=(ba)n，x i =a+ih，i=0，1，n 1)写出计算 I
3、(f)的 Simpson求积公式 S(f)，求出该求积公式的代数精度，并验证之； 2)写出计算 I(f)的复化 Simpson求积公式 S n (f)，并指出它是一个几阶公式（分数：2.00）_7.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 x i =a+ih，0 in，分析求解公式 y i+1 =y i-1 + （分数：2.00）_8.给定常微分方程两点边值问题 （分数：2.00）_9.设抛物方程初边值问题 (A) 有光滑解 u(x，t)，其中 ，0c 0 a(x，t)C 1 取正整数 M和 N，并记 h=1M，=TN；x i =ih，0iM；t k =k，0kN对(A)建立如下差分格式： （
4、分数：2.00）_10.设 v=v i k 0iM，0kN为差分格式 的解，其中 另记 试证明： （分数：2.00）_2011年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.给定方程 2x 3 3x 2 1=0 1)分析该方程存在几个实根，给出每个根所在的区间； 2)用适当的迭代法求出这些实根，精确到 4位有效数字； 3)说明所用迭代法为什么是收敛的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)令 f(x)=2x 3 3x 2 1，则 f“(x)=6x 2 6x=6x(x-1)f“(x)=0 有两
5、个根 x 0 =0，x 1 =1，且 f(x 1 )=-1，f(x 1 )=-2，f(2)=28341=5 根据下表： )解析：2.用列主元 Gauss消去法解线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价三角方程组为 )解析：二、证明题(总题数：3，分数：6.00)3.设 AR nn ，A1记 S k =I+A+A 2 +A k ：其中 I为单位矩阵 证明： 1)IA 可逆； 2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)设方程(IA)x=0有解 x * ，则 x * =Ax * ，两边取范数得x * =Ax * Ax * ，即(1-A)x * 0因为A1，所以x * =
6、0，x * =0，即方程只有零解，因而 IA可逆 2)因为A k+1 A k+1 ，A1，所)解析：4.设 x 0 ，x 1 ，x 为互不相同的(n+1)个节点记 a=minx 0 ，x 1 ，x n ，b=maxx 0 ，x 1 ，x n 设 f(x)C n a,b， 证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不失一般性可假设 x 0 x 1 x n ，考虑 f(x)的以 x 0 ，x 1 ，x n 为插值节点的 n次 Newton插值多项式 N n (x)=f(x 0 )+fx 0 ，x 1 (xx 0 )+fx 0 ，x 1 ，x n (x)解析：5.设 a
7、=x 0 x 1 x n =b，f(x)C 1 a，b，P(x)=c 0 +c 1 x 给定数据表 记 F(c 0 ，c 1 )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 P(x)=c 0 +c 1 x，P“(x)=c 1 ，所以 F(c 0 ，c 1 )= f(x i )-c 0 c 1 x i 2 +f“(x i )-c 1 2 ， )解析：三、综合题(总题数：5，分数：10.00)6.设 f(x)C 4 a,b，I(f)= a b f(x)dx取正整数 n，将区间a，b作 n等分，并记 h=(ba)n，x i =a+ih，i=0，1，n 1)写出计算 I(f)的 Simpson求
8、积公式 S(f)，求出该求积公式的代数精度，并验证之； 2)写出计算 I(f)的复化 Simpson求积公式 S n (f)，并指出它是一个几阶公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)计算 I(f)的 Simpson公式为 当 f(x)=1时，有 I(f)=ba，S(f)=ba，I(f)=S(f)； 当 f(x)=x时，有 I(f)= a b xdx= (b 2 -a 2 )，s(f)= I(f)=S(f) 当 f(x)=x 2 时，有 I(f)= a b x 2 dx= )解析：7.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 x i =a+ih，0 in，分析求解公式 y i+1 =
9、y i-1 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：局部截断误差为 R i+1 )解析：8.给定常微分方程两点边值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由 Taylor展开得 u(x i+1 )-2u(x i )+u(x i-1 )=u“(x i )+ u (4) ( i )， i (x i-1 ,x i+1 )，代入方程得 在上式中去掉小量项 R i = )解析：9.设抛物方程初边值问题 (A) 有光滑解 u(x，t)，其中 ，0c 0 a(x，t)C 1 取正整数 M和 N，并记 h=1M，=TN；x i =ih，0iM；t k =k，0kN对(A)建立如下差分格式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)Taylor 展开得 u(x i ，t k-1 )=u(x i ，t k )-u t (x i ，t k )+ )解析：10.设 v=v i k 0iM，0kN为差分格式 的解，其中 另记 试证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由差分格式得 1iM-1，lkN-1用 乘上式，并对 i求和，有 分部求和得 即有 1kN-1，递推得 1kN-1 2)将方程 liM-1 两边同乘以 可得 1iM-1 即有 上式两边同乘 h后关于 i求和，并利用分部求和公式得 即得 3)利用等式 两边平方并利用 Young不等式得 即 )解析：
