1、管理类专业学位联考综合能力数学（数列）-试卷 3 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、问题求解(总题数：23，分数：46.00)1.一个等差数列的首项为 21，公差为一 3，则前 n 项和 S n 的最大值为( )（分数：2.00）A.70B.75C.80D.84E.902.设 a n =一 n 2 +12n+13，则数列的前 n 项和 S n 最大值时 n 的值是( )（分数：2.00）A.12B.13C.10 或 11D.12 或 13E.113.在等差数列a n 中，S n 表示前 n 项和，若 a 1 =13，S 3 =S 11 ,则 S n 的最大值是( )（分数
2、：2.00）A.42B.49C.59D.133E.不存在4.设数列a n 是等差数列，且 a 2 =-8，a 15 =5，S n 是数列a n 的前 n 项和，则( )（分数：2.00）A.S 10 =S 11B.S 10 S 11C.S 9 =S 10D.S 9 S 10E.以上答案均不正确5.设等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 =一 11，a 4 +a 5 =一 6，则当 S n 取最小值时,n 等于( )（分数：2.00）A.6B.7C.8D.9E.106.已知a n 为等差数列，a 1 +a 3 +a 5 =105，a 2 +a 4 +a 6 =99，前 n 项和
3、 S n 取得最大值时 n 的值是 ( )（分数：2.00）A.21B.20C.19D.18E.以上均不正确7.等差数列a n 中，3a 5 =7a 10 ，且 a 1 0，则 S n 的最小值为( )（分数：2.00）A.S 8B.S 12C.S 13D.S 14E.S 12 或 S 138.等差数列a n 的前 n 项和 S n 取最大值时，n 的值是 21 (1)a 1 0，5a 4 =3a 9 (2)a 1 0，3a 4 =5a 11 （分数：2.00）A.B.C.D.E.9.已知等比数列a n 的公比为正数，且 a 3 .a 9 =2a 5 2 ，a 2 =1，则 a 1 =( )
4、（分数：2.00）A.B.C.D.E.10.在等比数列a n 中，公比 q=2，a 1 +a 3 +a 5 +a 99 =10，则 S 100 =( )（分数：2.00）A.20B.25C.30D.35E.4011.正项等比数列a n 中，a 1 a 3 =36，a 2 +a 4 =30，S n 200，则 n 的最小值是( )（分数：2.00）A.4B.5C.6D.7E.812.隔壁老王于 2008 年 6 月 1 日到银行，存入一年期定期储蓄 a 元，以后的每年 6 月 1 日他都去银行存人一年定期储蓄 a 元，若每年的年利率 q 保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新一年期定期储蓄，
5、到 2012 年 6 月 1 日，老王去银行不再存款，而是将所有存款本息全部取出，则取出的金额是( )元（分数：2.00）A.B.C.D.E.13.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每一秒末能杀死一个病毒的同时将自身分裂为两个现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要( )秒（分数：2.00）A.6B.7C.8D.9E.514.一个球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回前一次高度的一半再落下当它第 10 次着地时，共经过的路程是( )米(精确到 1 米且不计任何阻力)（分数：2.00）A.300B.250C.200D.150E.10015.已知首项为 1
6、的无穷递缩等比数列的所有项之和为 5，q 为公比，则 q=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.16.一个无穷等比数列所有奇数项之和为 45，所有偶数项之和为一 30，则其首项等于( )（分数：2.00）A.24B.25C.26D.27E.2817.无穷等比数列a n 中， ，则 a 1 的范围为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.18.已知等比数列的公比为 2，且前 4 项之和等于 1，那么其前 8 项之和等于( )（分数：2.00）A.15B.17C.19D.21E.2319.在等比数列a n 中，已知 S n =36，S 2n =54，则 S 3n 等于( )（分数：2
7、.00）A.63B.68C.76D.89E.9220.设等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.E.21.设a n 是等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 S n =10，S 2n =30，则 S 6n -S 5n 等于( )（分数：2.00）A.360B.320C.260D.160E.8022.数列a n 前 n 项和 S n 满足 log 2 (S n -1)=n，则a n 是( )（分数：2.00）A.等差数列B.等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列亦非等比数列E.以上都不对23.已知数列a n 的前 n 项和 S
8、n =n 2 -2n，而 a 2 ，a 4 ，a 6 ，a 8 ，组成一新数列c n ，其通项公式为( )（分数：2.00）A.c n =4n 一 3B.c n =8n1C.c n =4n5D.c n =8n 一 9E.c n =4n+1二、条件充分性判断(总题数：1，分数：20.00)A.条件(1)充分，但条件(2)不充分 B.条件(2)充分，但条件(1)不充分 C.条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分 D.条件(1)充分，条件(2)也充分 E.条件(1)和(2)单独都不充分，两个条件联合起来也不充分（分数：20.00）(1).数列 a，b，c 是等差数列不是
9、等比数列 (1)a，b，c 满足关系式 3 a =4，3 b =8，3 c =16 (2)a=b=c 成立（分数：2.00）A.B.C.D.E.(2).若a n 是等差数列，则能确定数列b n 也一定是等差数列 (1)b n =a n +a n+1 (2)b n =n+a n （分数：2.00）A.B.C.D.E.(3).由方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.E.(4).已知a n ，b n 分别为等比数列与等差数列，a 1 =b 1 =1，则 b 2 a 2 ? (1)a 2 0 (2)a 10 =b 10 （分数：2.00）A.B.C.D.E.(5).在数列a n 中， （分数：2.
10、00）A.B.C.D.E.(6).已知数列a n 中，a 1 +a 3 =10，则 a 4 的值一定是 1 (1)a n 是等差数列，且 a 4 +a 6 =2 (2)a n 是等比数列，且 a 4 +a 6 = （分数：2.00）A.B.C.D.E.(7). （分数：2.00）A.B.C.D.E.(8).x=y=z (1)x 2 +y 2 +z 2 一 xyyzxz=0 (2)x，y，z 既是等差数列，又是等比数列（分数：2.00）A.B.C.D.E.(9).a : b=1 : 2 (1)a，x，b，2x 是等比数列中相邻的四项 (2)a，x，b，2x 是等差数列中相邻的四项（分数：2.00
11、）A.B.C.D.E.(10).方程 x 2 +2(a+b)x+c 2 =0 有实根 (1)a，b，c 是一个三角形的三边长 (2)实数 a，c，b 成等差数列（分数：2.00）A.B.C.D.E.管理类专业学位联考综合能力数学（数列）-试卷 3 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、问题求解(总题数：23，分数：46.00)1.一个等差数列的首项为 21，公差为一 3，则前 n 项和 S n 的最大值为( )（分数：2.00）A.70B.75C.80D.84 E.90解析：解析：一元二次函数法 对称轴： ,故离对称轴最近的整数有两个是 7 和 8，所以 S n 的最大值为 2
12、.设 a n =一 n 2 +12n+13，则数列的前 n 项和 S n 最大值时 n 的值是( )（分数：2.00）A.12B.13C.10 或 11D.12 或 13 E.11解析：解析：首项大于 0，令 a n =一 n 2 +12n+13=0，解得 n=13 或一 1(舍去)，故 a 13 =0，前 12 项均大于 0，第 13 项等于 0故 S 12 =S 13 为最大值3.在等差数列a n 中，S n 表示前 n 项和，若 a 1 =13，S 3 =S 11 ,则 S n 的最大值是( )（分数：2.00）A.42B.49 C.59D.133E.不存在解析：解析：根据题意，由 S
13、3 =S 11 ,得 n=7 是抛物线的对称轴；又因为等差数列的前 n 项和 4.设数列a n 是等差数列，且 a 2 =-8，a 15 =5，S n 是数列a n 的前 n 项和，则( )（分数：2.00）A.S 10 =S 11B.S 10 S 11C.S 9 =S 10 D.S 9 S 10E.以上答案均不正确解析：解析：公差 5.设等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 =一 11，a 4 +a 5 =一 6，则当 S n 取最小值时,n 等于( )（分数：2.00）A.6 B.7C.8D.9E.10解析：解析：因为 a 4 +a 6 =2a 1 +8d=2(一 11)
14、+8d=一 6，解得 d=2，故 S n = 6.已知a n 为等差数列，a 1 +a 3 +a 5 =105，a 2 +a 4 +a 6 =99，前 n 项和 S n 取得最大值时 n 的值是 ( )（分数：2.00）A.21B.20 C.19D.18E.以上均不正确解析：解析：因为(a 2 +a 4 +a 6 )一(a 1 +a 3 +a 5 )=3d=99-105=-6，故 d=-2；又 a 1 +a 3 +a 5 =3a 1 +6d=105，得 a 1 =39； 令 a n =a 1 +(n 一 1)(一 2)=41-2n=0，得 n=205，取整数，故当 n=20 时，S n 最大7
15、.等差数列a n 中，3a 5 =7a 10 ，且 a 1 0，则 S n 的最小值为( )（分数：2.00）A.S 8B.S 12C.S 13 D.S 14E.S 12 或 S 13解析：解析：由 3a 5 =7a 10 ,即 3(a 1 +4d)=7(a 1 +9d)，可得 又因为对称轴为 8.等差数列a n 的前 n 项和 S n 取最大值时，n 的值是 21 (1)a 1 0，5a 4 =3a 9 (2)a 1 0，3a 4 =5a 11 （分数：2.00）A.B. C.D.E.解析：解析：等差数列a n 的 S n 有最大值，则 a 1 0，d0，且 a 21 0，a 22 0 条件
16、(1)：a 1 0， 9.已知等比数列a n 的公比为正数，且 a 3 .a 9 =2a 5 2 ，a 2 =1，则 a 1 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.E.解析：解析：由a n 为等比数列，可得 a 3 .a 9 =a 6 2 =2a 5 2 又 a 2 =a 1 q= 10.在等比数列a n 中，公比 q=2，a 1 +a 3 +a 5 +a 99 =10，则 S 100 =( )（分数：2.00）A.20B.25C.30 D.35E.40解析：解析：因为a n 为等比数列，且公比 q=2，则 a 2 +a 4 +a 6 +a 100 =2(a 1 +a 3 +a 99
17、)=20， 所以 S 100 =10+20=3011.正项等比数列a n 中，a 1 a 3 =36，a 2 +a 4 =30，S n 200，则 n 的最小值是( )（分数：2.00）A.4B.5C.6D.7 E.8解析：解析：由 a 1 a 3 =a 1 .a 1 q 2 =a 1 2 q 2 =36，故 a 1 q=6，数列的各项均为正，故 a 1 q=6； 又由 a 2 +a 4 =a 1 q+a 1 q 3 =a 1 q(1+q 2 )=6(1+q 2 )=30，故 1+q 2 =5，q=2，数列的各项均为正，故 q=2； 所以 12.隔壁老王于 2008 年 6 月 1 日到银行，
18、存入一年期定期储蓄 a 元，以后的每年 6 月 1 日他都去银行存人一年定期储蓄 a 元，若每年的年利率 q 保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新一年期定期储蓄，到 2012 年 6 月 1 日，老王去银行不再存款，而是将所有存款本息全部取出，则取出的金额是( )元（分数：2.00）A.B.C.D. E.解析：解析：2008 年的 a 元到了 2012 年本息和为 a(1+q) 4 ； 2009 年的 a 元到了 2012 年本息和为a(1+q) 3 ； 2010 年的 a 元到了 2012 年本息和为 a(1+q) 2 ； 2011 年的 a 元到了 2012 年本息和为a(1+q)
19、故所有金额为 13.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每一秒末能杀死一个病毒的同时将自身分裂为两个现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要( )秒（分数：2.00）A.6B.7 C.8D.9E.5解析：解析：依题意，可得 1+2+2 2 +2 3 +2 n-1 100， 整理得 14.一个球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回前一次高度的一半再落下当它第 10 次着地时，共经过的路程是( )米(精确到 1 米且不计任何阻力)（分数：2.00）A.300 B.250C.200D.150E.100解析：解析：从高处下落时，路程为 100 米 第一次着地弹起，
20、到第二次着地的路程为 50+50=100(米)；第二次着地弹起，到第三次着地的路程为 25+25=50(米)； 即从第一次着地到第 10 次着地的路程是一个首项为 100，公比为 的等比数列 故到第 10 次落地时，一共经过的路程为15.已知首项为 1 的无穷递缩等比数列的所有项之和为 5，q 为公比，则 q=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.E.解析：解析：根据题意，有16.一个无穷等比数列所有奇数项之和为 45，所有偶数项之和为一 30，则其首项等于( )（分数：2.00）A.24B.25 C.26D.27E.28解析：解析：设此数列的首项为 a 1 ，公比为 q 则奇数项组成首
21、项为 a 1 ，公比为 q 2 的等比数列，其和为 偶数项组成首项为 a 1 q，公比为 q 2 的等比数列，其和为 两式相除得 17.无穷等比数列a n 中， ，则 a 1 的范围为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.E.解析：解析：由题意可得， ,|q|1 且 q0，故|12a|1 且|1 一 2a|0，解得 0a 1 1 且 18.已知等比数列的公比为 2，且前 4 项之和等于 1，那么其前 8 项之和等于( )（分数：2.00）A.15B.17 C.19D.21E.23解析：解析：由题意得 则19.在等比数列a n 中，已知 S n =36，S 2n =54，则 S 3n 等于
22、( )（分数：2.00）A.63 B.68C.76D.89E.92解析：解析：在等比数列中，等长片段和成等比，所以(S 3n 一 S 2n )S n =(S 2n 一 S n ) 2 ，即 20.设等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 =( ) （分数：2.00）A.B.C. D.E.解析：解析：在等比数列中，等长片段和成等比，所以(S 9 一 S 6 )S 3 =(S 6 一 S 3 ) 2 ，由 得S 3 =2S 6 ，代入上式，可得 21.设a n 是等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 S n =10，S 2n =30，则 S 6n -S 5n 等于( )（分数：2.00
23、）A.360B.320 C.260D.160E.80解析：解析：在等比数列中，等长片段和成等比，所以 S n ，S 2n 一 S n ，S 3n 一 S 2n ，S 4n 一 S 3n ，S 5n 一 S 4n ，S 6n 一 S 5n 成等比数列，S 2n -S n =30 一 10=20，S 6n 一 S 5n =S n . 22.数列a n 前 n 项和 S n 满足 log 2 (S n -1)=n，则a n 是( )（分数：2.00）A.等差数列B.等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列亦非等比数列 E.以上都不对解析：解析：由题意，可得 log 2 (S n 一 1)
24、=n,2 n =S n 一 1,S n =2 n +1，根据特征判断法可知，此数列既非等差数列又非等比数列23.已知数列a n 的前 n 项和 S n =n 2 -2n，而 a 2 ，a 4 ，a 6 ，a 8 ，组成一新数列c n ，其通项公式为( )（分数：2.00）A.c n =4n 一 3 B.c n =8n1C.c n =4n5D.c n =8n 一 9E.c n =4n+1解析：解析：由 S n =n 2 一 2n 可知a n 为等差数列，a 1 =一 1，d=2，故 a 2 =1，新数列c n 的公差 d=4，故通项公式为 c n =1+(n 一 1)4=4n 一 3二、条件充分
25、性判断(总题数：1，分数：20.00)A.条件(1)充分，但条件(2)不充分 B.条件(2)充分，但条件(1)不充分 C.条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分 D.条件(1)充分，条件(2)也充分 E.条件(1)和(2)单独都不充分，两个条件联合起来也不充分（分数：20.00）(1).数列 a，b，c 是等差数列不是等比数列 (1)a，b，c 满足关系式 3 a =4，3 b =8，3 c =16 (2)a=b=c 成立（分数：2.00）A. B.C.D.E.解析：解析：条件(1)：a=log 3 4，b=log 3 8，c=log 3 16，故 2b=2log
26、 3 8=log 3 64=log 3 (416)=log 3 4+log 3 16=a+c，故 a，b，c 是等差数列不是等比数列，条件(1)充分 条件(2)：a=b=c0，既是等差数列又是等比数列；若 a=b=c=0，是等差数列不是等比数列，故条件(2)不充分(2).若a n 是等差数列，则能确定数列b n 也一定是等差数列 (1)b n =a n +a n+1 (2)b n =n+a n （分数：2.00）A.B.C.D. E.解析：解析：条件(1)：b n 一 b n-1 =a n +a n+1 一 a n-1 一 a n =2d，是等差数列，充分 条件(2)：b n 一 b n-1
27、=n+a n 一(n 一 1)+a n-1 =1+(a n 一 a n-1 )=1+d，是等差数列，充分(3).由方程组 （分数：2.00）A.B. C.D.E.解析：解析：x，y，z 成等差数列，则 (y+z)一(x+z)=y 一 x=2=d，(x+z)一(x+y)=zy=2 一 a=d， 故a=0，条件(2)充分(4).已知a n ，b n 分别为等比数列与等差数列，a 1 =b 1 =1，则 b 2 a 2 ? (1)a 2 0 (2)a 10 =b 10 （分数：2.00）A.B.C. D.E.解析：解析：条件(1)：显然不充分 条件(2)：a 10 =b 10 ，即 当 q0 时，可
28、用均值不等式，得 (5).在数列a n 中， （分数：2.00）A.B. C.D.E.解析：解析：条件(1)：当a n 为公差是 2 的等差数列时， 不充分 条件(2)：当a n 为公比是 2 的等比数列时， (6).已知数列a n 中，a 1 +a 3 =10，则 a 4 的值一定是 1 (1)a n 是等差数列，且 a 4 +a 6 =2 (2)a n 是等比数列，且 a 4 +a 6 = （分数：2.00）A.B. C.D.E.解析：解析：条件(1)：(a 4 +a 6 )一(a 1 +a 3 )=6d=2-10=一 8，故 代入 a 1 +a 3 =10 可知 条件(1)不充分 (7)
29、. （分数：2.00）A.B.C. D.E.解析：解析：条件(1)、(2)显然单独都不充分，联立之： 由条件(1)得 a 1 +a 2 =x+y；由条件(2)得 b 1 b 2 =xy； (8).x=y=z (1)x 2 +y 2 +z 2 一 xyyzxz=0 (2)x，y，z 既是等差数列，又是等比数列（分数：2.00）A.B.C.D. E.解析：解析：条件(1)：原式两边同时乘以 2，得(xy) 2 +(x-z) 2 +(yz) 2 =0，故 x=y=z，条件(1)充分 条件(2)：既是等差数列，又是等比数列的数列为非零的常数列，故 x=y=z，条件(2)充分(9).a : b=1 :
30、2 (1)a，x，b，2x 是等比数列中相邻的四项 (2)a，x，b，2x 是等差数列中相邻的四项（分数：2.00）A. B.C.D.E.解析：解析：条件(1)：由中项公式得：x 2 =ab，b 2 =2x 2 ，得 因为等比数列中的项不为 0，故b0，a：b=1：2，条件(1)充分 条件(2)：由中项公式得 2x=a+b，2b=3x，得 (10).方程 x 2 +2(a+b)x+c 2 =0 有实根 (1)a，b，c 是一个三角形的三边长 (2)实数 a，c，b 成等差数列（分数：2.00）A.B.C.D. E.解析：解析：=4(a+b) 2 -4c 2 0，即(a+b) 2 c 2 条件(1)：三角形两边之和大于第三边，a+bc，显然(a+b) 2 c 2 ，条件(1)充分 条件(2)：2c=a+b，故(a+b) 2 =4c 2 ，显然(a+b) 2 =4c 2 c 2 ，条件(2)充分
