1、考研数学一-202 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.假设二维随机变量(X，Y)服从参数为 1， 2， （分数：4.00）A.B.C.D.2.设向量 1， 2， 2线性无关，向量 1可由 1， 2， 3线性表示，向量 2不能由 1， 2， 3线性表示，则对任意常数 k，必有_（分数：4.00）A. 1， 2， 3，k 1+ 2线性无关B. 1， 2， 3，k 1+ 2线性相关C. 1， 2， 3， 1+k 2线性无关D. 1， 2， 3， 1+k 2线性相关3.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 （分数：4
2、.00）A.B.C.D.4.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 U=X+Y 与 V=X-Y 不相关的充分必要条件为_（分数：4.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2C.E(X2)=E(Y2)D.E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)25.设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则_。（分数：4.00）A.X+Y 服从正态分布B.X2+Y2服从 2分布C.X2和 Y2都服从 2分布D.X2/Y2服从 F 分布6.随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X 与 Y 的相关系数为 XY=-0.
3、5 且概率 PaX+bY1)= ，则_（分数：4.00）_7.设 A，B，C 为待定常数，则差分方程 yt+1-yt=t2-1 的特解具有形式_（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 un0(n=1，2，3)，且 =1，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 y=y(x)由参数方程 x=t-ln(1+t)，y=t 3+t2所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知 f(2+cosx)=sin2x+tan2x，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 y“+( 1+
4、 2)y+ 1 2y=0( 1 2且为实数)，满足 y(0)=0，y(0)=1 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_13.周期为 2 的函数 f(x)在-，)上定义为 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_14.曲面(z-a)(x)+(z-b)(y)=0 与 x2+y2=1，z=0 所围立体的体积 V=_(其中 为连续正值函数，a0，b0)（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上可导，且 f(x)M，f(a)=0，证明：（分数：9.00）_16.设 a，b 为正的常系数， 为非负常数，微分方程(1)求该方程的通解；(2)
5、证明：当 =0 时，当 0 时， （分数：9.00）_17.求幂级数 （分数：11.00）_18.求曲面积分 I= （分数：11.00）_19.设不恒为常数的函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导且 f(a)=f(b)证明在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()0（分数：10.00）_20.设半径为 R 的球面的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问当 R 为何值时，球面在定球面内部的那部分的面积最大（分数：11.00）_21.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，对应的特征值向量依次为：（分数：11.00）_22.已知 10 只同种元
6、件中有 2 只废品，装配仪器时，需要从中取出 2 只正品今从这些元件中任取 1 只，若为正品，则留下备用；若为废品则扔掉，在余下的元件中再取一只，如此直至取出 2 只正品为止设 X表示所取次数，求 X 的分布律、数学期望及方差（分数：11.00）_23.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：0Xz1 上，|y|x 内服从均匀分布求：(1)关于 X 的边缘分布密度；(2)Z=2X+1 的方差 D(Z)（分数：11.00）_考研数学一-202 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.假设二维随机变量(X，Y)服从参数为 1， 2， （分数：4
7、.00）A.B. C.D.解析：考点提示 正定矩阵解题分析 协方差矩阵为*由题设可知，X 与 Y 的协方差矩阵是*矩阵 V 的一阶主子式 DX=*0，二阶主子式|V|=*=(1- 2)*0，因此矩阵 V 是正定矩阵应选 B2.设向量 1， 2， 2线性无关，向量 1可由 1， 2， 3线性表示，向量 2不能由 1， 2， 3线性表示，则对任意常数 k，必有_（分数：4.00）A. 1， 2， 3，k 1+ 2线性无关 B. 1， 2， 3，k 1+ 2线性相关C. 1， 2， 3， 1+k 2线性无关D. 1， 2， 3， 1+k 2线性相关解析：考点提示 向量的线性表示解题分析 方法 1 用
8、排除法由题设条件知： 1， 2， 3，1 线性相关， 1， 2， 3， 2线性无关，且任意取 k=0，可排除 B 和 C取 k=1，若 1， 2， 3， 1+ 2线性相关，则由于 1， 2， 3线性无关， 1+ 2必可由 1， 2， 3；线性表示；又 1可由 1， 2， 3线性表示，所以 2可由 1， 2， 3线性表示这与题设矛盾，可排除 D方法 2设 1 1+ 2 2+ 3 3+ 4(k 1+ 2)=0，若 4=0，则 1， 2， 3线性无关，必有 1= 2= 3=0，从而 1， 2， 3，k 1+ 2线性无关若 40，则 k 1+ 2可由 1， 2， 3线性表示，从而 2可由 1， 2，
9、3线性表示，这与题设矛盾因此 1， 2， 3，k 1+ 2亦线性无关故选 A3.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 函数的极值问题解题分析 由极限与无穷小的关系，在点(0，0)处充分小的邻域内有：f(x，y)=xy+(1+)(x 2+y2)2，其中*=0，即 f(x，y)=xy+(x 2+y2)2+(x 2+y2)2所以在点(0，0)处足够小的邻域内，在 xy0 处，f(x，y)0；在 xy0 处，f(x，y)0，故 f(0，0)不是极值4.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 U=X+Y 与 V=X-Y 不
10、相关的充分必要条件为_（分数：4.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2 C.E(X2)=E(Y2)D.E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2解析：考点提示 二维随机变量的正态分布解题分析 因为 U 与 V 不相关的充要条件是 Cov(U，V)=0，即Coy(X+Y，X-Y)=Cov(X，X)-Cov(X，Y)+Cov(Y，X)-Cov(Y，Y)=D(X)-D(Y)=E(X2)-E2(X)-E(Y2)-E2(Y)=0故 B 正确5.设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则_。（分数：4.00）A.X+Y 服从正态分布B.X2+Y2服从 2分
11、布C.X2和 Y2都服从 2分布 D.X2/Y2服从 F 分布解析：考点提示 随机变量的正态分布解题分析 当随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，且两者相互独立时，题中四选项均成立当未给 X 与 Y 相互独立的条件时，A，B，D 均不一定成立由 X2分布定义知 C 正确6.随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X 与 Y 的相关系数为 XY=-0.5 且概率 PaX+bY1)= ，则_（分数：4.00）_解析：考点提示 随机变量的数字问题解题分析 因为(X，Y)服从二维正态分布*aX+bY 服从一维正态分布，又 E(X)=1，E(Y)=2，记Z=
12、(aX+bY，则 E(Z)=E(aX+bY)=a+2b，于是*显然只有 1-(a+2b)=0 时 PaX+bY17.设 A，B，C 为待定常数，则差分方程 yt+1-yt=t2-1 的特解具有形式_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 差分方程的特解解题分析 由于 f(t)=t2-1 为二次式，又因为 a=-1，所以特解形式为：*(f)=t(At2+Bt+C)=At3+Bt2+Ct应选 B8.设 un0(n=1，2，3)，且 =1，则级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 级数的敛散性解题分析 因为*由*，知 n时，u n=n(1+ n)，其中*于是*所以原级数
13、收敛，故排除 A，D又由 n时，u n=n(1+)知当 n 充分大时 un0，且*而*发散，因此级数*发散，从而原级数条件收敛二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 定积分解题分析 原式=*10.设函数 y=y(x)由参数方程 x=t-ln(1+t)，y=t 3+t2所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 参数方程的微分解题分析 由参数方程求导法则：*有*所以*11.已知 f(2+cosx)=sin2x+tan2x，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解
14、析：考点提示 三角函数的不定积分解题分析 由 f(2+cosx)=sin2x+tan2x， 令 2+cosx=u，则 cosx=u-2代入式有*所以*12.微分方程 y“+( 1+ 2)y+ 1 2y=0( 1 2且为实数)，满足 y(0)=0，y(0)=1 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 微分方程的特解解题分析 此方程的特征方程为：r 2+( 1+ 2)r+ 1 2=0解得 r1=- 1，r 2=- 2故此方程的通解为：*代入初始条件，解得*故有*13.周期为 2 的函数 f(x)在-，)上定义为 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正
15、确答案：*）解析：考点提示 级数收敛问题解题分析 因 f(x)是以 2 为周期的函数，故 S(2)=S(0)，而 x=0 是 f(x)的间断点由狄氏定理，在x=0 点处，傅里叶级数收敛于*14.曲面(z-a)(x)+(z-b)(y)=0 与 x2+y2=1，z=0 所围立体的体积 V=_(其中 为连续正值函数，a0，b0)（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 二重积分解题分析 曲面的方程为：*故*因 D：x 2+y21，对 x，y 具有轮换对称性，故*则*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上可导，且 f(x)M，f(a)=0，证明：
16、（分数：9.00）_正确答案：(由题设，对*xa，b，可知 f(x)在a，b上满足拉氏微分中值定理，于是有f(x)=f(x)-f(a)=f()(x-a)，(a，x)因为 f(x)M，所以 f(x)M(x-a)由定积分比较定理，有*)解析：考点提示 定积分的证明16.设 a，b 为正的常系数， 为非负常数，微分方程(1)求该方程的通解；(2)证明：当 =0 时，当 0 时， （分数：9.00）_正确答案：(通解为：*(2) 当 =0 时，y=ce -ax+*所以，*当 0 且 a 时，*当 0 且 =a 时，y(x)=(bx+c)e -ax，*)解析：考点提示 微分方程的通解17.求幂级数 （分
17、数：11.00）_正确答案：(方法 1 用幂级数收敛半径的计算公式，得*由此得收敛半径 R=1*收敛区间为(-1，1)当 n=1 时，原幂级数均发散*原幂级数的收敛域为(-1，1)下面求和函数，先分解为*几何级数*因此*方法 2 直接考察*(|x|1)(几何级数求和)，逐项求导，得*将 x2换成 x 得*可得收敛域即(-1，1)解析：考点提示 幂级数的和函数18.求曲面积分 I= （分数：11.00）_正确答案：(记 I=*dydz+Qdzdx+Rdxdy，则*可考虑用高斯公式计算，但 S 不是封闭的，所以要添加辅助面直接套公式计算也不复杂，将之投影在 xOy 平面上较方便解法 1 添加辅助面
18、 S1=0(x2+y24)，法向量朝下，S 与 S1围成区域 ，S 与 S1的法向量指向 的外部在 上用高斯公式，得*用先二后一的求积顺序求三重积分：*或用球坐标变换来计算：*其中：D xy：x 2+y24因此 I=4-(-8)=12解法 2 S 在 xy 平面上的投影区域是 Dxy：x 2+y24因 S 取上侧，套公式得*由 x2+y2+z2=4，得*代入得*用极坐标变换得*)解析：考点提示 曲面积分19.设不恒为常数的函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导且 f(a)=f(b)证明在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()0（分数：10.00）_正确答案：(利用拉格朗
19、日中值定理可得到结果：由 f(x)*c，有 f(x)*f(a)，因而*x 0(a，b)，f(x0)f(a)若 f(x0)f(x)=f(b)，在a，x 0上使用拉格朗日中值定理，则*(a，x 0)*(a，b)，*若 f(x0)f(a)=f(b)，在x 0，b上使用拉格朗日中值定理，则*(x 0，b)*(a，b)，*)解析：考点提示 拉格朗日中值定理20.设半径为 R 的球面的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问当 R 为何值时，球面在定球面内部的那部分的面积最大（分数：11.00）_正确答案：(由对称性，不妨设球面的球心是(0，0，a)，于是的方程是：x2+y2+(z-a)2=_R
20、2 先求与球面 x2+y2+z2=a2的交线 ：*代入上式得 的方程：x 2+y2R2-*它在 xOy 平面上的投影曲线为*相应地在 xOy 平面上围成区域 Dxy(2) 球而在定球面内部的那部分面积：*将的方程两边分别对 x，y 求导，得*代入式*(3) 求 S(R)在0，2a上的最大值点*由 S(0)=S(2a)=0*R=*a 时 S(R)取最大值因此，当 R=*a 时球面在定球面内部的那部分面积最大)解析：考点提示 利用二重积分求面积21.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，对应的特征值向量依次为：（分数：11.00）_正确答案：(1) 设 =x 1 1+x2 2
21、+x3 3，对增广矩阵( 1， 2， 3，)作初等行变换，有*解出：x 3=1，x 2=-2，x 1=2故 =2 1-2 2+ 3(2) 由 A i= i i得 An i=*(i=1，2，3)据(1)结论，=2 1-2 2+ 3，则有A=A(2 1-2 2+ 3)=2A 1-2A 2+A 3于是*)解析：考点提示 矩阵特征值特征向量的逆问题22.已知 10 只同种元件中有 2 只废品，装配仪器时，需要从中取出 2 只正品今从这些元件中任取 1 只，若为正品，则留下备用；若为废品则扔掉，在余下的元件中再取一只，如此直至取出 2 只正品为止设 X表示所取次数，求 X 的分布律、数学期望及方差（分数
22、：11.00）_正确答案：(主要是求随机变量 X 的取值及其相应的慨率不难确定，X 的值为 2，3，4易得其分布律由题意可知：X=2 为第 1、第 2 两次都取到正品；X=3 为笫 1 次废品而第 2、第 3 两次皆为正品，或第 1 次正品，第 2 次废品，第 3 次正品；而至多只取 4 次所以分布律为：*故*E(X2)=*D(X)=E(X2)-E(X)2=*)解析：考点提示 期望方差的计算23.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：0Xz1 上，|y|x 内服从均匀分布求：(1)关于 X 的边缘分布密度；(2)Z=2X+1 的方差 D(Z)（分数：11.00）_正确答案：(X，Y)的分布密度为*(2) D(Z)=D(2X+1)=22D(x)=4E(X2)-(EX)2*)解析：考点提示 二维随机变量的分布密度
