1、考研数学（数学二）模拟试卷 426 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题中正确的个数是 若 f()在 0 存在左、右导数且 f ( 0 )f ( 0 )，则 f()在 0 处连续 若函数极限 f()A，则数列极限 f(n)A 若数列极限 A，则函数极限 f()A 若 不存在，则 （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3.数列极限 J （分数：2.00）A.0B.1C.D.4.沿 f() （分数：2.00）A.a1，b1B.a
2、1，bC.a1，b2D.a2，b15.设 f( 0 )0，f( 0 )0，则必定存在一个正数 ，使得（分数：2.00）A.曲线 yf()在( 0 ， 0 )是凹的B.曲线 yf()在( 0 ， 0 )是凸的C.曲线 yf()在( 0 ， 0 单调减少，而在 0 ， 0 )单调增加D.曲线 yf()在( 0 ， 0 单调增加，而在 0 ， 0 )单调减少6.以 y 1 e cos2，y 2 e sin2 与 y 3 e 为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是（分数：2.00）A.yy3y5y0B.yy3y5y0C.yy3y5y0D.yy3y5y07.设 F(，y)在点( 0 ，y 0 )某
3、邻域有连续的偏导数，F( 0 ，y 0 )0，则 F y ( 0 ，y 0 )0 是 F(，y)0 在点( 0 ，y 0 )某邻域能确定一个连续函数 yy()，它满足 y 0 y( 0 )，并有连续的导数的_条件（分数：2.00）A.必要非充分B.充分非必要C.充分且必要D.既不充分又不必要8.设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是把 A 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上得到的矩阵，则（分数：2.00）A.把 A -1 第 2 行的 3 倍加到第 4 行上得到 B -1 B.把 A -1 第 4 行的 3 倍加到第 2 行上得到 B -1 C.把 A -1 第 2 行的3 倍加到第 4 行上
4、得到 B -1 D.把 A -1 第 4 行的3 倍加到第 2 行上得到 B -1 9.设 4 阶矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，已知齐次方程组 AX0 的通解为 c(1，2，1，0) T ，c 任意则下列选项中不对的是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 线性无关C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 F() （分数：2.00）填空项 1:_11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 yf()在(1，1)邻域有连续二阶导数，曲线 yf()在点 P(1，1)处的
5、曲率圆方程为 2 y 2 2，则 f(1) 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设有摆线 (t)tsint，y(t)1cost(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 轴旋转一周所得旋转面的面积 S 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知函数 y()可微(0)且满足方程 y()1 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A ，A * 为 A 的伴随矩阵，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.确定常数 a 与 b 的值，使得 （分数：2.00）_18.设 f() 1 t
6、 3 tdt，()求函数 f()的单调性区间与正、负值区间 ()求曲线yf()与 轴所围成的封闭图形的面积（分数：2.00）_19.设 f() ()求证：f()在0，)上连续，f() （分数：2.00）_20.已知 y 1 * ()e e 2 ，y 2 * ()e e 2 ，y 3 * ()e e 2 e 2 是某二阶线性常系数微分方程 yPyqyf(y)的三个特解 ()求这个方程和它的通解； ()设 yy()是该方程满足 y(0)0，y(0)0 的特解，求 0 y()d（分数：2.00）_21.设 uf(23y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 zz(，y)是由方程 zlnz y dt
7、1 确定并满足 z(0，0)1 的函数，求 （分数：2.00）_22.求累次积分 I （分数：2.00）_23.设 f()在a，b上有二阶导数，且 f()0 ()证明至少存在一点 (a，b)，使 a b f()df(b)(a)f(a)(b)； ()对()中的 (a，b)，求 （分数：2.00）_24.设 1 ， 2 ， 3 都是矩阵 A 的特征向量，特征值两两不同，记 1 2 3 证明 ，A，A 2 线性无关，A，A 2 ，A 3 线性相关 设 1 ， 2 ， 3 的特征值依次为 1，1，2，记矩阵 B(，A，A 2 )，A 3 ，求解线性方程组 BX（分数：2.00）_25.设二次型 T A
8、 1 2 4 2 2 3 2 2a 1 2 2b 1 3 2c 2 3 ，矩阵B （分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 426 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题中正确的个数是 若 f()在 0 存在左、右导数且 f ( 0 )f ( 0 )，则 f()在 0 处连续 若函数极限 f()A，则数列极限 f(n)A 若数列极限 A，则函数极限 f()A 若 不存在，则 （分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解
9、析：解析：要逐一分析若 f()在 0 存在 f ( 0 )与 f ( 0 ) f()在 0 右连续及左连续 f()在 0 连续，即正确 由函数极限与数列极限的关系知，若函数极限 一串 n (n)均有 f( n )A 若但只有某串 n (n)， 如 f()sin，f(n)0， f(n)0，但 f()不存在，于是正确，不正确 命题是错误的当 A0 时 f()g()可能存在例如，若取 f()0，则 f()0， 3.数列极限 J （分数：2.00）A.0B.1 C.D.解析：解析：转化为函数极限后用洛必达法则4.沿 f() （分数：2.00）A.a1，b1B.a1，b C.a1，b2D.a2，b1解析
10、：解析：我们考虑分段函数 其中 f 1 ()和 f 2 ()均在 0 邻域 k 阶可导，则 f()在分界点 0 有 k 阶导数的充要条件是 f 1 ()和 f 2 ()有 0 有相同的 k 阶泰勒公式： f 1 ()f 2 () a 0 a 1 ( 0 )a 2 ( 0 ) 2 a( 0 ) k o( 0 ) k )( 0 ) 把这一结论用于本题：取 0 0 f 1 ()1a 2 f 2 ()e bsin 2 1 2 o( 2 )b( 2 o( 2 ) 1(b ) 2 o( 2 ) 因此 f()在 0 时二阶可导 a1，b 1 即 a1，b 5.设 f( 0 )0，f( 0 )0，则必定存在一
11、个正数 ，使得（分数：2.00）A.曲线 yf()在( 0 ， 0 )是凹的B.曲线 yf()在( 0 ， 0 )是凸的C.曲线 yf()在( 0 ， 0 单调减少，而在 0 ， 0 )单调增加D.曲线 yf()在( 0 ， 0 单调增加，而在 0 ， 0 )单调减少 解析：解析：f( 0 ) 0 由极限的不等式性质 0， 当 ( 0 ， 0 )且 0 时， 0 当 ( 0 ， 0 )时，f()0；当 ( 0 ， 0 )时，f()0 又 f( 0 )在 0 连续 6.以 y 1 e cos2，y 2 e sin2 与 y 3 e 为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是（分数：2.00）A
12、.yy3y5y0B.yy3y5y0 C.yy3y5y0D.yy3y5y0解析：解析：线性无关特解 y 1 e cos2，y 2 e sin2 与 y 3 e 对应于特征根 1 12i， 2 12i 与 3 1，由此可得特征方程是 (12i)(12i)(1)0 7.设 F(，y)在点( 0 ，y 0 )某邻域有连续的偏导数，F( 0 ，y 0 )0，则 F y ( 0 ，y 0 )0 是 F(，y)0 在点( 0 ，y 0 )某邻域能确定一个连续函数 yy()，它满足 y 0 y( 0 )，并有连续的导数的_条件（分数：2.00）A.必要非充分B.充分非必要 C.充分且必要D.既不充分又不必要解
13、析：解析：由隐函数 8.设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是把 A 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上得到的矩阵，则（分数：2.00）A.把 A -1 第 2 行的 3 倍加到第 4 行上得到 B -1 B.把 A -1 第 4 行的 3 倍加到第 2 行上得到 B -1 C.把 A -1 第 2 行的3 倍加到第 4 行上得到 B -1 D.把 A -1 第 4 行的3 倍加到第 2 行上得到 B -1 解析：解析：BAE(2，4(3)，B -1 E(2，4(3) -1 A -1 E(2，4(3)A -1 ， 因此 B -1 是把 A -1 第 4 行的一 3 倍加到第 2 行上得到9.设
14、 4 阶矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，已知齐次方程组 AX0 的通解为 c(1，2，1，0) T ，c 任意则下列选项中不对的是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 线性无关C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关 解析：解析：条件说明 1 2 2 3 0，并且 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )3 显然 1 ， 2 ， 3 线性相关，并且 r( 1 ， 2 ， 3 )2 3 可用 1 ， 2 线性表示，因此r( 1 ， 2 )r( 1 ， 2 ， 3 )2 1 ， 2 线性无关选项 A 和 B 都对 r( 1 ， 2
15、 ， 4 )r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )3，选项 C 对 D 错二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 F() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，)）解析：解析： 当 1 时， 2 11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：对被积函数直接进行放大与缩小，即12.设 yf()在(1，1)邻域有连续二阶导数，曲线 yf()在点 P(1，1)处的曲率圆方程为 2 y 2 2，则 f(1) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：曲率圆 2 y 2 2 在(1，1)邻域确定 yy
16、()(y(1)1)，yf()与 yy() 在1 有相同的一阶与二阶导数现由 2 y 2 2 22yy0，即 yy0 令1，y1 y(1)1，又 1y 2 yy0 令 1，y1，y1 13.设有摆线 (t)tsint，y(t)1cost(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 轴旋转一周所得旋转面的面积 S 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由旋转面面积公式得14.已知函数 y()可微(0)且满足方程 y()1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*）解析：解析：这是含变限积分的方程先将原方程两边求导，转化为常微分方程得 在原方程中令1 得
17、 y(1)1 于是原方程与初值问题 等价 这是齐次方程，令 u 得 uu 2 u，即 u 2 分离变量得 lnC， 由 y(1)1 得 C1，代入u 得 y 15.已知 A ，A * 为 A 的伴随矩阵，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A 2 于是 A * A2E 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.确定常数 a 与 b 的值，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是求型极限，先转化为求 型极限由 型极限有确定的值，确定其中的参数 a 与 b 的值
18、关键是用到一个已知的结论：若极 存在，又 g()0，则必有f()0 现只需再求 J 用洛必达法则得 求出 J 后可得 b 时，I，b 时，I 因此符合题目要求的常数 a 和 b 是 即 )解析：18.设 f() 1 t 3 tdt，()求函数 f()的单调性区间与正、负值区间 ()求曲线yf()与 轴所围成的封闭图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()f() f()在(，0，在0，) 为求f()的正负值区间，先求出使 f()0 的 值易知 f(1) 1 1 t 3 tdt0，f(1) 1 1 t 3 tdt0。 再由 f()的单调性知， f()f(1)0(1)，f()f(1)0
19、(1) f()f(1)0(10)， f()f(1)(01) 因此 f()0(，1)或(1，) f()0(1，1) ()曲线 yf()与 轴所围成的封闭图形是 (，y)11，f()y0 如下图所示： 该图形的面积 A 1 1 f()d 1 1 f()d(因为 f()在(1，1)恒负值) f() 1 1 1 1 f()d 2 0 1 . 3 d2 0 2 5 d )解析：19.设 f() ()求证：f()在0，)上连续，f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 0 时，f()与初等函数 e 相同，故连续又 e 0 01f(0)， 即 f()在 0 处右连续，因此 f()在0，)上连
20、续再求 ()考察(0，)上 f()的符号只需 考察 g()1 2 ，由 g()在(0，)单调上升 f()在0，1单调下降，在1，)单调上升 ()由()中单调性分析知， 又 f(0)1， 0e 0 1， 因此 )解析：20.已知 y 1 * ()e e 2 ，y 2 * ()e e 2 ，y 3 * ()e e 2 e 2 是某二阶线性常系数微分方程 yPyqyf(y)的三个特解 ()求这个方程和它的通解； ()设 yy()是该方程满足 y(0)0，y(0)0 的特解，求 0 y()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由线性方程解的叠加原理 y 1 ()y 3 * ()y 2 * (
21、)e 2 ， y 2 ()y 3 * ()y 1 * ()e 2 均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是该齐次方程的特征根是重根 2，相应的特征方程为 (2) 2 0，即 2 440 原方程为 y4y4yf() 由于 y * ()e 是它的特解，求导得 y * ()e (1)，y * ()e (2) 代入方程得 e (2)4e (1)4e f() f()(2)e 原方程为 y4y4y(2)e ，其通解为 yC 1 e 2 C 2 e 2 e ，其中 C 1 ，C 2 为 常数 () C 1 ，C 2 ，方程的 解y()均有 不必由初值来定 C 1 ，C 2 ，直接将方程两边积分得 )解析
22、：21.设 uf(23y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 zz(，y)是由方程 zlnz y dt1 确定并满足 z(0，0)1 的函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u 与 ，y 的变量依赖关系如图所示： 其中 与 ，y 的函数关系由以下方程确定： zlnz y dt1 由 uf(23y，z)，有 将 zlnz y dt1 分别对 ，y 求偏导数有 将 代入(*)式可得 ，该式再对 y 求偏导数并将 的表达式代入有 以 0，y0 从而 z(0，0)1 代入即得 )解析：22.求累次积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将累次积分表示为二重积分 其中 D
23、2 ： y1，y 记 DD 1 D 2 ，则 I dD 1 D 1 如图所示。 问题转化为求二重积分 I d 现改为先 y 后 的积分顺序可得 )解析：23.设 f()在a，b上有二阶导数，且 f()0 ()证明至少存在一点 (a，b)，使 a b f()df(b)(a)f(a)(b)； ()对()中的 (a，b)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 ()f(b)(a)f(a)(b) a b f()d(ab)， 即证 ()在(a，b) 零点因 f()在a，b连续且 f(a)f()f(b)(a，b)且 f(a)(ba) a b f()df(b)(ba) (a)f(a)(ba)
24、a b f()d0， (b)f(b)(ba) a b f()d0， 故由闭区间上连续函数的性质知存在 (a，b)，使得 ()0，即 a b f()df(b)(a)f(a)(b) ()先要得到 的表达式，为此先将上式改写成 a b f()df(b)(a)f(a)(ba)(a)， 从而 于是将 b 看作变量，对右端分式应用洛必达法则即得 分子、分母同除 ba 得 )解析：24.设 1 ， 2 ， 3 都是矩阵 A 的特征向量，特征值两两不同，记 1 2 3 证明 ，A，A 2 线性无关，A，A 2 ，A 3 线性相关 设 1 ， 2 ， 3 的特征值依次为 1，1，2，记矩阵 B(，A，A 2 )
25、，A 3 ，求解线性方程组 BX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， 2 ， 3 的特征值为 a，b，c，由于它们两两不同， 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 2 3 ， Aa 1 b 2 c 3 ， A 2 a 2 1 b 2 2 c 2 3 ， A 3 a 3 1 b 3 2 c 3 3 ， 则 ，A，A 2 对 1 ， 2 ， 3 的表示矩阵为 ， 其行列式为范德蒙行列式，并且(因为 a，b，c 两两不同)值不为 0，于是r(，A，A 2 )r( 1 ， 2 ， 3 )3，因此 ，A，A 2 无关 ，A，A 2 ，A 3 可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，因此线性相
26、关 1 2 3 ，A 1 2 2 3 ，A 2 1 2 4 3 ，A 3 1 2 8 3 ， B(，A，A 2 )( 1 ， 2 ， 3 ) A 3 ( 1 ， 2 ， 3 ) 则 BX 具体写出就是 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，它和 )解析：25.设二次型 T A 1 2 4 2 2 3 2 2a 1 2 2b 1 3 2c 2 3 ，矩阵B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 先作正交矩阵 Q，使得 Q -1 AQ 是对角矩阵 条件说明 B 的 3 个列向量都是 A 的特征向量，并且特征值都是 0由于 B 的秩大于 1，特征值 0 的重数大于 1于是 A 的特征值为 0，
27、0，6(tr(A)6) 求属于特征值 0 的两个单位正交特征向量： 对 B 的第 1，2 两个列向量 1 (1，0，1) T ， 2 (2，1，0) T 作施密特正交化： 1 1 1 (1，0，1) T ， 求属于特征值 6 的一个单位特征向量：属于特征值 6 的特征向量与 1 ， 2 都正交，即是方程组 1 3 0，2 1 的非零解，求出 3 (1，2，1) T 是属于 6 的一个特征向量，单位化 3 3 3 (1，2，1) T ， 记 Q( 1 ， 2 ， 3 )，则 Q 是正交矩阵， Q -1 AQ 作正交变换 Qy，它 T A 化为标准二次型 6y 3 2 A 的特征值为 0，0，6，则 A3E 的特征值为3，3，3，(A3E) 6 的 3 个特征值都是 3 6 于是(A3E) 6 3 6 E )解析：
