1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 202 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f + (a)与 f (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导3.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. x a f
2、(t)dtfdtC. x 0 f(t)dt x 0 f(t)dtD. x x tf(t)dt4.设 u n =(1) n ln(1+ )，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6.设函数 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8.设直线 l 过点 M(1，2，0)且与两条直线 l 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_9.函数 u=x 2 2yz 在点(1，2，2)处的方向导数最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(u)连续，则 d 2 dx
3、 2 0 x du u 1 vf(u 2 v 2 )dv= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.设 f(x)可导且 f“(0)=6，且 （分数：2.00）_13. （分数：2.00）_14. （分数：2.00）_15.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足|f(x)2e x |(x1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_16.求由方程 x 2 +y 3 xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_17.设 f
4、(x)在1，1上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f“(0)=4求 （分数：2.00）_18.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： |f(x)|12 a b |f(x)|dx(axb)（分数：2.00）_20.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且a
5、1（分数：4.00）(1).确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：2.00）_(2).求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.证明：用二重积分证明 0 + （分数：2.00）_23.设 S：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ，计算 （分数：2.00）_24.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且|f(x)|q1，令 u n =f(u n1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.00）_25.设级数 (a n a n1 )收敛，且 b n 绝对收敛证明： （
6、分数：2.00）_设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_(2).若|f(x)|k，证明：当 x0 时，有|y(x)|ka(e ax 1)（分数：2.00）_26.设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)3 0 x f(tx)dt=3x+2，求 f(x)（分数：2.00）_27.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kgs 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kgs 2 m 2 )设飞
7、机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 202 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f + (a)与 f (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续 C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导解析：解析：因为 f + (a)存在，所以 3.设 f(x)在 R 上
8、是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. x a f(t)dtfdtC. x 0 f(t)dt x 0 f(t)dtD. x x tf(t)dt 解析：解析：设 (x)= x x tf(t)dt=2 0 x tf(t)dt， (x+T)=2 0 x+T tf(t)dt+2 0 x tf(t)dt(x)，选(D)4.设 u n =(1) n ln(1+ )，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：显然 因为 n时，ln 2 (1+ )1n 2 ，而 1n 2 收敛，所以 二、填空题(总题数：6，分数：12.
9、00)5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 x0 时，有 1cos a xa2x 2 ，则 1 14(2x) 2 =x 2 ，1cos 12， 6.设函数 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=1(xln2)）解析：解析：当 x=ln2 时，t=1；当 t=1 时，y=0 (1)当 t=1 时， 由 dxdt= 得 dxdt| t=1 =1， 则 dydt| t=1 =，dydx| x=ln2 =，则法线方程为 y=1(xln2)； (2)当 t=1 时， 由 dxdt=2t(1+t 2 )得 dxdt| t=1
10、 =1 7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8.设直线 l 过点 M(1，2，0)且与两条直线 l 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直线 l 1 的方向向量为 s 1 =2，0，11，1，3=1，5，2，直线 l 2 的方向向量为 s 2 =1，4，0，则直线 l 的方向向量为 s=s 1 s 2 =8，2，1，直线 l 的方程为 9.函数 u=x 2 2yz 在点(1，2，2)处的方向导数最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：函数 u=x 2 2yz 在点(
11、1，2，2)处的方向导数的最大值即为函数 u=x 2 2yz 在点(1，2，2)处的梯度的模，而 gradu| (1，2，2) =2x，2z，2y| (1，2，2) =2，4，4，方 向导数的最大值为 10.设 f(u)连续，则 d 2 dx 2 0 x du u 1 vf(u 2 v 2 )dv= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf(x 2 1)）解析：解析： u 1 vf(u 2 v 2 )dv=12 u 1 f(u 2 v 2 )d(u 2 v 2 ) f(t)dt， 则ddx 0 x du u 1 vf(u 2 v 2 )dv=12ddx 0 x du 三、
12、解答题(总题数：19，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.设 f(x)可导且 f“(0)=6，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)x=0 得 f(0)=0，f(0)=0， )解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由夹逼定理得 )解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当|x|1 时，y=2sin2x； 当 x1 时，y=1；当 x1 时，y=1； 得 y 在 x=1 处不连续， 故 y(1)不存在； 因为 y (1)y + (1)，所以 y在 x=1 处不可导， )解析：15.设函数 f(
13、x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足|f(x)2e x |(x1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e 当 x1 时，不等式两边同除以|x1|，得)解析：16.求由方程 x 2 +y 3 xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据隐函数求导数法，得 y= 令 y= =0，得 y=2x，再将 y=2x 代入原方程得 x=18，函数值为 y=14 )解析：17.设 f(x)在1，1上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0
14、)=0，f“(0)=4求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 对 x0，有 ln(1+x)x )解析：18.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边积分得 F 2 (x)= dx，解得 F 2 (x)= +C，由 F(0)=1，F(x)0，得 )解析：19.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： |f(x)|12 a b |f(x)|dx(axb)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 且 f(a)=f(b)=0，所以 )解析：20.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等
15、式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(t)=lnt(t0)，g“(t)=1t 2 0，再令 x 0 = 0 1 f(x)dx，则有 g(t)g(x 0 )+g(x 0 )(tx 0 ) )解析：设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且a1（分数：4.00）(1).确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 的交点为(0，0)，(a，a 2 ) 当 0a1
16、时，S=S 1 +S 2 = 0 a (axx 2 )dx+ a 1 (x 2 ax)dx 当 a0 时，S= a 0 (axx 2 )dx+ 0 1 (x 2 ax)dx 因为 S=12(a 2 +1)0，所以 S(a)单调减少，故 a=0 时 S 1 +S 2 取最小值，而 S(0)=13，因为 )解析：(2).求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：旋转体的体积为 )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.证明：用二重积分证明 0 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =
17、(x，y)|x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0， S=(x，y)|0xR，0yR，D 2 =(x，y)|x 2 +y 2 2R 2 ，x0，y0 )解析：23.设 S：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性得 )解析：24.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且|f(x)|q1，令 u n =f(u n1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|u n+1 u n |=|f(u n )f(u n1 )|=|f( 1 )|u n u n1 | q|u n u n1 |q
18、2 |u n1 u n2 |q n |u 1 u 0 | 且 |u n+1 u n |收敛，于是 )解析：25.设级数 (a n a n1 )收敛，且 b n 绝对收敛证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S n =(a 1 a 0 )+(a 2 a 1 )+(a n a n1 )，则 S n =a n a 0 因为级数 (a n a n1 )收敛，所以 a n 存在，于是存在 M0，对一切的自然数 n 有|a n |M 因为 |b n |收敛，又 0|a n b n |M|b n |， 再由 M|b n |收敛，根据正项级数的比较审敛法得 |a n b n |收敛，即级数 )
19、解析：设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y+ay=f(x)的通解为 y= 0 x f(t)e at dt+Ce ax ， 由 y(0)=0 得 C=0，所以y=e ax 0 x f(t)e at dt)解析：(2).若|f(x)|k，证明：当 x0 时，有|y(x)|ka(e ax 1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时， |y|=e ax | 0 x f(t)e at dt|e ax 0 x |f(t)|e at dtke ax 0 x e at dt=kae ax (e ax 1)， 因为 e ax 1
20、，所以|y|ka(e ax 1)解析：26.设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)3 0 x f(tx)dt=3x+2，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(tx)dt= 0 x f(tx)d(xt) )解析：27.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kgs 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kgs 2 m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：水平方向的空气阻力 R x =k x v 2 ，垂直方向的空气阻力 R y =k y v 2 ，摩擦力为 W=(mgR y )，由牛顿第二定律，有 记 A=(k x k y )m，B=g，显然 A0，故有 )解析：
