1、管理类专业学位联考综合能力数学（几何）-试卷 3 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、问题求解(总题数：25，分数：50.00)1.若 （分数：2.00）A.一、三B.一、二C.一、二、三D.二、三E.一、四2.方程(a-1)xy+2a+1=0(aR)所表示的直线( )（分数：2.00）A.恒过定点(-2，3)B.恒过定点(2，3)C.恒过点(-2，3)和点(2，3)D.都是平行直线E.以上结论均不正确3.直线(2 一 1)x 一( 一 2)y 一(+4)=0 恒过定点( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(2，3)C.(3，2)D.(一 2，3)E.(3，一 2)4.
2、设 A，B 是两个圆(x-2) 2 +(y+2) 2 =3 和(x-1) 2 +(y-1) 2 =2 的交点，则过 A，B 两点的直线方程为( )（分数：2.00）A.2x+4y 一 5=0B.2x 一 6y 一 5=0C.2x-6y+5=0D.2x+6y 一 5=0E.4x 一 2y 一 5=05.在直角坐标系中，若平面区域 D 中所有点的坐标(x，y)均满足：0x6，0y6，|yz|3，x 2 +y 2 9，则 D 的面积是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.6.曲线 y=|x|与圆 x 2 +y 2 =4 所围成区域的最小面积为( )（分数：2.00）A.B.C.D.4E.67
3、.曲线|xy|+1=|x|+|y|所围成的图形的面积为( )（分数：2.00）A.B.C.1D.2E.48.已知 0k4，直线 l 1 ：kx 一 2y-2k+8=0 和直线 l 2 ：2x+k 2 y 一 4k 2 一 4=0 与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积最小值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.9.点(0，4)关于直线 2x+y+1=0 的对称点为( )（分数：2.00）A.(2，0)B.(一 3，0)C.(-6，1)D.(4，2)E.(-4，2)10.点 P(一 3，一 1)关于直线 3x+4y 一 12=0 的对称点 P是( )（分数：2.00）A.(2，8)
4、B.(1，3)C.(8，2)D.(3，7)E.(7，3)11.点 M(一 5，1)关于 y 轴的对称点 M“与点 N(1，-1)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是( )（分数：2.00）A.B.C.y=-2(x-3)D.E.y=-2(x+3)12.光线经过点 P(2，3)照射在 x+y+1=0 上，反射后经过点 Q(3，-2)，则反射光线所在的直线方程为( )（分数：2.00）A.7x+5y+1=0B.x+7y 一 17=0C.x 一 7y+17=0D.x 一 7y 一 17=0E.7x-5y+1=013.直线 l 1 ：x 一 y 一 2=0 关于直线 l 2 ：3xy+3=0 的对称
5、直线 l 3 的方程为( )（分数：2.00）A.7xy+22=0B.x+7y+22=0C.x 一 7y 一 22=0D.7x+y+22=0E.7xy 一 22=014.以直线 y+x=0 为对称轴且与直线 y 一 3x=2 对称的直线方程为( )（分数：2.00）A.B.C.y=一 3x 一 2D.y=-3x+2E.以上都不是15.已知圆 C 与圆 x 2 +y 2 一 2x=0 关于直线 x+y=0 对称，则圆 C 的方程为( )（分数：2.00）A.(x+1) 2 +y 2 =1B.x 2 +y 2 =1C.x 2 +(y+1) 2 =1D.x 2 +(y 一 1) 2 =1E.(x 一
6、 1) 2 +(y+1) 2 =116.已知圆 x 2 +y 2 =4 与圆 x 2 +y 2 一 6x+6y+14=0 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是( )（分数：2.00）A.x 一 2y+1=0B.2x-y-1=0C.x-y+3=0D.xy 一 3=0E.x+y+3=017.曲线 x 2 一 2x+y 2 =0 上的点到直线 3x+4y-12=0 的最短距离是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.18.设 A，B 分别是圆周(x 一 3) 2 + =3 上使得 取到最大值和最小值的点，O 是坐标原点，则AOB 的大小为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.19.
7、动点 P(x，y)在圆 x 2 +y 2 一 1=0 上，则 的最大值是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.20.已知直线 axby+3=0(a0，b0)过圆 x 2 +4x+y 2 一 2y+1=0 的圆心，则 ab 的最大值为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.21.若 x，y 满足 x 2 +y 2 -2x+4y=0，则 x-2y 的最大值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.22.在圆 x 2 +y 2 =4 上，与直线 4x+3y-12=0 距离最小的点坐标是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.23.已知两点 A(一 2，0)，B(0，2)，
8、点 C 是圆 x 2 +y 2 一 4x+4y+6=0 上任意一点，则点 C 到直线 AB 距离的最小值是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.24.圆 x 2 +y 2 一 8x-2y+10=0 中过 M(3，0)点的最长弦和最短弦所在直线方程分别是( ).（分数：2.00）A.x 一 y-3=0，x+y-3=0B.x-y-3=0，x-y+3=0C.x+y-3=0，xy 一 3=0D.x+y 一 3=0，xy+3=0E.以上结论均不正确25.若 x，y 满足不等式(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 1，则 x+y 的最大值是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.二、条件
9、充分性判断(总题数：1，分数：20.00)A.条件(1)充分，但条件(2)不充分 B.条件(2)充分，但条件(1)不充分 C.条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分 D.条件(1)充分，条件(2)也充分 E.条件(1)和(2)单独都不充分，两个条件联合起来也不充分（分数：20.00）(1).直线 y=kx+b 经过第三象限的概率是 （分数：2.00）A.B.C.D.E.(2).直线 l：ax+by+c=0 恒过一、二、三象限 (1)ab0 且 bc0(2)ab0 且 ac0（分数：2.00）A.B.C.D.E.(3).方程 x 2 +axy+16y 2 +bx+4
10、y-72=0 表示两条平行直线 (1)a=一 8 (2)b=一 1（分数：2.00）A.B.C.D.E.(4).圆(x 一 1) 2 +(y 一 2) 2 =4 和直线(1+2)x+(1 一 )y 一 33=0 相交于两点 （分数：2.00）A.B.C.D.E.(5).曲线 ax 2 +by 2 =1 通过 4 个定点 (1)a+b=1 (2)a+b=2（分数：2.00）A.B.C.D.E.(6).如图 640 所示，在直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标是(6，4)，则直线 l 将矩形 OABC分成了面积相等的两部分 （分数：2.00）A.B.C.D.E.(7).直线
11、y= （分数：2.00）A.B.C.D.E.(8).圆 C 1 是圆 C 2 ：x 2 +y 2 +2x 一 6y 一 14=0 关于直线 y=x 的对称圆 (1)圆 C 1 ：x 2 +y 2 一 2x一 6y 一 14=0 (2)圆 C 1 ：x 2 +y 2 +2y 一 6x 一 14=0（分数：2.00）A.B.C.D.E.(9).已知实数 x，y 满足 x 2 +y 2 一 2x+ay-11=0，则 x 2 +y 2 的最小值为 （分数：2.00）A.B.C.D.E.(10).点 P 在圆 O 1 上，点 Q 在圆 O 2 上，则|PQ|的最小值是 （分数：2.00）A.B.C.D.
12、E.管理类专业学位联考综合能力数学（几何）-试卷 3 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、问题求解(总题数：25，分数：50.00)1.若 （分数：2.00）A.一、三B.一、二 C.一、二、三D.二、三E.一、四解析：解析： 在等式的每一部分都加 1，得 故当 a+b+c=0 时，k=一 1； 当 a+b+c0 时，a=b=c，故 k+1=3，k=22.方程(a-1)xy+2a+1=0(aR)所表示的直线( )（分数：2.00）A.恒过定点(-2，3) B.恒过定点(2，3)C.恒过点(-2，3)和点(2，3)D.都是平行直线E.以上结论均不正确解析：解析：直线(a 一 1
13、)xy+2a+1=0，可以理解为两条直线 a(x+2)=0 与 x+y 一 1=0 所成的直线系，恒过两直线的交点(一 2，3)3.直线(2 一 1)x 一( 一 2)y 一(+4)=0 恒过定点( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(2，3) C.(3，2)D.(一 2，3)E.(3，一 2)解析：解析：将原方程整理为(2xy 一 1) 一(x 一 2y+4)=0，故有4.设 A，B 是两个圆(x-2) 2 +(y+2) 2 =3 和(x-1) 2 +(y-1) 2 =2 的交点，则过 A，B 两点的直线方程为( )（分数：2.00）A.2x+4y 一 5=0B.2x 一 6y 一 5=
14、0 C.2x-6y+5=0D.2x+6y 一 5=0E.4x 一 2y 一 5=0解析：解析：5.在直角坐标系中，若平面区域 D 中所有点的坐标(x，y)均满足：0x6，0y6，|yz|3，x 2 +y 2 9，则 D 的面积是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.E.解析：解析：画图象可知，D 为图 6-39 中的阴影部分，故面积为6.曲线 y=|x|与圆 x 2 +y 2 =4 所围成区域的最小面积为( )（分数：2.00）A.B.C. D.4E.6解析：解析：曲线 与圆 x 2 +y 2 =4 所围面积为圆的四分之一；故所围成的面积为 7.曲线|xy|+1=|x|+|y|所围成的图
15、形的面积为( )（分数：2.00）A.B.C.1D.2E.4 解析：解析：分情况讨论： (1)当 x0，y0 时，|xy|+1=|x|+|y|可化简为 xy+1=x+y， 整理可得(x1)(y 一 1)=0，得 x=1 或 y=1，是两条线段 (2)当 x0，y0 时，|xy|+1=|x|+|y|可化简为一 xy+1=xy， 整理可得(x 一 1)(y+1)=0，得 x=1 或 y=-1，是两条线段 (3)当 x0，y0 时，|xy|+1=|x|+|y|可化简为一 xy+1=一 x+y， 整理可得(x+1)(y 一 1)=0，得 x=一 1 或 y=1，是两条线段 (4)当 x0，y0时，|x
16、y|+1=|x|+|y|可化简为 xy+1=一 xy， 整理可得(x+1)(y+1)=0，得 x=一 1 或 y=一 1，是两条线段 可得图像如图 641 所示：8.已知 0k4，直线 l 1 ：kx 一 2y-2k+8=0 和直线 l 2 ：2x+k 2 y 一 4k 2 一 4=0 与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积最小值为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.E.解析：解析：l 1 的方程可化为 k(x 一 2)一 2y+8=0，不论 k 取何值，直线恒过定点 M(2，4)，l 1 与两坐标轴的交点坐标是 B(0，4 一 k)； l 2 的方程可化为(2x-4)+k 2 (
17、y-4)=0，不论 k 取何值，直线恒过定点 M(2，4)，与两坐标轴的交点坐标是 C(2k 2 +2，0)， 又有 0k4，故四边形为 OBMC，如图 642 所示 9.点(0，4)关于直线 2x+y+1=0 的对称点为( )（分数：2.00）A.(2，0)B.(一 3，0)C.(-6，1)D.(4，2)E.(-4，2) 解析：解析：设对称点为(x 0 ，y 0 )，则有 10.点 P(一 3，一 1)关于直线 3x+4y 一 12=0 的对称点 P是( )（分数：2.00）A.(2，8)B.(1，3)C.(8，2)D.(3，7) E.(7，3)解析：解析：设 P为(x 0 ，y 0 )，根
18、据关于直线对称的条件，有 11.点 M(一 5，1)关于 y 轴的对称点 M“与点 N(1，-1)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是( )（分数：2.00）A.B.C.y=-2(x-3) D.E.y=-2(x+3)解析：解析：M“的坐标为(5，1)，故 M“N 的中点坐标为 即(3，0)； M“N 的斜率为12.光线经过点 P(2，3)照射在 x+y+1=0 上，反射后经过点 Q(3，-2)，则反射光线所在的直线方程为( )（分数：2.00）A.7x+5y+1=0B.x+7y 一 17=0C.x 一 7y+17=0D.x 一 7y 一 17=0 E.7x-5y+1=0解析：解析：根据光的
19、反射原理，先找点 P 关于直线 x+y+1=0 的对称点，即 P(一 4，一 3)， 故 PQ所在的直线方程就是反射线所在的方程为13.直线 l 1 ：x 一 y 一 2=0 关于直线 l 2 ：3xy+3=0 的对称直线 l 3 的方程为( )（分数：2.00）A.7xy+22=0B.x+7y+22=0C.x 一 7y 一 22=0D.7x+y+22=0 E.7xy 一 22=0解析：解析：14.以直线 y+x=0 为对称轴且与直线 y 一 3x=2 对称的直线方程为( )（分数：2.00）A. B.C.y=一 3x 一 2D.y=-3x+2E.以上都不是解析：解析：曲线 f(x)关于 x+
20、y+c=0 的对称曲线为 f(一 yc，一 xc)， 所以，y 一 3x=2 关于 x+y=0的对称直线为一 x+3y=2，即15.已知圆 C 与圆 x 2 +y 2 一 2x=0 关于直线 x+y=0 对称，则圆 C 的方程为( )（分数：2.00）A.(x+1) 2 +y 2 =1B.x 2 +y 2 =1C.x 2 +(y+1) 2 =1 D.x 2 +(y 一 1) 2 =1E.(x 一 1) 2 +(y+1) 2 =1解析：解析：曲线 f(x)关于 x+y+c=0 的对称曲线为 f(-y-c，-x-c)， 故将(-y，-x)代入圆的方程可得 x 2 +(y+1) 2 =116.已知圆
21、 x 2 +y 2 =4 与圆 x 2 +y 2 一 6x+6y+14=0 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是( )（分数：2.00）A.x 一 2y+1=0B.2x-y-1=0C.x-y+3=0D.xy 一 3=0 E.x+y+3=0解析：解析：两圆关于直线 l 对称，则直线 l 为两圆圆心连线的垂直平分线 两圆的圆心分别为 O(0，0)，P(3，-3)，故线段 OP 的中点为 OP 的斜率 则直线 l 的斜率为 k=1； 故直线 l 的方程为17.曲线 x 2 一 2x+y 2 =0 上的点到直线 3x+4y-12=0 的最短距离是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.E.解析
22、：解析：曲线可整翠为(x-1) 2 +y 2 =1，圆心坐标为(1，0)，半径为 1 圆心到直线的距离为 可知直线与圆相离，圆上的点到直线的最短距离为 18.设 A，B 分别是圆周(x 一 3) 2 + =3 上使得 取到最大值和最小值的点，O 是坐标原点，则AOB 的大小为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.E.解析：解析：转化为斜率 圆心坐标为 为过原点且与圆有交点的直线的 斜率，当直线与圆相切时取到最值，图像如图 643 所示 可知 BC 与 OB 垂直，故19.动点 P(x，y)在圆 x 2 +y 2 一 1=0 上，则 的最大值是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.
23、 解析：解析：转化为斜率 因为 可以看作是点 P(x，y)和定点 A(一 2，一 1)所在直线的斜率如图 644 所示从图 644 可知，当 P 落在点 C 处时，斜率最大 设直线 AC 的方程为 y+1=k(x+2)，圆心(0，0)到直线 AC 的距离为半径 1，故20.已知直线 axby+3=0(a0，b0)过圆 x 2 +4x+y 2 一 2y+1=0 的圆心，则 ab 的最大值为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. E.解析：解析：转化为一元二次函数求最值 根据圆的一般方程可知圆心坐标为(一 2，1)，代入直线方程得 一 2a 一 b+3=0，即 b=32a， ab=a(32a
24、)=一 2a 2 +3a， 根据抛物线的顶点坐标公式可知，顶点坐标为 故 ab 的最大值为 21.若 x，y 满足 x 2 +y 2 -2x+4y=0，则 x-2y 的最大值为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.E.解析：解析：转化为截距 令 x 一 2y=k，即 可见，欲让 k 的取值最大，直线的纵截距必须最小 又因为(x，y)既是直线上的点，又是圆上的点，所以，当直线与圆相切时，直线的纵截距最小，此时，圆心到直线的距离等于半径，即22.在圆 x 2 +y 2 =4 上，与直线 4x+3y-12=0 距离最小的点坐标是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.E.解析：解析：设所求
25、点为 A(x 0 ，y 0 )，圆心为 O，则 A 点在圆上，OA 垂直于直线 4x+3y 一 12=0，故 故距离最小的点的坐标为 距离最大的点的坐标为 23.已知两点 A(一 2，0)，B(0，2)，点 C 是圆 x 2 +y 2 一 4x+4y+6=0 上任意一点，则点 C 到直线 AB 距离的最小值是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.E.解析：解析：圆的方程可化为(x 一 2) 2 +(y+2) 2 =2，故圆心为(2，一 2)，半径为 直线 AB 的方程为 整理得 xy+2=0； 故圆心到直线 AB 的距离为 直线 AB 和圆相离； 点 C 到直线 AB 距离的最小值为 2
26、4.圆 x 2 +y 2 一 8x-2y+10=0 中过 M(3，0)点的最长弦和最短弦所在直线方程分别是( ).（分数：2.00）A.x 一 y-3=0，x+y-3=0 B.x-y-3=0，x-y+3=0C.x+y-3=0，xy 一 3=0D.x+y 一 3=0，xy+3=0E.以上结论均不正确解析：解析：根据圆的一般方程可知，圆心坐标为 C(4，1)，最长弦即过 M 点的直径，此弦必过圆心 C 和M 点，方程为25.若 x，y 满足不等式(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 1，则 x+y 的最大值是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.E.解析：解析：令 x+y=a，得 y=一
27、 x+a，故只需求直线 y=一 x+a 与圆(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 =1 有交点时，直线的截距 a 的最大值即可 直线与圆有交点，故圆心到直线的距离小于等于半径，得 二、条件充分性判断(总题数：1，分数：20.00)A.条件(1)充分，但条件(2)不充分 B.条件(2)充分，但条件(1)不充分 C.条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分 D.条件(1)充分，条件(2)也充分 E.条件(1)和(2)单独都不充分，两个条件联合起来也不充分（分数：20.00）(1).直线 y=kx+b 经过第三象限的概率是 （分数：2.00）A.B.C.D. E.解析
28、：解析：穷举法 条件(1)：以下 5 种情况过第三象限： k=一 1，b=一 1；k=0，b=一 1；k=1，b=一1；k=1，b=1；k=1，b=2； 概率为 ，故条件(1)充分 条件(2)：以下 5 种情况过第三象限： k=一2，b=一 1；k=一 1，b=一 1；k=2，b=一 1；k=2，b=1；k=2，b=2； 概率为(2).直线 l：ax+by+c=0 恒过一、二、三象限 (1)ab0 且 bc0(2)ab0 且 ac0（分数：2.00）A.B.C.D. E.解析：解析： 因为图像过一、二、三象限，可知斜率大于 0，故有 纵截距大于 0，(3).方程 x 2 +axy+16y 2
29、+bx+4y-72=0 表示两条平行直线 (1)a=一 8 (2)b=一 1（分数：2.00）A.B.C. D.E.解析：解析：两个条件单独显然不充分，联立两个条件，用双十字相乘法，可知 x 2 一 8xy+16y 2 x+4y 一 72=(x 一 4y+8)(x 一 4y 一 9)=0， 表示的是两条平行直线，联立起来充分，选 C(4).圆(x 一 1) 2 +(y 一 2) 2 =4 和直线(1+2)x+(1 一 )y 一 33=0 相交于两点 （分数：2.00）A.B.C.D. E.解析：解析：圆心(1，2)到直线(1+2)x+(1 一 )y 一 33=0 距离小于 2，即 (5).曲线
30、 ax 2 +by 2 =1 通过 4 个定点 (1)a+b=1 (2)a+b=2（分数：2.00）A.B.C.D. E.解析：解析：条件(1)：将 a+b=1 代入 ax 2 +by 2 =1，得 ax 2 +by 2 =a+b，即 a(x 2 -1)+b(y 2 -1)=0， 故当 x 2 =1，y 2 =1 时，不论 a，b 取何值，上式都成立； 所以，图像必过(1，1)、(1，一 1)、(一1，1)、(一 1， 1)四个定点，条件(1)充分 条件(2)：同理可知，图像必过 (6).如图 640 所示，在直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标是(6，4)，则直线 l
31、将矩形 OABC分成了面积相等的两部分 （分数：2.00）A.B.C.D. E.解析：解析：矩形是中心对称的图形，所以只需要直线经过矩形的中心即可，中心坐标为(3，2)，代入条件(1)和条件(2)的方程验证，均充分(7).直线 y= （分数：2.00）A.B.C.D. E.解析：解析：直线 与两坐标轴的交点为(0，1)，(一 k，0)； 故围成的面积为(8).圆 C 1 是圆 C 2 ：x 2 +y 2 +2x 一 6y 一 14=0 关于直线 y=x 的对称圆 (1)圆 C 1 ：x 2 +y 2 一 2x一 6y 一 14=0 (2)圆 C 1 ：x 2 +y 2 +2y 一 6x 一 1
32、4=0（分数：2.00）A.B. C.D.E.解析：解析：曲线 f(x，y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线为 f(y，x)=0， 即将圆 C 2 方程中的 x，y 互换即为圆 C 1 的方程：x 2 +y 2 +2y-6x-14=0，所以，条件(1)不充分，条件(2)充分(9).已知实数 x，y 满足 x 2 +y 2 一 2x+ay-11=0，则 x 2 +y 2 的最小值为 （分数：2.00）A.B. C.D.E.解析：解析：转化为距离的平方 方程化为圆： 原点在圆内，x 2 +y 2 为原点到圆上各点距离的平方，原点到圆上各点的最小距离为：半径减去原点到圆心的距离，即 (10).点 P 在圆 O 1 上，点 Q 在圆 O 2 上，则|PQ|的最小值是 （分数：2.00）A.B.C. D.E.解析：解析：条件(1)、(2)单独显然不充分，联立可得 O 1 ：(x 一 4) 2 +(y 一 2) 2 =9，O 2 ：(x+2) 2 +(y+1) 2 =6，
